01 - - Całki niewłaściwe - Kryteria zbieżności całek niewłaściwych - Szeregi liczbowe - PDF

Preview

Summary

- Całki niewłaściwe
- Kryteria zbieżności całek niewłaściwych
- Szeregi liczbowe
- Kryteria zbieżności szeregów
- Szereg Taylora
- Szereg Maclaurine'a
- Pochodne cząstkowe...

Description

M. Gewert – Analiza matematyczna 2.3 Strona: im.pwr.edu.pl/~gewert  Na zajęciach lista  Trzeba być obecnym na połowie wykładów.  Za obecność bonus do pkt na egzaminie  Na egzaminie: 6 zadań po 5 pkt Całki niewłaściwe 𝑓: [𝑎, 𝑏 ] → 𝑅 f – funkcja ograniczona [a,b] – przedział ograniczony 𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

Całka oznaczona jest liczbą. Konkretnie polem pod krzywą funkcji f(x).

Całka ta jest suma poprzednich całek   Zbieżna, gdy obie całki są rozbieżne  Rozbieżna Do ∞ (−∞), gdy pierwsza jest zbieżna, a druga rozbieżna lub (pierwsza rozbieżna, a druga zbieżna)  Rozbieżna, gdy obie są rozbieżne (do przeciwnych znaków nieskończoności) lub Q (któraś) nie istnieje. Generalnie jeśli wyjdzie symbol nieoznaczony to wtedy ta opcja :P

Rys.1 i 2 z zeszytu.

Całki niewłaściwe I rodzaju: (Rezygnujemy z ograniczoności przedziału całkowania) Załóżmy, że funkcja f jest ciągła.

Fakt: ∞ 𝑑𝑥 Całka niewłaściwa ∫𝑎 𝑎 gdzie 𝑎 > 0 jest zbieżna, gdy 𝑥 𝑎 > 1 , a rozbieżna do ∞, gdy 𝑎 ≤ 1

1) 𝑓: [𝑎, ∞) → 𝑅 2) 𝑓: (−∞, 𝑏] → 𝑅 3) 𝑓: (−∞, ∞) → 𝑅 ∞

1) ∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 - Wybieramy pkt T w przedziale od a do ∞. ∞

𝑻

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 ≝ 𝐥𝐢𝐦 ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑷

  

𝒂

𝑻→∞ 𝒂

Gdy -∞ < 𝑷 < ∞ - zbieżna Rozbieżna do ±∞, gdy 𝑃 = ±∞ Rozbieżna, gdy P nie istnieje.

2) 𝒇: (−∞, 𝒃] → 𝑹 𝒃

∞

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 ≝ 𝐥𝐢𝐦 ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑸 −∞

𝑺→∞ 𝑺

 Zbieżna gdy -∞ < 𝑸 < ∞  Rozbieżna do ±∞, gdy 𝑄 = ±∞  Rozbieżna, gdy Q nie istnieje 3) 𝒇: (−∞, ∞) → 𝑹 ∞

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = ∫ −∞

Przykłady z zeszytu. a) i b) – Wykres b) leży nad wykresem a), ponieważ pole pod tą krzywą jest większe (nieskończone) od pola pod krzywą a).

𝒂

∞

𝒇(𝒙)𝒅𝒙 + ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙

−∞

𝒂

Kryterium porównawcze: I. Załóżmy, że: 1) 0 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔 (𝑥) 𝑑𝑙𝑎 𝑥 > 𝑎 ∞ 2) ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑧𝑏𝑖𝑒ż𝑛𝑒 Wtedy całka : ∞ ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 również zbieżna II. Załóżmy, że: 1) 0 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔 (𝑥) 𝑑𝑙𝑎 𝑥 ≥ 𝑎 ∞ 2) ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 jest rozbieżna do ∞ ∞ Wtedy całka ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑟ó𝑤𝑛𝑖𝑒ż 𝑟𝑜𝑧𝑏𝑖𝑒ż𝑛𝑎 𝑑𝑜 ∞ III. Kryterium ilorazowe Załóżmy, że: 1) Funkcja f(x) i g(x) są dodatnie (ujemne) dla 𝑥 ≥ 𝑎 𝑓(𝑥) 2) lim 𝑔(𝑥) = 𝑘, gdzie 0 < 𝑘 < ∞ 𝑥→∞

∞

∞

Wtedy całki niewłaściwe ∫𝑞 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 i ∫𝑞 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne do ∞ (−∞)

Całki niewłaściwa II rodzaju:

𝑓: [𝑎, 𝑏 ) → 𝑅 lim 𝑓(𝑥) = ±∞ 𝑓: (𝑎, 𝑏 ] → 𝑅 𝑥→𝑏 lim− 𝑓(𝑥) = ±∞ + 𝑓: (𝑎, 𝑏 ) → 𝑅 𝑥→𝑏 lim 𝑓(𝑥) = ±∞, lim 𝑓(𝑥) = = 𝑥→𝑏− 𝑥→𝑎 + ±∞ 𝑓: [𝑎. 𝑏 ]\{𝑐} → 𝑅 lim− 𝑓(𝑥) = ±∞, lim+ 𝑓(𝑥) = 𝑥→𝑐

±∞ 𝒃

𝑥→𝑐

𝒅

𝒃

𝒄

𝒃

𝒄 ∗ ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 + ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 𝒂

𝒂

𝒄

Prz. 1. Bez liczenia całek obliczyć całkę niewłaściwą: 2 𝑑𝑥 𝐷: 𝑥 ∈ 𝑅\{1} ∫ 2 −8 𝑥 − 1 1 lim+ 2 = +∞ 𝑥→1 𝑥 − 1 1 lim− 2 = −∞ 𝑥→1 𝑥 − 1 Funkcja jest nieograniczona. −1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 2 2 −3 𝑥 − 1 −3 𝑥 − 1 1 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 +∫ + ∫ 2 2 1 𝑥 −1 −1 𝑥 − 1 Dalej liczymy normalnie. 2

Prz. 2. Zbadać zbieżność całki: 1 𝑑𝑥 ∫ 𝛼 𝑥 0 Zbieżna jeśli 𝛼 > 1 1) 𝛼 = 1 lim+ ∫

𝐴→0

1𝑑𝑥

𝐴

𝑥

1.1. 0 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) , 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏) 𝑏 1.2. 𝐶𝑎ł𝑘𝑎 ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑧𝑏𝑖𝑒ż𝑛𝑎 𝑏

Wtedy również całka ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥jest zbieżna.

𝒃

∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = ∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 + ∫𝒅 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 gdzie 𝑑 ∈ (𝑎, 𝑏)

∫

Kryteria zbieżności całek niewłaściwych II rodzaju: 1. Kryterium porównawcze I) Załóżmy, że:

= lim+[ln|𝑥|] 𝐴→0

1 = lim (𝑙𝑛1 − 𝑙𝑛𝐴) 𝐴 𝐴→0+

lim lnA = ∞

A→0+

2) α > 1 1dx 1dx 1 ∫ α = lim+ ∫ α = lim+ ∫ x −α dx … A→0 A→0 A x 0 x A

II)

Załóżmy, że:

1.3. 0 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑙𝑎 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏 ) 𝑏 1.4. Całka ∫𝑎 𝑔(𝑥) jest rozbieżna 𝑏

Wtedy również całka ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥jest rozbieżna.

1 𝑒𝑥 𝑑𝑥 √𝑥 1 √𝑥−1 ∫0 sin2 𝑥 𝑑𝑥

Prz. a) ∫0 Prz. b)

2. Kryterium ilorazowe I) Załóżmy, że 𝑓(𝑥 ), 𝑔(𝑥 ) ≥ 0 (≤ 0) 𝑑𝑙𝑎 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏) Oraz 𝑓(𝑥) lim 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑔𝑑𝑧𝑖𝑒 0 < 𝑘 < ∞ 𝑥→𝑏− 𝑔(𝑥) Wtedy całki niewłaściwe są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne do ∞(−∞). 2 𝑠𝑖𝑛√𝑥

Prz. a) ∫1 Prz. b)

√𝑥 3 1 𝑑𝑥 ∫0 𝑠𝑖𝑛√𝑥

𝑑𝑥

𝑠𝑖𝑛√𝑥 ≅ √𝑥 𝑠𝑖𝑛 √𝑥 1 √𝑥 𝑑𝑥 = = 𝑔(𝑥) ≅ lim+ lim+ 𝑥→0 √𝑥 3 𝑥→0 𝑥 √𝑥 𝑥 … (𝑈𝑝𝑟𝑜𝑠𝑧𝑐𝑧𝑒𝑛𝑖𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑐𝑗𝑖 𝑤𝑦𝑛𝑖𝑘𝑎 𝑧 𝑝𝑟𝑧𝑦𝑏𝑙𝑖ż𝑒𝑛𝑖𝑎 𝑤 𝑝𝑢𝑛𝑘𝑐𝑖𝑒 0) Jeśli w obliczeniach k wyjdzie 0 to z takich obliczeń nic nie wynika i prawdopodobnie oznacza to, że źle dobraliśmy funkcję g(x). Wartość główna całki niewłaściwej I rodzaju: ∞

𝑇

𝑣. 𝑝. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≝ lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −∞

𝑇→∞ −𝑇

Warunek konieczny zbieżności szeregu: (≤ 0)𝑑𝑙𝑎 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] Tw. Obliczyć v.p. całki niewłaściwej ∞ ∞ ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 Jeżeli szereg ∑𝑛=1 𝑎𝑛jest zbieżny to lim 𝑎 = 0 −∞ 𝑛 ∞

𝑇

𝑣. 𝑝. ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 𝑇→∞

−∞

−𝑇

1 1 1 𝑇 lim [ 𝑥 4 ] = lim [ 𝑇 4 − ∗ (−𝑇)4 ] = 0 𝑇→∞ 4 −𝑇 𝑇→∞ 4 4

Szeregi liczbowe Wyrażenie postaci; 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 + ⋯ Nazywamy szeregiem liczbowym. Szereg liczbowy (*) będziemy również oznaczać symbolem ∑∞ 𝑛=1 𝑎𝑛 = lim (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 ) = 𝑆 𝑛→∞

Szereg (*) jest

𝑛→∞

Zad. Uzasadnij, że szeregi są rozbieżne: 𝑛 a) ∑∞ 𝑛=1 b) ∑∞ 𝑛=2

𝑛+1 𝑛 ln 𝑛

Kryteria zbieżności szeregu: I. (Całkowe) Niech f(x) będzie funkcją nieujemną i nierosnącą od [𝑛0 , ∞), gdzie 𝑛0 ∈ 𝑁 ∞ Wtedy całka niewłaściwa ∫𝑛 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 0 oraz szereg liczbowy ∑∞ 𝑛=𝑛0 𝑎𝑛 , 𝑔𝑑𝑧𝑒 𝑎𝑛 = 𝑓(𝑛) są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne do ∞. Rys. 2.1 (zeszyt) i 2.2 ∞

𝑧𝑏𝑖𝑒ż𝑛𝑦, 𝑔𝑑𝑦 𝑆 < ∞ 𝑟𝑜𝑧𝑏𝑖𝑒ż𝑛𝑦 𝑑𝑜 ± ∞, 𝑔𝑑𝑦 𝑆 = ±∞ { 𝑟𝑜𝑧𝑏𝑖𝑒ż𝑛𝑦, 𝑔𝑑𝑦 𝑆 𝑛𝑖𝑒 𝑖𝑠𝑡𝑛𝑖𝑒𝑗𝑒

1 𝑛∗(𝑛+1) 𝑛 ∑∞ 𝑛=1 𝑙𝑛 𝑛+1 𝑛 ∑∞ 𝑛=1 (−1)

b) c)

1

1

1

1

b) . c) Dla n – parzystego będzie 0, dla n – nieparzystego będzie -1. lim 𝑆𝑛 − 𝑛𝑖𝑒 𝑖𝑠𝑡𝑛𝑖𝑒𝑗𝑒 𝑛→∞

𝑛=1

∑ 𝑓 (𝑛) = 𝑓(2) + 𝑓(3) + ⋯

𝑛=2

c)

= lim [( − ) + ( − ) + ⋯ + ( − )]=1 𝑛+1 1 2 2 3 𝑛 𝑛→∞

𝑛=1

∑ 𝑓 (𝑛) = 𝑓(1) + 𝑓(2) + ⋯

∞

b) ∑∞ 𝑛=2

1

1

1

Zad. Zbadaj zbieżność szeregów. 1 a) ∑∞ 𝑛=1 𝑎 , 𝑎 > 0

a) 𝑆1 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑛∗(𝑛+1)= 1 1 = lim 𝑆𝑛 = lim ( +⋯ + 𝑛→∞ 𝑛→∞ 1 ∗ 2 2∗3 1 + 𝑛 ∗ ( 𝑛 + 1) 1

∞

∑ 𝑎𝑛 ≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ ∑ 𝑎𝑛

𝑛=2 ∞

Przykład: Korzystając z definicji zbadać zbieżność szeregów: a) ∑∞ 𝑛=1

∞

𝑛

1 𝑛∗ln 𝑛 𝑛

∑∞ 𝑛=1 𝑒 𝑛2

(będzie rozbieżne do ∞) 1

Uwaga: Szereg ∑ ∞ 𝑛=1 𝑛 nazywamy szeregiem harmonicznym  II. (Porównawcze) a) Dla zbieżności: I. Załóżmy, że 0 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 𝑑𝑙𝑎 𝑛 ≥ 𝑛0 0 ∑∞ II. 𝑛=𝑛0 𝑏𝑛 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑧𝑏𝑖𝑒ż𝑛𝑦 Wtedy również szereg ∑ ∞ 𝑛=𝑛0 𝑎𝑛 jest zbieżny b) Dla rozbieżności do ∞: I. Załóżmy, że 0 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 𝑑𝑙𝑎 𝑛 ≥ 𝑛0 (Badamy 𝑏𝑛 ) ∑∞ II. 𝑛=𝑛0 𝑎𝑛 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑟𝑜𝑧𝑏𝑖𝑒𝑧𝑛𝑦 𝑑𝑜 ∞ Wtedy również szereg ∑ ∞ 𝑛=𝑛0 𝑏𝑛 jest rozbieżny do ∞.

Zad. Zbadaj zbieżność szeregów: 1 ∞ a) ∑𝑛−1 𝑛2 +√𝑛 (będzie zbieżny) b)

∑∞

√𝑛

𝑛=1 𝑛+2 (będzie

rozbieżny)

Not.: Wyrzucenie skończonej ilości wyrazów nie ma wpływu na zbieżność szeregu – dot. Przykładu a) i 1 podstawienie jako 𝑏𝑛 = 𝑛2 −√𝑛 (słaba metoda, ale chodzi o przykład). Ma to wpływ jedynie na sumę. Not. 2: W przykładzie b) warto wyrzucić 2 z mianownika (zignorować ją). Jako drugi szereg dać 2n, nie próbować z 𝑛2 .

Szeregiem naprzemiennym nazywamy szereg liczbowy postaci: ∞

𝑏1 − 𝑏2 + 𝑏3 − 𝑏4 + ⋯ = ∑ (−1)𝑛+1 𝑏𝑛 𝑛=1

𝑔𝑑𝑧𝑖𝑒 𝑏𝑛 ≥ 0 𝑑𝑙𝑎 𝑛 ∈ 𝑁

Zbieżność: V. Kryterium Leibniza – załóżmy, że: I. 𝑐𝑖ą𝑔 (𝑏𝑛 )𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑛𝑖𝑒𝑟𝑜𝑠𝑛ą𝑐𝑦 II. lim 𝑏𝑛 = 0 𝑛→∞

𝑛+1 𝑏𝑛 jest Wtedy szereg naprzemienny ∑∞ 𝑛=1 (−1) zbieżny.

Zad. Zbadaj zbieżność:

∞

∑

Not. 3: Przy szukaniu drugiego ciągu musimy sprawdzić, od którego wyrazu ciągu jest spełniona zakładana nierówność. (Pacz Not. 1) III.

(Ilorazowe) Załóżmy, że: I. 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ≥ 0 (≤ 0)𝑑𝑙𝑎 𝑛 ≥ 𝑛0 𝑎 II. lim 𝑛 = 𝑘, 0 < 𝑘 < ∞ 𝑛→∞ 𝑏𝑛

∞ Wtedy szeregi ∑∞ 𝑛=𝑛0 𝑎𝑛, ∑ 𝑛=𝑛0 𝑏𝑛 są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne do ∞ (−∞).

Zad. Zbadaj zbieżność szeregów: a) ∑∞ 𝑛=1

𝑛2 +2𝑛−1 𝑛4 +1

c) ∑∞ 𝑛=1

4𝑛 −3𝑛

b) ∑∞ 𝑛=2 𝑛 ∗ 𝑠𝑖𝑛

IV.

5𝑛 −4 𝑛

1

𝑛2

(Kryterium d’Alemberta) 𝑎 |=𝑞 Niech lim | 𝑛+1 𝑎 𝑛→∞

Szereg ∑∞

𝑛

𝑎𝑛 jest zbieżny, jeżeli 𝑞 < 1, a nie jest zbieżny, jeżeli 𝑞 > 1. Uwaga! Dla 𝑞 = 1 kryterium d’Alemberta nie roztrzyga zbieżności szeregu. 𝑛=1

𝑛=1

Zad. Obliczyć sumę przybliżoną szeregu: ∞ (−1)𝑛−1 ∑ 𝑛! 𝑛=1

Z dokładnością 𝛿 = 0,001

𝑆𝑛 = 𝑏1 − 𝑏2 + 𝑏3 − 𝑏4 + ⋯ + (−1)𝑛+1 𝑏𝑛 |𝑆 − 𝑆𝑛 | < 𝛿 (Moduł iloczynów jest równy iloczynowi modułów) |𝑆 − 𝑆𝑛 | = |(−1)𝑛+2 {𝑏𝑛+1 − [(𝑏𝑛+2 − 𝑏𝑛+3 ) + ⋯ ])}| = |𝑏𝑛+1 − [(𝑏𝑛+2 − 𝑏𝑛+3 ) + ⋯ ]| < |𝑏𝑛+1 | = 𝑏𝑛+1 𝑏𝑛+1

b) ∑∞ 𝑛=2

c)

𝑛! ln 𝑛

2𝑛 𝑛𝑛 𝑛=1 𝑛!

∑∞

Not.: Jeśli w szeregu mamy silnię to zaczynamy badanie zbieżności od kryterium d’Alemberta.

1 𝑏𝑛 = 𝑛! 1 = < 0,001 ( 𝑛 + 1) !

𝑛=6 (Tyle pierwszych elementów potrzebujemy) VI.

Zad. Zbadaj zbieżność szeregu: 3𝑛 a) ∑∞ 𝑛=1

(−1)𝑛 2𝑛 + 3

(Kryterium Cauchy’ego) Niech lim 𝑛√|𝑎𝑛 | = 𝑞 𝑛→∞

Wtedy szereg ∑∞ 𝑛=1 𝑎𝑛 jest zbieżny, jeżeli q1. Uwaga: W przypadku q=1 kryterium Cauchy’ego nie rozstrzyga zbieżności szeregu.

𝑛 1) Niech 0 < lim √|𝑐 | < ∞ 𝑛 1 𝑛 |𝑥 − 𝑥0 | < lim √|𝑐 Wtedy (**)𝑛→∞ 𝑛|

Zad. Zbadać zbieżność szeregu ∞

𝑛2015 𝑛 ∑ 𝑛

𝑛→∞

𝑛=1

𝑎𝑛 = lim

𝑛→∞

𝑛

𝑛2015 , lim 𝑛√|𝑎𝑛 | 𝑛𝑛 𝑛→∞

√𝑛2015 𝑛

𝑛

= lim √

( √𝑛 ) 𝑛 𝑛→∞

= lim

𝑛→∞

2015

=

𝑛

𝑛2015 𝑛𝑛

12015 ∞

=

=0...