zestaw definicji matematyka - prof. Marian Matłoka PDF

Preview

Summary

Zestaw definicji i podstawowych pojęć przydatny do kolokwium i egzaminu z matematyki...

Description

Definicje matematyka! Macierz jest to skończony zbiór liczb rzeczywistych zapisany w postaci tablicy, w której wyróżnia się wiersze i kolumny.$ Jeżeli w macierzy liczbą wierszy i liczba kolumn jest taka sama to macierz nazywamy macierzą kwadratową, a jeżeli jest różna to prostokątną.$ Stopień macierzy kwadratowej jest to liczba jej kolumn i wierszy, np. Macierz stopnia 3 -> 3 wiersze i 3 kolumny$ Macierz kwadratowa, która poza główną przekątną ma same zera nazywamy macierzą diagonalną. Macierz diagonalną, która na głównej przekątnej ma same jedynki nazywamy macierzą jednostkową ( I ) Mnożąc macierze przez stałą, mnożymy każdy element macierzy przez tą stałą.$ Aby móc dodawać macierze, muszą one mieć takie same wymiary. Transponowanie macierzy to zamiana wierszy na kolumny.$ Mnożenie macierzy przez macierz nie jest przemienne. Dwie macierze można przez siebie pomnożyć, wtedy i tylko wtedy gdy liczbą kolumn pierwszej macierzy jest równa liczbie wierszy drugiej macierzy.$ Macierz zerowa ma same zera.$ W schemacie Sarrusa dodajemy po przekątnej idącej z lewego górnego rogu do prawego dolnego rogu, a odejmujemy iloczyn elementów idących w drugą stronę.$ Macierz osobliwa to macierz, której wyznacznik jest równy zero. $

Minor ( Mij ) - jest to wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A po wykreśleniu z „i” - tego ( itego ) tego wiersza i „j” - ej ( jotej ) kolumny.$

Twierdzenie Laplace’a : wyznacznik macierzy kwadratowej A stopnia n tego jest równy sumie iloczynów elementów dowolnego wiersza ( kolumny ) i ich dopełnień algebraicznych.$ Własności wyznaczników : 1. wyznacznik macierzy, w której dowolny wiersz ( kolumna ) składa się z samych zer jest równa zero$ 2. Wyznacznik macierzy jest równy wyznacznikowi macierzy transponowanej$ 3. Wspólny czynnik elementów dowolnego wiersza ( kolumny ) można wyłączyć przed symbol wyznacznika$ 4. Zamiana kolejnością dwóch dowolnych wierszy ( kolumn ) zmienia znak wyznacznika na przeciwny$ 5. Wyznacznik o dwóch jednakowych wierszach ( kolumnach ) jest równy zero$ 6. Jeżeli dwa wiersze ( kolumny ) są proporcjonalne, np. jeden wiersz jest dwa razy większy od drugiego, albo jedna kolumna jest trzy razy mniejsza od innej, to wyznacznik tej macierzy jest równy zero. 7. Wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie jeżeli do dowolnego wiersza ( kolumny ) dodamy odpowiadające elementy innego wiersza ( kolumny ) pomnożone przez dowolną liczbę.$ 8. Suma iloczynów elementów pewnego wiersza ( kolumny ) i dopełnień algebraicznych odpowiadających elementów innego wiesza ( kolumny ) jest równa zeru. Liczby nazywamy odwrotnymi, wtedy i tylko wtedy gdy ich iloczyn jest równy 1.$ Aby macierz odwrotna istniała to wyznacznik tej macierzy ( podstawowej ) musi być różny od 0 ( musi być nieosobliwa ) Aby macierz odwrotna istniała, to macierz podstawowa musi być macierzą kwadratową. Definicja macierzy odwrotnej : macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A stopnia n - tego nazywamy macierz taką, że : $ A x A^-1 = A^-1 x A = I$ Twierdzenie jako druga metoda odwracania macierzy : jeżeli wyznacznik macierzy A jest różny od 0 ( det A ≠ 0 ) to istnieje do niej macierz

odwrotna wyrażona wzorem : $ A^-1 = ( 1 / det A ) x A^d$

Twierdzenie jako druga metoda odwracania macierzy :$ - jeżeli wyznacznik macierzy jest różny od zera ( det A ≠ 0 ), to istnieje do niej macierz odwrotna wyrażona wzorami :$ A^-1 = 1/ detA x A^d$

A^d —> macierz dołączona czyli transponowana macierz dopełnień algebraicznych Metoda operacji elementarnych odwracania macierzy.* Metoda ta polega na :$ 1. Utworzeniu nowej macierzy poprzez dopisanie do macierzy A z prawej strony macierzy jednostkowej$ 2. Wykonaniu operacji elementarnych na wierszach nowo utworzonej macierzy tak, aby na miejscu macierzy A uzyskać macierz jednostkową. Wtedy na miejscu macierzy jednostkowej pojawi się macierz odwrotna.$

Operacjami elementarnymi na macierzy nazywamy :$ 1. Zamiana kolejnością dwóch dowolnych wierszy ( kolumn ) macierzy.$ 2. Pomnożenie dowolnego wiersza ( kolumny ) przez dowolną liczbę rzeczywistą, różną od zera.$ 3. Dodanie do dowolnego wiersza ( kolumny ) innego wiersza ( kolumny ) pomnożonego przez dowolną liczbę rzeczywistą. $

Układy równań liniowych Ze względu na liczbę rozwiązań, układy dzielimy na :$ 1. układy oznaczone —> mają jedno ( 1 ) rozwiązanie$ 2. Układy nieoznaczone —> posiadają nieskończenie wiele rozwiązań$ 3. Układy nieoznaczone —> nie mają rozwiązań$ Nie ma takiej możliwości, żeby układ miał, np. 2 rozwiązania !!! Definicja układu Cramera :$

Układ równań liniowych ax = b nazywamy układem Cramera wtedy i tylko wtedy gdy, liczba równań jest równa liczbie niewiadomych i wyznacznik macierzy jest różny od zera ( det A ≠ 0 ) $

Twierdzenie :$ Jeżeli układ równań liniowych jest układem Cramera to posiada rozwiązania wyrażone wzorami nazywanymi wzorami Cramera$ Xn = det An / det A$ Mówimy, że macierz jest w postaci bazowej, jeżeli można ją podzielić na 4 bazowe bloki$ Metoda Gaussa- Jordana rozwiązywania układów równań liniowych ( metoda operacji elementarnych ), metoda ta polega na :$ 1. Zapisaniu macierzy uzupełnionej układu$ 2. Przeprowadzeniu operacji elementarnych na macierzy uzupełnionej w celu sprowadzenia jej do postaci bazowej$ 3. Odczytaniu rozwiązań$ Operacjami elementarnymi na macierzy nazywamy :$ 1. Pomnożenie dowolnego wiersza przez dowolną liczbę rzeczywistą różną od zero ≠ 0$ 2. Dodaniu do dowolnego wiersza innego wiersza pomnożonego przez dowolną liczbę rzeczywistą$ 3. Zamienienie kolejnością dwóch dowolnych wierszy$ 4. Zamiana kolejnością dwóch dowolnych kolumn, ale tylko w obrębie macierzy A, to znaczy, że nie wolno ruszać kolumny wyrazów wolnych$ Rozwiązanie bazowe otrzymujemy z danego rozwiązania ogólnego poprzez podstawienie za wszystkie zmienne bazowe zera.$

Logika tautologią+nazywamy wyrażenie zbudowane ze zdań prostych i spójników, które zawsze jest zdaniem prawdziwym (niezależnie od wartości logicznych zdań prostych),

Hierarchia spójkisnów :$ 1. negacja ~$ 2. Koniunkcja, alternatywa V$ 3. Implikacja, równoważność$

Zdaniem naam kade raenie kórem mona prporądkoać arość logicną pradę (1) lb fałs (0). Formł dań łoonch opisjem a pomocą miennch danioch (𝑝, 𝑞, 𝑟 … ora spójnikó logicnch

Spójniki zdaniowe: Symbol

Spójnik i lb jeeli o ed i lko ed gd nieprada e

∧ ∨   ∼

Nazwa symbolu koniunkcja alternatywa implikacja rónoaność negacja

Pradiość dania łoonego ale od arości logicnej dań składoch ora ch spójnikó danioch 𝑝 1 1 0 0

𝑞 1 0 1 0

∼𝑝 0 0 1 1

𝑝∧𝑞 1 0 0 0

𝑝∨𝑞 1 1 1 0

𝑝𝑞 1 0 1 1

𝑝𝑞 1 0 0 1

Formł kórch arość logicna jes ase pradą niealenie od arości logicnch sępjącch  nich zmiennych zdaniowych nazywamy tautologiami. Waniejse aologie 1. Prao osamości 𝑝𝑝 2. Prao podójnego precenia ∼ 󰇛∼ 𝑝󰇜  𝑝 3. Praa premienności 󰇛𝑝 ∧ 𝑞󰇜  󰇛𝑞 ∧ 𝑝󰇜 󰇛𝑝 ∨ 𝑞󰇜  󰇛𝑞 ∨ 𝑝󰇜 4. Praa łącności 𝑝 ∧ 󰇛𝑞 ∧ 𝑟󰇜  󰇛𝑝 ∧ 𝑞󰇜 ∧ 𝑟 𝑝 ∨ 󰇛𝑞 ∨ 𝑟󰇜  󰇛𝑝 ∨ 𝑞󰇜 ∨ 𝑟 5. Praa rodielności 󰇛𝑝 ∧ 󰇛𝑞 ∨ 𝑟󰇜 󰇜  󰇛𝑝 ∧ 𝑞󰇜 ∨ 󰇛𝑝 ∧ 𝑟󰇜

ሺ‫ ש ݌‬ሺ‫ݎ ר ݍ‬ሻሻ ฻ ൫ሺ‫ݍ ש ݌‬ሻ ‫ ר‬ሺ‫ݎ ש ݌‬ሻ൯ 6. Prawa De Morgana ‫ ׽‬ሺ‫ݍ ר ݌‬ሻ ฻ ൫ሺ‫݌ ׽‬ሻ ‫ ש‬ሺ‫ݍ ׽‬ሻ൯ ‫ ׽‬ሺ‫ݍ ש ݌‬ሻ ฻ ൫ሺ‫݌ ׽‬ሻ ‫ ר‬ሺ‫ݍ ׽‬ሻ൯ 7. Prawa tautologii

ሺ‫݌ ש ݌‬ሻ ฻ ‫݌‬ ሺ‫ ݌ ר ݌‬ሻ ฻ ‫݌‬

FunkcjČ zdaniowČ zmiennej ‫ܺ א ݔ( ݔ‬ሻ ŶĂnjLJǁĂŵLJ ŬĂǏĚĞ ǁLJƌĂǏĞŶŝĞ ǁ ŬƚſƌLJŵ ǁLJƐƚħƉƵũĞ zmienna ‫ ݔ‬ŝŬƚſƌĞƐƚĂũĞƐŝħnjĚĂŶŝĞŵŐĚLJǁŵŝĞũƐĐĞ‫ ݔ‬ƉŽĚƐƚĂǁŝŵLJŶĂnjǁħĚŽǁŽůŶĞŐŽĞůĞŵĞŶƚƵ zbioru X. Kwantyfikatory :ĞǏĞůŝ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ũĞƐƚĨƵŶŬĐũČnjĚĂŶŝŽǁČnjŵŝĞŶŶĞũ‫ ݔ‬ሺ‫ܺ א ݔ‬ሻ, to njĂŵŝĂƐƚƉŝƐĂđ ĚůĂŬĂǏĚĞŐŽ‫ ݔ‬ŶĂůĞǏČĐĞŐŽĚŽܺ jest ݂ሺ‫ݔ‬ሻ, piszemy ሥ ݂ሺ‫ݔ‬ሻǤ ௫‫א‬௑

ĂŵŝĂƐƚƉŝƐĂđ ŝƐƚŶŝĞũĞ‫ ݔ‬ŶĂůĞǏČĐĞĚŽܺ ƚĂŬŝĞǏĞ݂ሺ‫ݔ‬ሻ piszemy ሧ ݂ሺ‫ݔ‬ሻǤ ௫‫א‬௑

Prawa De Morgana ǁƌĂĐŚƵŶŬƵŬǁĂŶƚLJĨŝŬĂƚŽƌſǁ  ሧ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ฻ ሥ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ௫‫א‬௑

௫‫א‬௑

௫‫א‬௑

௫‫א‬௑

 ሥ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ฻ ሧ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ

Prawa De Morgana$ 1. negacja koniunkcji dwóch zdań jest równoważna alternatywie negacji$ 2. Negacja alternatywy dwóch zdań jest równoważna koniunkcji ich negacji...