7.wykład-badanie funkcji-wypukłość,wklęsłość wykresu funkcji PDF

Preview

Summary

Oryginalne notatki wykładów z dr Freus...

Description

7. Badanie funkcji – wypukłość, wklęsłość wykresu funkcji Definicja (wypukłość i wklęsłość wykresu funkcji) Wykres funkcji f ( x ) różniczkowalnej w punkcie x0 nazywamy wypukłym (wklęsłym) w tym punkcie, jeśli istnieje takie sąsiedztwo punktu x0 , że dla każdego punktu należącego do tego sąsiedztwa, punkty P( x, f ( x)) wykresu funkcji leżą powyżej (poniżej) stycznej poprowadzonej do wykresu funkcji w punkcie o odciętej x0 . Wykres funkcji f ( x ) wypukły (wklęsły) w każdym punkcie x  ( a, b) nazywamy wypukłym (wklęsłym) na przedziale (a, b)

Twierdzenie (wypukłość i wklęsłość wykresu funkcji) Jeśli f ( x )  0 dla każdego x  (a ,b ) , to wykres funkcji f ( x) jest wypukły na (a, b) Jeśli f ( x )  0 dla każdego x  (a ,b ) , to wykres funkcji f ( x) jest wklęsły na (a, b)

Definicja (punkt przegięcia wykresu funkcji) Punkt P( x0 , f ( x0 )) nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji f ( x) , jeśli funkcja f ( x) jest ciągła w punkcie x0 oraz jest wypukła w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu x0 i wklęsła w pewnym prawostronnym jego sąsiedztwie albo na odwrót.

Rys. źródło [1]

1

7. Badanie funkcji – wypukłość, wklęsłość wykresu funkcji Twierdzenie (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia) Jeśli funkcja f ( x ) spełnia warunki 1. punkt P( x0 , f ( x0 )) jest jej punktem przegięcia 2. istnieje f  (x 0 ) to f  ( x0 ) =0

Uwaga Funkcja może mieć punkty przegięcia tylko w tych punktach, w których jej druga pochodna równa się zero lub nie istnieje.

Przykład Wykres funkcji y  x 4 nie ma punktów przegięcia w punkcie x0  0 , pomimo iż f (0)  0

Twierdzenie (I warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia) Jeśli funkcja f ( x ) spełnia warunki 1. ma w punkcie x0 pochodną właściwą lub niewłaściwą  f ( x )  0 dla każdego x  S (x0 ,  ) 2.     f ( x)  0 dla każdego x  S ( x0 ,  ) to punkt P( x0 , f ( x0 )) jest punktem przegięcia jej wykresu

Uwaga Twierdzenie jest również prawdziwe, gdy nierówności dla drugiej pochodnej są odwrotne

Przykład Zbadać, czy funkcja y  x4  x2  1 ma punkty przegięcia

Przykład Znaleźć punkty przegięcia, przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji y  2ln x  ln2 x

2

7. Badanie funkcji – wypukłość, wklęsłość wykresu funkcji Twierdzenie (II warunek wystarczający istnienia ekstremum) Jeśli funkcja f ( x) spełnia warunki 1. w pewnym otoczeniu punktu x0 ma pochodne do trzeciego rzędu włącznie 2. f  ( x) jest ciągła w x0 f ( x0 )  0 4. f  ( x0 )  0 to punkt P( x0 , f ( x0 )) jest jej punktem przegięcia

3.

Przykład Znaleźć punkty przegięcia funkcji y  sin 2x na przedziale  0,   Przykład Zbadać przebieg zmienności funkcji f ( x)  xe x

3...