Zusammenfassung Kap. 2.1.5 PDF

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Eine einseitige Zusammenfassung zum Kapitel 2.1.5 mit dem Thema Dekadischer Aufbau des Zahlensystems...

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Delia Rueff

FDMK1

27.04.2021

Zusammenfassung Dekadischer Aufbau des Zahlensystems Das uns bekannte Zehnersystem wird in der Fachsprache dekadisches Stellenwertsystem genannt. Ein Grundwissen über den dekadischen Aufbau unseres Zahlensystems zu haben ist für uns Lehrpersonen wichtig, damit wir den Kindern „die durchgängig geltenden Prinzipien des Zahlenaufbaus“ zeigen und verständlich machen können. Weiterhin ist es relevant, ein Verständnis der fachlichen Hintergründe zu erwerben, wenn man Schüler*innen hat, deren Lernschwierigkeiten in diesem Bereich fussen, denn: „Missverständnisse und Verständnislücken mit Bezug auf das Dezimalsystem haben weitreichende Konsequenzen auf den arithmetischen Kompetenzaufbau und bilden deshalb einen kernbestandteil anhaltender Lernschwierigkeiten im Mathematikunterricht bis in die Sekundarstufe und wohl auch darüber hinaus“ (Gaidoschik 2015, S.27; zitiert nach Krauthausen 2018, S. 53). Stellenwertsysteme sind dazu da, um in ihnen die Zahlen darstellen zu können. Es geht also, bei der Behandlung von Stellenwertsystemen, nicht um die Zahl selbst, sondern um deren Schreibfiguren. Dabei folgen die Stellenwertsysteme zwei grundlegenden Prinzipien. Dies wären einerseits das Prinzip des fortgesetzten Bündelns und andererseits das Stellenwertprinzip. Beim Bündeln geht es darum, gleich grosse Gruppierungen von Elementen einer vorgegebenen Menge zu machen. Die Grösse dieser Teilmengen wird durch die Basis der Bündelungsvorschrift festgelegt. Dieses Prinzip lässt sich auf alle Zahlsysteme übertragen, zählt also nicht nur für das Dekadische. Wichtig für das Bündelungsprinzip: es muss prinzipiell durchgeführt werden, d.h. bis es nicht mehr geht. Allgemein formuliert gilt also: Aus einer Menge werden Teilmengen zur Basis b geformt. Weiter muss eine Anzahl Bündel der 1. Ordnung zur Basis b in weitere Bündel 2. Ordnung gefasst werden mit je b2 Elementen, und das immer weiter, solange möglich, zu Bündel n-ter Ordnung und diese zu Bündeln n+1-ter Ordnung, bis keine Bündel der nächsthöheren Ordnung mehr hergestellt werden können. Notiert man also solche Bündelungsergebnisse, bekommt man eine gewisse Ziffernreihenfolge, bei der jede Ziffer neben ihrem Anzahlaspekt auch einen Stellenwert besitzt. Die Position der Ziffer innerhalb einer Zahl gibt also Auskunft über ihren Wert. Auch hier unterliegen dekadische und nicht-dekadische Systeme derselben Systematik. Die wertzuweisenden Zahlen nennt man Stufenzahlen. Im Zehnersystem sind das 1; 10; 100; 1000; usw. Es sind also immer Potenzen von 10. In der Primarschule schreibt man grosse Zahlen in Stellenwerttafeln, die mit den Kürzeln E, Z, H, T, ZT, HT angeschrieben sind. Diese Kürzel stehen für die Stufenbezeichnungen Einer, Zehner, Hunderter, usw. Hat man nun Stufenzahlen zum Potenzen zur Basis 2, 3, 4, usw. spricht man vom Dual/Binär-/Zweiersystem, Dreiersystem, Vierersystem, usw. Generell vom b-System, wenn b die Basis des Stellenwertsystems ist. Der Ziffernvorrat entspricht im jeweiligen System der Menge {0, 1, 2, … b-1}. Auch wenn man davon ausgehen kann, dass die für uns «normale» Basis 10 ein Zufall, eine Laune der Natur war, hat sie einige Vorteile: Die 10 ist eine für unser Gedächtnis gerade noch überschaubare Grösse, es braucht nur wenige Zahlwörter, es resultiert ein relativ überschaubares Einmaleins und der Darstellungsaufwand für grosse Zahlen ist ebenso vertretbar mit zehn Ziffern. So scheint durch den Text klar zu werden, dass das Einüben der Systematik des Zehnersystems durch andere Stellenwertsysteme auch in der Primar sinnvoll ist....