8. kryteria szregi funkcyjne PDF

Preview

Summary

Download 8. kryteria szregi funkcyjne PDF

Description

Analiza matematyczna I

WFMiI - Matematyka

Kryteria zbiez˙ no´ sci jednostajnej szereg´ ow funkcyjnych Stwierdzenie jednostajnej zbie˙zno´sci szeregu jest wa˙zne ze wzgl ed´ zno´s´c je֒ ow obliczeniowych. Zbie˙ dnostajna zwiazana jest bowiem z warunkami pozwalaj acymi r´ o z ˙ niczkowa´ c lub odpowiednio calkowa´c ֒ ֒ szeregi funkcyjne wyraz za wyrazem. Niech I ⊆ R b edzie ustalonym przedzialem (ograniczonym lub nie). ֒ Twierdzenie 1 (Kryterium Weierstrassa dla szereg´ ow funkcyjnych). Niech (fn ) bedzie ciagiem ֒ ֒ funkcji fn : I → R, gdzie n ∈ N. Ponadto niech istnieje taki ciag liczb rzeczywistych (a ), z ˙ e n ֒   sup |fn (x)| : x ∈ I ≤ an dla prawie wszystkich n ∈ N. W´owczas, je˙zeli szereg liczbowy i bezwzglednie w przedziale I . ֒

P

an jest zbie˙zny, to szereg funkcyjny

P

fn jest zbie˙zny jednostajnie

Przyklad 2. Rozwa˙zmy szereg funkcyjny ∞ X 1 . nx n=1

Z teorii szereg´ow liczbowych przedstawionej na wykladzie ze Wstepu do Analizy Matematycznej wiemy, ֒ z˙ e szereg takiej postaci, tzw. szereg Dirichleta, jest zbie˙zny dla ka˙zdego ustalonego x > 1. Wynika stad, z˙ e powy˙zszy szereg funkcyjny jest zbie˙zny punktowo w przedziale (1, ∞). Jego sume֒ ֒ ζ : (1, ∞) ∋ x 7−→ ζ(x) :=

∞ X 1 nx n=1

nazywamy funkcja֒ ζ (dzeta) Riemanna. Zauwa˙zmy teraz, z˙ e dla x ≥ a prawdziwa jest nier´owno´sc´ 1 1 ≤ a. x n n Z kryterium Weierstrassa otrzymujemy zatem zbie˙zno´sc´ szeregu funkcyjnego

∞ P

1 nx

w ka˙zdym przedziale

n=1

Ia = [a, ∞) dla ustalonego a > 1. Z twierdzenia o ciag sci sumy szeregu funcyjnego wynika zatem, z˙ e funkcja ζ jest ciag ֒ lo´ ֒ la w dowolnym punkcie x0 > a. Niech teraz x0 > 1 b edzie dowolnym, ale ustalonym punktem. Wtedy istnieje liczba ֒ rzeczywista a spelniajaca warunek ֒ x0 > a > 1, czyli funkcja ζ musi by´c ciag sci wyboru punktu x0 oznacza to, z˙ e ֒ la w tym punkcie. Wobec dowolno´ funkcja ζ Riemanna jest ciag la w ca lym przedziale (1, ∞). ֒

Twierdzenie 3 (Kryterium Abela dla szereg´ ow funkcyjnych). Niech funkcje fn , gn : I → R, gdzie n ∈ N, spelniaja֒ nastepuj ace warunki: ֒ ֒   liczbowy fn (x) n∈N jest monotoniczny; A1) Dla dowolnie ustalonego x ∈ I ciag ֒   A2) Ciagi fn (x) n∈N sa֒ wsp´olnie ograniczone, tzn. istnieje stala M taka, z˙ e ֒ |fn (x)| ≤ M dla wszystkich x ∈ I i wszystkich n ∈ N;

2

A3) Szereg funkcyjny X

gn

n∈N

jest jednostajnie zbie˙zny w przedziale I . P W´owczas szereg funkcyjny fn · gn jest zbie˙zny jednostajnie w przedziale I . n∈N

Przyklad 4. Zbie˙zno´sc´ jednostajna szeregu funkcyjnego ∞ X cos x π

n=1

w przedziale I = 1 . gn (x) = nx+π



− π2 , π2



nx+π

wynika z kryterium Abela zastosowanego do funkcji fn (x) = cos πx i funkcji

Twierdzenie 5 (Kryterium Dirichleta dla szereg´ ow funkcyjnych). Niech funkcje fn , gn : I → R, gdzie n ∈ N, spelniaja֒ nastepuj ace warunki: ֒ ֒   D1) Dla dowolnie ustalonego x ∈ I ciag ֒ liczbowy fn (x) n∈N jest monotoniczny; D2) Ciag zny jednostajnie na przedziale I do funkcji r´ownej to˙zsamo´scio֒ funkcyjny (fn )n∈N jest zbie˙ wo zeru; P gn jest wsp´olnie ograniczony w przedziale I, tzn. istnieje stala D3) Ciag ֒ sum cz e´ ֒ sciowych szeregu n∈N

M taka, z˙ e |Sn (x)| ≤ M P dla wszystkich x ∈ I i wszystkich n ∈ N, gdzie Sn (x) = gk (x). k≤n

W´owczas szereg funkcyjny

P

fn · gn jest zbie˙zny jednostajnie w przedziale I .

n∈N

Przyklad 6. Zbie˙zno´sc´ jednostajna szeregu funkcyjnego ∞ X 1 (−1)n+1 x n n=1 w przedziale I = [a, ∞), gdzie a > 0, wynika z kryterium Dirichleta zastosowanego do funkcji fn (x) = 1 n+1 1 a i funkcji gn (x) = (−1) a . 2 nx− 2 n...