Vorticidad Y Rotacionalidad PDF

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VORTICIDAD Y ROTACIONALIDAD La vorticidad es una propiedad cinemática del fluído. Además, la vorticidad es una medida microscópica de la rotación de un fluído y es más fácil de tratar que la circulación. La vorticidad es una cantidad vectorial que se define como el rotor del campo de velocidades. Como para caracterizar la atmósfera trabajamos en un sistema de coordenadas que gira es necesario definir la vorticidad relativa y la vorticidad planetaria, cuya suma es la vorticidad absoluta. Ya se definió el vector de razón de rotación de un elemento de fluido. Una propiedad cinemática relacionada tiene gran importancia para el análisis de los flujos de fluidos; a saber, el vector de vorticidad se define matemáticamente como el rotacional del vector de velocidad  V . Vector de vorticidad:

ζ =  V =rot  (V ) ∇x  Desde el punto de vista físico, se puede indicar la dirección del vector de vorticidad mediante la aplicación de la regla de la mano derecha para el producto. El símbolo ζ que se usa para la vorticidad es la letra griega zeta. El lector debe de tener en cuenta que este símbolo para la vorticidad no es de uso general en libros de texto de mecánica de fluidos; algunos autores usan la letra griega omega (�) en tanto que otros usan esta letra, pero en mayúscula ( Ω ).

ω para denotar el vector de razón de rotación (vector velocidad En este libro se usa  angular) de un elemento de fluido. Resulta que el vector de razón de rotación es igual a la mitad del vector de vorticidad: Vector razón de rotación:

ζ 1 1 ∇x  ω=  V = rot   (V )= 2 2 2 Por lo tanto, la vorticidad es una medida de la rotación de una partícula de fluido. Específicamente, la Vorticidad es igual al doble de la velocidad angular de una partícula de fluido.

Si la vorticidad en un punto en un campo de flujo es diferente de cero, la partícula de fluido que llegue a ocupar ese punto en el espacio está girando; se dice que el flujo en esa región es rotacional. De modo semejante, si la vorticidad en una región del flujo es cero o (o despreciablemente pequeña) las partículas de fluido allí no están girando; se dice que el flujo en esa región es irrotacional. Desde el punto de vista físico, las partículas de fluido que están en una región rotacional de un flujo giran extremo sobre extremo a medida que avanzan en ese flujo. Por ejemplo, las partículas de fluido dentro de la capa límite viscosa cercana a una pared sólida son rotacionales (y, por lo tanto, tienen vorticidad diferente de cero), en tanto que las partículas de fluido que están afuera de la capa límite son irrotacionales (y su vorticidad es cero). Estos dos casos se ilustran en:

Dif erencia entre el flujo rotacional y el irrotacional: los elementos de fluido están en rotación en una región rotacional del flujo, pero no están en una región irrotacional de ese flujo. La rotación de los elementos de fluido se asocia con las estelas, las capas límites, el flujo a través de turbomaquinaria (ventiladores, turbinas, compresores, etcétera) y el flujo con transferencia de calor. La vorticidad de un elemento de fluido no puede cambiar, excepto por la acción de la viscosidad, el calentamiento no uniforme (gradientes de temperatura) u otros fenómenos no uniformes. Por consiguiente, si un flujo se origina en una región irrotacional, continúa siendo irrotacional hasta que algún proceso no uniforme lo altera. Por ejemplo, el aire que entra por una admisión proveniente de alrededores tranquilos (quietos) es irrotacional y se mantiene a menos que encuentre un objeto en su trayectoria o se someta a un calentamiento no uniforme. Si una aproximación de una región de flujo se puede hacer como irrotacional, las ecuaciones del movimiento se simplifican considerablemente. En coordenadas cartesianas,

(

) (

( i , j, k ) , (x, y, z), y (u, v, w), se puede desarrollar como:

) (

)

ζ = ∂ w − ∂ v i + ∂ − ∂ w j + ∂ v − ∂ u k ∂ y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂ y

Si el flujo es bidimensional en el plano xy, la componente z de la velocidad (w) es cero y ni “u” ni “v” varían con “z”. Entonces, las dos primeras componentes de la ecuación 4-30 son idénticamente cero y la vorticidad se reduce a: Flujo bidimensional en coordenadas cartesianas:

(

)

ζ = ∂ v − ∂ u k ∂x ∂y Nota: que, si un flujo es bidimensional en el plano xy, el vector de vorticidad debe apuntar en la dirección “z” o en la “-z”. Ejemplo: Determinación de la rotacionalidad en un flujo bidimensional Considere el siguiente campo estacionario, incompresible y bidimensional de velocidad:

  V =(u , v )=x 2 i+(− 2 xy −1) j … … … … … … … … … … … … … .(1)

¿Es rotacional o irrotacional este flujo? Trace el esquema de algunas líneas de corriente y argumente sobre ello. solución: Se debe determinar si un flujo con un campo dado de velocidad es rotacional o irrotacional y se deben trazar algunas líneas de corriente en el primer cuadrante.

Gráficas de perfiles de la componente horizontal de la velocidad como función de la distancia vertical; flujo en la capa límite creciendo a lo largo de una placa plana horizontal:

Análisis: Supuesto que el flujo es bidimensional, es válida; de donde: Vorticidad:

(

)

ζ = ∂ u − ∂ u k =(−2 y−0) k =2 y k … … … … … … … … … … … … … .(2) ∂x ∂y

El flujo de agua por la boquilla de una manguera de jardín ilustra que las partículas de un fluido se pueden acelerar, inclusive en un flujo estacionario. En este ejemplo, la velocidad de salida del agua es mucho más elevada que la del agua en la manguera, lo que implica que las partículas del fluido se han acelerado, aun cuando el flujo sea estacionario.

Deformación de una partícula de fluido, inicialmente cuadrada, sometida al campo de velocidad, durante un periodo de 0.25 s y 0.50 s. También están trazadas varias líneas de corriente en el primer cuadrante. Se ve con claridad que este flujo es rotacional. Puesto que la vorticidad es diferente de cero, este flujo es rotacional. se han trazado varias líneas de corriente del flujo en el primer cuadrante; se ve que el fluido se mueve hacia abajo y hacia la derecha. También se muestra la traslación y la deformación de una partícula de fluido: en ∆ t=0 , la partícula de fluido es cuadrada; en ∆ t =0.25 s , se ha movido y deformado; y en ∆ t =0 .50 s , la partícula se ha movido y deformado todavía más. En particular, la porción más cercana hacia la derecha de la partícula se mueve más rápido hacia la derecha y más rápido hacia abajo en comparación con la porción que está más cercana hacia la izquierda, con lo que la partícula se estira en la dirección x y se aplasta en la dirección vertical. Se ve con claridad que también se tiene una rotación neta de la partícula de fluido en contrasentido al movimiento de las manecillas del reloj, lo cual concuerda con el resultado de la ecuación 2.

Discusión: cada una de las partículas de fluido gira con una velocidad angular igual a

 no es constante, este flujo no es ω =− y k , a mitad del vector vorticidad. Dado que ω  la rotación de un cuerpo sólido. Mas bien,  ω es una función lineal de y. Un análisis adicional revela que este campo de flujo es incompresible; las áreas sombreadas que representan la partícula de fluido en la figura permanecen constantes en los tres instantes. En coordenadas cilíndricas: ( e r , eθ , e z ¿ , (r , θ , z) , (ur , uθ , uz ) , la ecucacion se puede desarrollar como:

ru ∂(¿¿θ) ∂ ur − ∂θ ∂r ¿ ¿ ∂u ∂ ur ∂ u z ∂ u 1 z θ ζ =   e+ e +¿ − − r ∂θ ∂z r ∂z ∂r θ

(

) (

)

Para el flujo bidimensional en el plano

(

rθ , la ecuación (β) se reduce a:

)

ζ = 1 ∂(ru θ) − ∂ ur k ∂θ ∂r r donde se usa

k como el vector unitario en la dirección z, en lugar de

Nota: que si un flujo es bidimensional en el plano en la dirección “z” o en la “-z”.

ez . 

rθ , el vector de vorticidad debe apuntar...