3.wykład- granice funkcji, ciągłość funkcji PDF

Preview

Summary

Oryginalne notatki wykładów z dr Freus...

Description

3. Granice funkcji, ciągłość funkcji Otoczeniem o promieniu r>0 punktu x0  R nazywamy zbiór O( x0 , r )  ( x0  r , x0  r )   x R : x  x0  r

Sąsiedztwem o promieniu r>0 punktu x0  R nazywamy zbiór S ( x0 , r)  ( x0  r, x0 )  ( x0 , x0  r )   x  R : 0  x  x0  r

Sąsiedztwem lewostronnym o promieniu r>0 punktu x0  R nazywamy zbiór

S  ( x0 , r)  ( x0  r, x0 )   x  R : x0  r  x  x0  Sąsiedztwem prawostronnym o promieniu r>0 punktu x0  R nazywamy zbiór

S  ( x0 , r)  ( x0 , x0  r)  x R : x0  x x0  r Sąsiedztwem  nazywamy zbiór S( )  ( , a), a  R Sąsiedztwem  nazywamy zbiór S ( )  (b , ), b  R

Definicja Heinego ( granicy właściwej funkcji w punkcie) Niech S będzie sąsiedztwem punktu x0 i niech f ( x ) będzie określona w każdym punkcie tego sąsiedztwa. Liczba g jest granicą właściwą funkcji f ( x ) w punkcie x 0 , co zapisujemy lim f ( x)  g , x  x0

wtedy i tylko wtedy, gdy



( xn ) ( xn )  S ( x0 )

( ( lim xn  x0 )  (lim f ( xn )  g )) n

n

Przykład Na podstawie definicji Heinego wykazać, że x 1 lim 2  0,5 x1 x  1

Rys. źródło [5]

1

3. Granice funkcji, ciągłość funkcji Przykład Na podstawie definicji wykazać, że nie istnieją granice

a) lim x 0

x x

b) lim sin x 0

1 x

Uwaga (1) (2) Aby wykazać, że dana granica nie istnieje, należy dobrać dwa różne ciągi ( x n ), (x n ) spełniające

( 2) (1) x i x (2) x , dla każdego n  N , aby warunek: lim(xn )  x0 i lim( xn )  x0 ,gdzie x (1) n  0 n  0 n

n 

jednocześnie ciągi f ( x(1) ) i f ( x(2) ) miały różne granice. n n

x

10-1

10 -2

10-3

10-4

10 -5

10-6

10-7

sin(1/x)

-0,54

-0,51

0,83

-0,31

0,036

-0,35

0,42

Definicja Cauchy’ego ( granicy właściwej funkcji w punkcie) Niech S będzie sąsiedztwem punktu x0 i niech f ( x ) będzie określona w każdym punkcie tego sąsiedztwa. Liczba g jest granicą właściwą funkcji f ( x ) w punkcie x0 , co zapisujemy lim f ( x)  g , x  x0

wtedy i tylko wtedy, gdy

  >0

 0

x S ( x 0)

(

x  x 0   )  ( f ( x )  g   )

Rys. Cauchy’ego granica właściwa funkcji

2

3. Granice funkcji, ciągłość funkcji Przykład Na podstawie definicji Cauchy’ego wykazać, że lim

x 1  0,5 x 1

x 1 2

Definicja Heinego ( granicy niewłaściwej funkcji w punkcie) Niech S będzie sąsiedztwem punktu x0 i niech f ( x ) będzie określona w każdym punkcie tego sąsiedztwa. Funkcji f ( x ) ma w punkcie x0 granicę niewłaściwą  lub   co zapisujemy lim f ( x)   , lub lim f ( x)   wtedy i tylko wtedy, gdy x x0

x  x0



( xn ) ( xn ) S ( x0 )

( ( lim xn  x0 )  (lim f ( xn)   (lub  )) n

n

Uwaga 1. Jeśli w definicji Heinego granicy funkcji

f ( x ) w punkcie x0 (właściwej albo

niewłaściwej) zastąpimy sąsiedztwo S punktu x0 sąsiedztwem lewostronnym S  punktu x 0 , to otrzymamy definicję granicy lewostronnej funkcji f ( x ) w punkcie

x0 ( stosujemy oznaczenie lim f ( x ) ) x x0

2. Jeśli w definicji Heinego granicy funkcji

f ( x ) w punkcie x0 (właściwej albo

niewłaściwej) zastąpimy sąsiedztwo S punktu x0 sąsiedztwem prawostronnym S  punktu x0 , to otrzymamy definicję granicy prawostronnej funkcji f ( x ) w punkcie

x0 ( stosujemy oznaczenie lim f (x ) ) x x0

3

3. Granice funkcji, ciągłość funkcji Twierdzenie (warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy) Funkcja f (x ) ma w punkcie x 0 granicę właściwą (niewłaściwą) wtedy i tylko wtedy, gdy lim f ( x)  lim f ( x)

x x 0

x x 0

Wspólna wartość granic jednostronnych jest granicą funkcji f ( x )

Przykład Obliczyć:

lim f( x) 

lim f( x) 

f (1) 

lim f ( x) 

x 1

x 1

x1

Przykład

( a) lim x 1

Obliczyć:

3 x x 1

( b) lim e

lim x 1

1 x

1

lim e x

x 0

( c) lim x 0

3 x x 1

x 0

x

lim

x

x 0

x x

Definicja Heinego ( granicy właściwej funkcji w nieskończoności) Niech f ( x) będzie określona w każdym punkcie sąsiedztwa S ( )

Liczba g jest granicą właściwą funkcji f ( x ) w  , co zapisujemy lim f ( x)  g , x 

wtedy i tylko wtedy, gdy



( xn ) ( xn )  S (  )

( ( lim xn   )  (lim f ( xn )  g )) n 

n 

4

3. Granice funkcji, ciągłość funkcji Podobnie definiuje się pozostałe granice w nieskończoności, takie jak: lim f ( x)  g, lim f ( x)  , lim f ( x)  , lim f ( x)  , lim f ( x)   x 

x 

x 

x 

x 

Twierdzenia (o granicach właściwych funkcji) 1. Jeśli funkcje f (x ) i g (x ) mają granice właściwe w punkcie x0 , c jest stałą, to lim ( f ( x)  g ( x))  lim f ( x )  lim g ( x )

x x 0

x x 0

x x 0

lim ( cf ( x))  c lim f ( x)

x x 0

x x 0

lim ( f (x )  g (x ))  lim f (x )  lim g ( x )

x x 0

lim

x x 0

x x 0

x x 0

f ( x) f ( x) xlim x , o ile lim g ( x)  0  0 x x 0 g (x ) lim g ( x )

lim  f ( x) 

x x 0

x x 0

g ( x)





 lim  f ( x)  x x 0

lim g ( x)

x x 0

Twierdzenie to jest także prawdziwe dla granic jednostronnych funkcji w punkcie x0 oraz dla granic w  lub 

2. (o trzech funkcjach) Jeśli funkcje f (x ), g (x ), h (x ) spełniają warunki a) f ( x)  g( x)  h( x) dla każdego x  S (x0 ) b) lim f ( x )  lim h ( x )  g x x0

x x0

to lim g (x )  g x x0

Rys. Twierdzenie o trzech funkcjach, źródło [5]

Twierdzenie to jest także prawdziwe dla granic jednostronnych funkcji w punkcie x0 oraz dla granic w  lub 

Przykład Wykazać, że lim x

sin x 0 x

5

3. Granice funkcji, ciągłość funkcji

lim x0

Granice pewnych funkcji

ax  1  ln a x

lim x0

x

 k lim 1    ek , k  R x  x  1 arctgx lim 1  x  x  e lim =1 x0 x0 x

sin x =1 x

tgx =1 x arcsin x =1 lim x 0 x

lim x 0

Przykład Obliczyć lim x 0

sin 2 x sin 4 x

Twierdzenia (o granicach niewłaściwych funkcji) 1. Jeśli lim f ( x)   i lim g ( x)  g ,to x x0

x x0

lim ( f ( x)  g ( x ))   x x0

lim ( g( x)  f ( x))   x x0

lim ( f ( x)  g ( x))   gdy g  0 x x0

lim ( f ( x)  g ( x))   gdy g  0 x x0

f ( x)   gdy g  0, o ile f ( x)  0 w S( x0) g ( x) f ( x) lim   gdy g  0, o ile f ( x)  0 w S ( x0 ) x x0 g ( x) g ( x) lim 0 x x0 f ( x)

lim

x x0

Twierdzenie to jest także prawdziwe dla granic jednostronnych i dla granic niewłaściwych 2.

(o dwóch funkcjach) Jeśli funkcje f (x ), g (x )spełniają warunki a)

f ( x )  g ( x ) dla każdego x  S ( x0)

b) lim f ( x)   x x 0

to lim g (x )   x x

0

6

3. Granice funkcji, ciągłość funkcji Twierdzenie to jest także prawdziwe dla granic jednostronnych oraz dla granic w  lub  . Ponadto twierdzenie to jest prawdziwe dla granicy niewłaściwej równej 

Podobnie jak dla ciągów liczbowych Symbole nieoznaczone – to wyrażenia

 , 0 ,   , 0 , 1 , 0, 0 0  0 Ich wartości zależą od postaci tworzących ich funkcji. Przykład

2 x3  3x 2  32x  15 x 3 x 3  2 x 2 5 x  6

Obliczyć lim

Ciągłość funkcji Niech funkcja f ( x ) będzie określona w pewnym otoczeniu O( x0 ) punktu x 0

Definicja (funkcji ciągłej w punkcie) Funkcja f (x ) jest ciągła w punkcie x0 , jeśli jest określona w tym punkcie oraz istnieje granica w tym punkcie i zachodzi równość lim f ( x)  f ( x0 ) x x 0

7

3. Granice funkcji, ciągłość funkcji Definicja ( ciągłości prawo i lewostronnej funkcji w punkcie) Funkcja f (x ) jest 

prawostronnie ciągła w punkcie x0 , jeśli jest określona w prawostronnym otoczeniu tego punktu oraz zachodzi równość



lim f ( x )  f ( x 0 )

x  x0 

lewostronna ciągła w punkcie x 0 , jeśli jest określona w lewostronnym otoczeniu tego punktu oraz zachodzi równość lim f ( x )  f ( x0 ) x  x0

Twierdzenie (warunek konieczny i wystarczający ciągłości funkcji)

Funkcja f (x ) jest ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy jest prawostronnie i lewostronnie ciągła w tym punkcie.

Definicja (ciągłość funkcji w przedziale domkniętym) Funkcja f (x ) jest ciągła w przedziale domkniętym [a,b], jeśli jest ciągła w przedziale otwartym (a,b) oraz prawostronnie ciągła w punkcie a i lewostronnie ciągła w punkcie b.

Nieciągłość funkcji a) Definicja (nieciągłość pierwszego rodzaju) Funkcja f (x ) ma w punkcie x0 nieciągłość rodzaju pierwszego, jeśli istnieją właściwe granice lim f ( x), lim f ( x) oraz x x0

x x0

lim f ( x )  f ( x 0 ) lub lim f ( x )  f ( x 0 )

x x0



x x0

funkcja f ( x) ma w punkcie x0 nieciągłość rodzaju pierwszego typu ,,skok’’, jeśli lim f ( x)  lim f ( x)

x x 0



x x 0

funkcja f ( x) ma w punkcie x0 nieciągłość rodzaju pierwszego typu ,,luka’’, jeśli lim f ( x )  lim f ( x )  f ( x0 )

x x0

x x0

8

3. Granice funkcji, ciągłość funkcji b) Definicja (nieciągłość drugiego rodzaju) Funkcja f (x ) ma w punkcie x0 nieciągłość rodzaju drugiego, jeśli co najmniej jedna z granic lim f ( x ), lim f ( x ) jest niewłaściwa lub nie istnieje. x  x0

x x0

Przykład Zbadać ciągłość funkcji  ex , x  0 a) f ( x )   2 ,   x , x  0

w punkcie x0  0

 x 3  x 2  2x , x 1  b) f ( x)   x 1  2, x 1 

 1 , x 0  2  , f x ( ) c)  x sin x 0, x 0

, w punkcie x0  1

w punkcie x0  0

Twierdzenia (o funkcjach ciągłych) 1. Jeśli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x0 , to funkcje f  g, f  g, f  g są ciągłe w punkcie x0 oraz funkcja

f jest ciągła w x0 , o ile g (x 0)  0 g

2. Jeśli funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 , funkcja g jest ciągła w punkcie f ( x0 ) , to funkcja złożona g  f jest ciągła w x0 3. Funkcja odwrotna do funkcji rosnącej (malejącej) i ciągłej jest rosnąca (malejąca) i ciągła 4. Każda funkcja elementarna jest ciągła w swojej dziedzinie

9

3. Granice funkcji, ciągłość funkcji 5. Jeśli funkcja jest ciągła na przedziale [a,b],to jest na tym przedziale ograniczona (tw. Weierstrassa - matematyka niemieckiego, XIX wiek)

6. Jeśli funkcja f ( x) jest ciągła na przedziale [a,b] oraz f (a) f (b)  0, to istnieje punkt c  (a, b) taki, że f (c)  0 (tw. Darboux (matematyka francuskiego, XIX - XX wiek) o miejscach zerowych funkcji)

Rys. Twierdzenie Darboux o miejscach zerowych funkcji

10...