Zestaw 3 szeregi liczbowe kryteria zbieznosci PDF

Preview

Summary

Download Zestaw 3 szeregi liczbowe kryteria zbieznosci PDF

Description

Zestaw 3 - Szeregi liczbowe, kryteria zbieżności A

Teoria

Definicja. A.1. (szereg liczbowy, suma częściowa szeregu) Szeregiem liczbowym nazywamy wyrażenie postaci: a1 + a2 + . . . + an zapisywane także w formie

P∞

n=1

an , gdzie an ∈ R dla n = 1, 2, 3, .... Liczbę an nazywamy n-tym wyrazem, a sumę Sn = a1 + a2 + . . . + an =

n X

ak

n=1

n-tą sumą częściową szeregu. Definicja. A.2. (szereg P∞ zbieżny i rozbieżny, suma i reszta szeregu) Mówimy, że szereg n=1 an jest zbieżny, jeżeli istnieje P∞ granica właściwa ciągu sum częściowych (Sn ). Jeżeli limn→∞ Sn = −∞ albo limn→∞ Sn = ∞, to mówimy, że szereg n=1 an jest rozbieżny odpowiednio do −∞ albo do ∞. W pozostałych przypadkach mówimy, że szereg jest rozbieżny. Sumą szeregu zbieżnego nazywamy granicę limn→∞ Sn i oznaczamy ją tym samym symbolem co szereg ∞ X an = lim Sn . n→∞

n=1

P∞ P∞ P∞ n-tą resztą szeregu zbieżnego n=1 an nazywamy liczbę Rn = k=n+1 ak . Analogicznie definiuje się szereg n=n0 an , P∞ Pn gdzie n0 ∈ Z, jego sumę częściową Sn = k=n0 ak dla n  n0 oraz sumę k=n0 ak = limn→∞ Sn . Twierdzenie. (warunek konieczny zbieżności szeregu) PA.1. ∞ Jeżeli szereg n=1 an jest zbieżny, to limn→∞ an = 0. Uwaga! Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Świadczy o tym przykład szeregu harmonicznego, który jesy rozbieżny do ∞. Twierdzenie. A.2. (Kryterium porównawcze zbieżności/rozbieżności szeregów) Niech 0 ¬ an ¬ bn dla każdego n  n0 . Wówczas 1. jezeli szereg

P∞

2. jezeli szereg

P∞

n=1 bn

n=1

jest zbieżny, to szereg

P∞

n=1

an również jest zbieżny;

an jest rozbieżny do ∞, to szereg

P∞

n=1 bn

również jest rozbieżny do ∞;

Twierdzenie. A.3. (Kryterium ilorazowe zbieżności/rozbieżności szeregów) Niech an , bn > 0 (an , bn < 0) dla każdego n  n0 oraz niech lim

n→∞

Wówczas szeregi

P∞

n=1

an i

P∞

n=1 bn

an = k, bn

0 < k < ∞.

są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne do ∞ (−∞).

Twierdzenie. A.4. (Kryterium d’Alemberta zbieżności/rozbieżności szeregów) a | = q. Wówczas Niech limn→∞ | an+1 n 1. jeżeli q < 1, to szereg

P∞

n=1

2. jeżeli 1 < q ¬ ∞, to szereg

an jest zbieżny;

P∞

n=1

an jest rozbieżny;

Dla q = 1 kryterium nie rozstrzyga, czy szereg jest zbieżny. Twierdzenie. p A.5. (Kryterium Cauchy’ego zbieżności/rozbieżności szeregów) Niech limn→∞ n |an | = q. Wówczas 1. jeżeli q < 1, to szereg

P∞

n=1

2. jeżeli 1 < q ¬ ∞, to szereg

an jest zbieżny;

P∞

n=1

an jest rozbieżny;

Dla q = 1 kryterium nie rozstrzyga, czy szereg jest zbieżny. 1

Twierdzenie. A.6. (Kryterium Leibniza zbieżności szeregu naprzemiennego) Jeżeli 1. ciąg (bn ) jest nierosnący od numeru n0 ∈ N, 2. limn→∞ bn = 0 to szereg naprzemienny ∞ X

(−1)n+1 bn = b1 − b2 + b3 − b4 + . . .

n=1

jest zbieżny. Definicja. A.3. (Zbieżność bezwzględna szeregu) P∞ P∞ Mówimy, że szereg n=1 an jest zbieżny bezwzględnie, gdy szereg n=1 |an | jest zbieżny. Twierdzenie. A.7. (O zbieżności szeregów zbieżnych bezwzględnie) Jeżeli szereg jest zbieżny bezwzględnie to jest zbieżny. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

B

Zadania

Zadanie B.1. Zbadać sumy częściowe podanych szeregów i następnie zbadać ich zbieżność: a)

P∞

n=0

3n −1 5n

b)

n2 +n+1 n=1 n(n+1)

P∞

c)

P∞

n=2

1 ) n2

ln(1 −

d)

P∞

n+1 (2n n=1 (−1)

− 1)

Zadanie B.2. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać √ zbieżność podanych szeregów: P∞ P∞ P P∞ n+1 1 2 √1 a) n=1 n3n+1 b) ∞ c) d) tg n sin n=2 n2 −3 n=1 n=1 n2 n e)

2n +1 n=1 3n −1

P∞

f)

P∞

n=1

2+cos √ n! n

Zadanie B.3. Korzystając z kryterium d’Alemberta zbadać zbieżność podanych szeregów: 3n n=1 n3

a)

P∞

e)

P∞

b)

(2n)! n=1 n2n

3n −2n n=1 5n −4n

P∞

f)

c)

P∞

n=2

n tg

π 2n

d)

(n!)(3n)! n=1 [(2n)!]2

P∞

n100 n=2 5n +1

P∞

Zadanie B.4. Korzystając z kryterium Cauchy’ego zbadać zbieżność podanych szeregów: 2n+1 n n=1 ( 3n+1 )

a)

P∞

e)

P∞

n=1

sinn

b)

nπ+1 4n+1

P∞

n=2

f)

P∞

)n π n ( n−1 n

n=1

2

c)

P∞

n=1 (

arctan n n ) π

d)

P∞

n=1

n (n−5) √ nn

√ 3 n √8 +1 9n +1

Zadanie B.5. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność podanych szeregów: 3n+2 n=1 n4 +n+1

a)

P∞

e)

P∞

n=2 (

√ n 2 − 1)

b)

P∞

f)

P∞

n=1

arctan n

n=3 (1

c)

P∞

n=1

log2 (1 + 21n )

d)

2n!+1 n=2 (n+2)!

P∞

− cos πn )

Zadanie B.6. Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną podanych szeregów: a)

P∞

n+1 n=1 (−1)

sin n1

b)

P∞

n=1

(−1)n n n2 ) (n−1 3n

c)

√ n n+1 n=1 (−1) n+2

P∞

2...