Zestaw Administracja 2011 PDF

Preview

Summary

Statystyka...

Description

dr hab. Henryk Gacki

Podstawy Statystyki I rok Administracja 2010/2011 ... śmiertelnych – stu na stu. Liczba, która jak dotąd nie uległa zmianie. Wiesława Szymborska, PRZYCZYNEK DO STATYSTYKI ZADANIE 1. Sprawdzono 100 stron maszynopisu znajdując na nich następujące liczby błędów x - cecha dyskretna: xi 0 1 2 3 4 5 pi = ωi 0.17 0.36 0.31 0.13 0.2 0.1 • Narysuj histogram częstości(prawdopodobieństwa) dla liczby błędów. • Narysuj wykres dystrybuanty liczby błędów. ZADANIE 2. Rozkład liczby ogłoszeń 100 dni przedstawia poniższa tabelka: xi 0 1 2 3 4 ni 10 20 30 20 10 pi = ωi 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1

zamieszczonych w lokalnej gazecie w ciągu ostatnich 5 10 0.1

• Narysuj histogram częstości dla liczby ogłoszeń. • Narysuj wykres dystrybuanty i zinterpretuj skoki na wykresie. ZADANIE 3. Z populacji włókien bawełny pobrano 300- elementow¸a próbk¸e włókien i zmierzono ich długość, grupuj¸ac dane w nast¸epuj¸acy szereg rozdzielczy

Lp. 1 2 3 4 5 6 7 8

przedział [ 0 ; 5.5) [ 5.5 ; 10.5) [10.5 ; 15.5) [15.5 ; 20.5) [20.5 ; 25.5) [25.5 ; 30.5) [30.5 ; 35.5) [35.5 ; 40.5]

liczebność środek przedziału 2 2.75 5 7.75 11 12.75 19 17.75 41 22.75 117 27.75 87 32.75 18 37.75

(a)Wykreśl histogram, diagram długości włókien. (b) Oblicz cz¸estości wzgl¸edne. Wyznacz dystrybuat¸e. (c) Wyznacz wszystkie parametry pozycyjne i klasyczne oraz podaj ich interpretacj¸e statystyczn¸a. 1

ZADANIE 4. Dane są wskaźniki procentowej rentowności netto 92 przedsiębiorstw (Stan na grudzień 2007): 54,23%; 18,33%; 73,45%; 98,71%; 71,21%; 18,1%; 95,02%; 55,06%; -16,18%; -8,48%; 87,31%; 45,49%; 18,33%; 76,23%; 61,1%; 19,09%; 56,04%; 66,63%; 16,98%; -6,11%; 48,48%; -1,01%; 102,05%; 57,21%; 33,85%; 8,93%; -39,83%; 86,04%; 67,59%; 21,37%; 101,22%; 12,62%; 5,53%; 1,04%; 35,09%; 8,07%; 16,14%; 14,15%; 105,28%; -2,08%; 92,94%; 17,34%; 95,26%; 103,73%; 63,64%; 30,83%; 84,31%; 62,11%; 92,09%; 38,37%; 99,44%; 32,26%; 69,01%; 5,00%; 19,05%; 80,27%; 29,75%; 115,37%; 32,56%; 22,07%; 38,02%; 2,16%; 44,33%; 114,21%; 40,62%; 76,06%; 80,59%; -3,43%; 58,75%; 102,02%; 42,00%; 32,02%; 13,48%; 7,36%; 109,17%; 113,05%; 41,75%; -7,03%; 41,30%; 63,81%; 44,37%; 64,63%; 59,05%; 21,74%; 69,30%; 54,07%; 18,05%; 84,00%; 45,30%; -9,20%; 110,07%; 0,3%. Wyznacz medianę, I i III kwartyl wskaźnika procentowego rentowności oraz podaj ich interpretację ZADANIE 5. Wyznaczymy dominantę oraz kwartyle dla struktury pracowników w zakładzie I, II, III według czasu ich dojazdu do pracy oraz podaj ich interpretację: czas dojazdu I II III 0 - 20 1 1 2 20 - 40 2 7 5 40 - 60 4 5 5 60 - 80 2 5 7 80 - 100 1 2 1 Razem 10 20 20 ZADANIE 6. Wielki dom towarowy gromadzi informacje o wartości sprzedaży przypadaj¸acej na poszczególnych sprzedawców. W danym dniu zebrano nast¸epuj¸ace dane o wartości sprzedaży dla 20 sprzedawców: 16 29 17 15 15 15 16 15 16 16 13 19 17 18 18 19 27 29 27 29 1) Zbuduj szereg jednostopniowy, wyznacz cz¸estości wzgl¸edne, dystrybuant¸e, wartość średni¸a, wariancj¸e, trzeci moment centralny, czwarty moment centralny, dominant¸e - zinterpretuj otrzymane wyniki. 2)Wyznacz p-ty percentyl : p = 25 - pierwszy kwartyl, p = 50 - drugi kwartyl-mediana, p = 75 - trzeci kwartyl, p = 80 − ty, p = 90 − ty, wyznacz odst¸ep mi¸edzykwartalny. 3)Podziel dane na klasy (szereg przedziałowy) o jednakowej rozpi¸etości , korzystaj¸ac ze wzoru na liczb¸e klas k ¬ 5∗ln n oraz odpowiedz na pytania a), b), c). Porównaj różnice pomi¸edzy tymi samymi parametrami liczonymi dla szeregu jednostopniowego i przedziałowego. ZADANIE 7. Policz i wpisz do tabeli średnią, medianę, rozstęp wyników, sumę kwadratów odchyleń od średniej i odchylenie standardowe następujących wyników, oznaczających liczbe sprzeczek z partnerem a. 0, 2, 4, 8, 11 2

b. 0, 2, 4, 8, 6 c. 0,2,4,8,21

a. b. c.

Mediana 4

Rozstęp 11

Średnia Wariancja Odchylenie Standardowe 5 20 4.47

Jakie wnioski możesz sformułować? ZADANIE 8. . 1. Sześciu studentów zapytanych o liczbę randek w ostatnim tygodniu podało następujące wartości: 1, 2, 3, 4, 3, 5. Policz medianę, średnią, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej LICZBA RANDEK. 2. Badacz wprowadzając dane do komputera, dodał do każdej wartości stałą a = 2 i otrzymał rozkład: 3, 4, 5, 6, 5, 7. Policz medianę, średnią, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej LICZBA RANDEK. 3. Inny Badacz wprowadzając dane do komputera, pomnożył każdą wartości przez stałą b = 2 i otrzymał rozkład: 2, 4, 6, 8, 6, 10. Policz medianę, średnią, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej LICZBA RANDEK. 4. Inny Badacz wprowadzając dane do komputera, pomnożył każdą wartości przez stałą b = 2 i dodał do każdej wartości stałą a = 1 otrzymując rozkład: 3, 5, 7, 9, 7, 11. Policz medianę, średnią, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej LICZBA RANDEK. Wpisz wyliczone wartości do tabelki: Zmienna X Mediana Me a. X b. X+2 c. 2∗X d. 2∗X+1

¯ Wariancja S2 Średnia X

Odchylenie Standardowe S

Jakie wnioski możesz sformułować? ZADANIE 9. Do zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5 dodaj dwie dowolne liczby tak, aby: 1. średnia sie nie zmieniła; 2. średnia się zmieniła, ale mediana pozostała bez zmiany; 3

3. suma kwadratów odchyleń od średniej pozostala bez zmiany; 4. wariancja pozostała bez zmiany. ZADANIE 10. (Wprowadzenie do metody najmniejszych kwadratów) Wzdłuż drogi wybudowano n-Markietów tego samego typu w odległości xi , i = 1, ...n od ustalonej miejscowości. Markiety te zaopatrują się w ten sam towar u tych samych producentów. Celem zminimalizowania kosztów transportu postanowiono wybudować wspólne magazyny. W jakiej odległości x od ustalonej miejscowości należy zbudować magazyny aby osiągnąć zamierzony cel? Uwaga 1. Zadanie to rozwiąż na dwa sposoby przyjmując jako miarę odległości x od xi , i = 1, ...n: 1. (x − x1 )2 + (x − x2 )2 + ... + (x − xn )2 , 2. * |x − x1 | + |x − x2 | + ... + |x − xn |. ZADANIE 11. Paradoks Petersburski dotyczący średniej arytmetycznej Inwestor stara się o pożyczkę w wysokości 1 mln. $. na dokończenie inwestycji. Po zapoznaniu się z warunkami płatniczymi Inwestora oraz koniunkturą w danej branży Bank wyraził zgodę na udzielenie kredytu i wyznaczył ratę miesięczną w wysokości x $. Ze względu na wysokość raty Inwestor ma szansę 1 do 1 w każdym miesiącu, że zapłaci ratę (z czego obie strony zdają sobie sprawę.) W związku z dużym ryzykiem Bank złożył Inwestorowi ciekawą i bardzo kuszącą propozycję: Bank umorzy kredyt, gdy chociaż raz uda się Inwestorowi zapłacić ratę w dowolnym miesiącu, pod dwoma warunkami: • po pierwsze, za pierwszy miesiąc Inwestor zapłaci bankowi 1$, gdy nie będzie miał na ratę, jeżeli w drugim miesiącu nie będzie miał na ratę, za drugi miesiąc dodatkowo zapłaci 2$ jeżeli nie będzie znowu mógł spłacić raty, za trzeci miesiąc dodatkowo zapłaci 22 $ itd. za n-ty 2n−1 $. • po drugie, kwoty z punktu pierwszego musi płacić: gdy nie ma pieniędzy na następną zapłatę z punktu pierwszego musi ogłosić bankructwo i oddać wszystko co ma Bankowi. Niech X będzie cechę opisującą miesięczne wpłaty inwestora, w przypadku gdyby miał cały czas pecha. (tj. 2n , n = 1, 2, . . .$) Opierając się na interpretacji średniej arytmetycznej podejmij decyzję w imieniu Inwestora i spróbuj wyjaśnić dlaczego mimo faktu, że średnia wpłata ¯ = ∞ , Inwestor wcale nie stoi na straconej pozycji w Inwestora bo Banku będzie równa X przypadku zaciągnięcia tego typu kredytu. ZADANIE 12. W czterech grupach robotników (o różnych kwalifikacjach) wykonuje się tę samą pracę w ciągu 8 godz. pracy: 1. 1 grupa wykonuje 20 elementów i liczy 5 osób 2. 2 grupa wykonuje 80 elementów i liczy 10 osób 3. 3 grupa wykonuje 60 elementów i liczy 15 osób 4. 4 grupa wykonuje 160 elementów i liczy 20 osób

4

Jaki powinien być średni czas wykonania jednego elementu przez grupę 50 osobową, aby ilość wykonanych elementów przez tę grupę była równa łącznej ilości wykonanych elementów przez te cztery grupy. Wskazówka: zbuduj i rozwiąż odpowiednie równanie. Korzystając z tych obliczeń rozwiąż następne zadanie: ZADANIE 13. Pojazd przebył drogę złożoną z trzech odcinków, każdy o długości Ś”. Pierwszy , drugi ze stałą prędkością v2 = 60 km , trzeci ze stałą odcinek ze stałą prędkością v1 = 50 km h h km prędkością v3 = 90 h . Z jaką stałą średnią prędkością powinien poruszać się pojazd, aby całą drogę 3S przebyć w tym samym czasie ? ZADANIE 14. Przypuśćmy, że ulokowaliśmy pewien kapitał początkowy w taki sposób, że jego oprocentowanie co roku się zmienia; w ciągu 5 lat oprocentowanie wynosi : 12% w pierwszym roku, 10% w drugim roku, 15% w roku trzecim, 18% w czwartym, 10% w ostatnim roku. 1. Jaka jest średnia stopa procentowa obliczona za pomocą średniej geometrycznej ? 2. Jaka jest średnia arytmetyczna ze stóp procentowych ? 3. Która ze stóp procentowych daje sensowniejsze wyniki? Odpowiedź uzasadnij budując, a następnie rozwiązując stosowne równania. . ZADANIE 15. Zakładamy, że rozkład struktury  gruntów (powierzchnia) oddanych we wieczyste użytkowanie ma rozkład normalny N m, σ . Wybrano prób¸e losow¸a o liczebności n = 100 i zbudowano tabel¸e Powierzchnia gruntów g. ni 0 - 20 10 20 - 40 20 40 - 60 40 60 - 80 20 80 - 100 10 Razem 100 Dokonując standaryzacji oraz korzystaj¸ac z prawa trzech odchyleń dla rozkładu normalnego odpowiedz na pytanie czy któraś z obserwacji może być obarczona bł¸edem pomiarowym ? ZADANIE 16. W pewnnej populacji rodzin przeprowadzono badania ze wzgl¸edu na a) spożycie mi¸esa X w ci¸agu miesi¸aca [w kg.] na członka rodziny. b) ilość przeczytanych ksi¸ażek w ci¸agu roku Y [w sztukach] przypadaj¸aca na członka rodziny. c) ilość izb przypadaj¸aca na jednego członka rodziny Z. Otrzymano nast¸epuj¸ace wyniki ¯ = 4kg oraz SX = 2kg co daje VX = 0.5. a) X ¯ = 10 oraz SY = 6 co daje VY = 0.6. b) Y 5

¯ = 1.5 oraz SZ = 1 co daje VZ = 0.66. c) Z Porównując współczynniki zmienności odpowiedz na pytanie w którym przypadku występuje największe zróżnicowanie.

.... kiedy możesz mierzyć to, o czym mówisz, i wyrazić to w liczbach, już coś o tym wiesz, lecz kiedy nie możesz tego wyrazić w liczbach, twoja wiedza jest niedostateczna, niewielka i niedoskonała. Kelvin

6...