6.wykład- badanie funkcji- ekstrema lokalne funkcji PDF

Preview

Summary

Oryginalne notatki wykładów z dr Freus...

Description

6. Badanie funkcji – ekstrema lokalne funkcji Ekstrema funkcji Definicja Funkcja f ( x ) ma w punkcie x0 minimum lokalne, jeśli Funkcja f ( x ) ma w punkcie x0 maksimum lokalne, jeśli

 

 

x S ( x0 ,  ) x S ( x0 , )

f ( x )  f ( x0 ) f ( x )  f ( x0 )

 Jeśli w definicji zastąpimy symbole ,  symbolami ,  to mówimy o minimum lokalnym właściwym i maksimum lokalnym właściwym  Minima i maksima lokalne funkcji nazywamy ekstremami lokalnymi funkcji ( krótko ekstremami funkcji)

Rys. Źródło [1]

 Ekstremum funkcji jest pojęciem lokalnym i nie należy tego mylić z wartością największą i najmniejszą funkcji

1

6. Badanie funkcji – ekstrema lokalne funkcji Twierdzenie Fermata (warunek konieczny istnienia ekstremum) (Pierre de Fermat - matematyk francuski, XVII wiek )

Jeśli funkcja f ( x ) 1. ma ekstremum lokalne w punkcie x0 2. istnieje f ( x0 ) to f ( x0 )  0 Uwaga  Jeśli funkcja f ( x ) jest różniczkowalna w punkcie x0 oraz f ( x0 )  0 , to funkcja nie ma w tym punkcie ekstremum lokalnego  Funkcja może mieć ekstrema lokalne tylko w tych punktach, w których jej pochodna równa się zero lub nie istnieje.

Przykład Funkcja y  x 3 nie ma ekstremum w punkcie x0  0 , pomimo iż

f (0)  0

Przykład Funkcja y  x ma ekstremum w punkcie x0  0 , pomimo iż

f (0) nie istnieje

Twierdzenie (I warunek wystarczający istnienia ekstremum) Jeśli funkcja f ( x ) spełnia warunki 1.

f ( x0 )  0

 f ( x)  0 dla każdego x S ( x0 , )   f ( x)  0 dla każdego x  S  ( x0 , ) to funkcja f ( x ) ma punkcie x0 maksimum lokalne właściwe

2.



Jeśli funkcja f ( x ) spełnia warunki 1.

f ( x0 )  0

 f ( x)  0 dla każdego x  S  ( x0 , )   f ( x)  0 dla każdego x  S ( x0 , ) to funkcja f ( x) ma punkcie x 0 minimum lokalne właściwe

2.



2

6. Badanie funkcji – ekstrema lokalne funkcji Przykład Znaleźć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji y  ( x 1) ln( x 1)

Definicja (pochodne wyższych rzędów) Niech funkcja f ( x ) jest różniczkowalna na zbiorze X ma i niech funkcja f ( x) ma pochodną w każdym punkcie zbioru X  pochodną rzędu drugiego funkcji f ( x ) określamy: f ( x)  ( f ( x)) 

d2 f , D2 f ) dx 2

(inne oznaczenia dla pochodnej rzędu drugiego:

Niech z kolei funkcja f ( x) ma pochodną na zbiorze X  pochodną rzędu trzeciego funkcji f ( x ) określamy: f ( x)  ( f ( x)) 

d3 f , D3 f ) dx 3

(inne oznaczenia dla pochodnej rzędu drugiego:

Ogólnie  pochodną rzędu n-tego funkcji f ( x ) określamy: f ( n) ( x )  ( f ( n1) ( x )) , n  1, 2,... przy czym przyjmujemy, że

f

(0)

(x )  f ( x )

(inne oznaczenia dla pochodnej rzędu n-tego :

dn f , Dn f ) n dx

Przykład Jeśli f ( x)  x5 , to f ( x)  5 x 4 , f ( x )  20 x3 , f ( x)  60 x 2 , f (4) ( x )  120 x, f (5) ( x)  120, f (6) ( x)  f (7) ( x )  ...  0

Jeśli f ( x)  ex , to f ( x)  e x , f ( x)  ex , f ( x)  ex ...

3

6. Badanie funkcji – ekstrema lokalne funkcji Twierdzenie (II warunek wystarczający istnienia ekstremum) Jeśli funkcja f ( x ) w pewnym otoczeniu punktu x 0 spełnia warunki 1. ma pochodną rzędu drugiego ciągłą w punkcie x 0 2.

f ( x0 )  0

3.

f  (x0 )  0

to funkcja ma w punkcie x0 

maksimum, gdy f  ( x0 )  0



minimum, gdy f ( x0 )  0

Przykład 2 Znaleźć ekstremum lokalne funkcji y  e  x

4...