Zestaw 4 granice funkcji PDF

Preview

Summary

Download Zestaw 4 granice funkcji PDF

Description

Zestaw 4 - Granice funkcji A

Teoria

Definicja. A.1. (Granica właściwa funkcji w punkcie według Heinego) Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x0 ). Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 granicę właściwą g ∈ R, co zapisujemy limx→x0 f (x) = g, gdy h   i ^ lim xn = x0 ⇒ lim f (xn ) = g . (xn ),{xn }⊂(x0 )

n→∞

n→∞

Definicja. A.2. (Granica właściwa funkcji w nieskończoności według Heinego) Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(∞). Mówimy, że funkcja f ma w ∞ granicę g ∈ R, co zapisujemy limx→x0 f (x) = g, gdy h   i ^ lim xn = ∞ ⇒ lim f (xn ) = g . n→∞

(xn ),{xn }⊂S(∞)

n→∞

Definicja. A.3. (Granica niewłaściwa funkcji w nieskończoności według Heinego) Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(∞). Mówimy, że funkcja f ma w ∞ granicę niewłaściwą ∞, co zapisujemy limx→∞ f (x) = ∞, gdy   i h ^ lim xn = ∞ ⇒ lim f (xn ) = ∞ . n→∞

n→∞

(xn ),{xn }⊂S(∞)

Definicja. A.4. (Granica właściwa funkcji w punkcie według Cauchy’ego) Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x0 ). Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 granicę właściwą g ∈ R, co zapisujemy limx→x0 f (x) = g, gdy ^ _ ^ [(|x − x0 | < δ) ⇒ (|f (x) − g| < ε)] . ε>0 δ>0 x∈S(x0 )

B

Zadania

Zadanie B.1. Oblicz granicę funkcji: a) limx→3 f) limx→0

x2 −3

x4 +x2 +1

b) limx→1

√ √ x2 +1− x+1 √ 1− x+1

√ (x−1) 2−x x2 −1

c) limx→−2

√ 3

1− √x g) limx→1 1− 5 x

h) limx→0

x3 +3x2 +2x x2 −x−6

4x sin |2x|

d) limx→3

i) limx→0

sin 2x sin 3x

√ √ x+13−2 x+1 2 x −9

j)limx→0

e) limx→1

tan 2x tan x

Zadanie B.2. Korzysta jąc z definicji Heinego granicy funkcji uzasadnić podane równości: a) limx→4 (2x − 7) = 1

b) limx→∞

2x x+1

=2

c) limx→0+ √1x = ∞

d) limx→∞ (1 − x2 ) = −∞

Zadanie B.3. Korzysta jąc z twierdzeń o arytmetyce granic obliczyć podane granice: a) limx→1

x3 −x2 +x−1 x3 +x2 −x−1

e) limx→ π2

1−sin3 x cos x

√ √ 3 1+x− 3 1−x x

b) limx→0 f) limx→−∞

√ 4 4 x +1 x

c) limx→∞

g) limx→0

√ 1+x+2 √ 1+x2

d) limx→106

√ x−103 √ 3 x−102

25x −9x 5x −3x

Zadanie B.4. Korzysta jąc z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnić podane równości: a) limx→0 x sin x1 = 0

b) limx→∞

x2 +sin x x2 −cos x

=1

Zadanie B.5. Korzysta jąc z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć podane granice: a) limx→0

sin 5x sin 3x

b) limx→ π2

cos x π−2x

c) limx→0

1−e2x tan x

)x+1 d) limx→∞ ( 3x+5 3x+7

1



1 1−x

−

3 1−x3

...