Arkusz zadań - Zastosowania pochodnych funkcji PDF

Preview

Summary

Arkusz zadań obowiązkowych z zastosowania pochodnych funkcji...

Description

Arkusz zadań: Zastosowania pochodnych funkcji (Matematyka 1, studia stacjonarne) Marek Małolepszy

Politechnika Łódzka Wydział Mechaniczny

A RKU SZ

ZA DAŃ

Zastosowania pochodnych funkcji Zadanie 1. Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji a)

𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 2𝑥 3 + 2

b)

𝑓(𝑥) =

c)

g)

𝑓(𝑥) = arctg(𝑥 − 1) + ln(2𝑥)

(1 − 𝑥)2 2𝑥

h)

𝑓(𝑥) =

𝑥 1 − ln𝑥

𝑓(𝑥) =

𝑥+3 𝑥−2

i)

𝑣(𝑟) =

ln𝑟 𝑟2

d)

𝑓(𝑥) =

𝑥 2 + 4𝑥 − 3 𝑥−2

j)

𝑧(𝑥) = e

e)

𝑓(𝑥) = 𝑥 − 5arctg𝑥

k)

𝐸(𝑣) = 𝑣 2 e−𝑣

f)

𝑓(𝑥) = ln𝑥 − 𝑥 −

2 𝑥

l)

𝑠(𝑡) = ln3 𝑡 − 3ln2 𝑡 + 2

𝑥 2 +2𝑥+1 𝑥−1

Zadanie 2. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji korzystając z II warunku wystarczającego 𝑥2 − 1 𝑥

a)

𝑓(𝑥) =

b)

𝑓(𝑥) = 𝑥 − ln(1 + 𝑥)

c)

𝑆(𝑤 ) = ln2 𝑤 + ln𝑤

d)

1 ℎ(𝑦) = e−𝑦 𝑦

Zadanie 3. Wyznacz przedziały wypukłości, wklęsłości i punkty przegięcia wykresów funkcji a)

𝑓(𝑥) = 3𝑥 4 + 2𝑥 3 + 2𝑥

e)

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 e−𝑥

b)

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 −

1 𝑥−1

f)

𝑓(𝑥) = ln

c)

𝑓(𝑥) =

g)

𝑔(𝑧) = 𝑧arctg𝑧 − 2𝑧 2

d)

𝑓(𝑥) =

h)

𝑃(𝑎) = e1+𝑎

𝑥 2 + 2𝑥 + 1 𝑥2 + 1

𝑥 2 + ln𝑥

1 1 + 𝑥2

1−𝑎

Zadanie 4. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji we wskazanym przedziale a)

𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥, [−2, 2]

c)

𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 e𝑥 , [−1, 3]

b)

𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 2𝑥 2 + 1, [−2, 2]

d)

ℎ(𝑠) = arctg

2 , 2+𝑠

[0, 2]

Łódź 2018 1

Arkusz zadań: Zastosowania pochodnych funkcji (Matematyka 1, studia stacjonarne) Marek Małolepszy

Politechnika Łódzka Wydział Mechaniczny Zadanie 5. Wyznacz asymptoty krzywych 4 𝑥−2

a)

𝑦=

𝑥2 + 𝑥 𝑥−1

e)

𝑦=

b)

𝑦=

2𝑥 2 − 1 𝑥+2

f)

𝑦=𝑥+

c)

𝑦=

𝑥3 𝑥2 − 4

g)

𝑦=

d)

𝑦=

𝑥3 + 𝑥 𝑥+1

h)

𝑦 = 2𝑥 + 4 +

d)

𝑦=

e)

𝑦 = 𝑥e2

f)

𝑦 = 𝑥 − 2arctg𝑥

2 𝑥+1

𝑥 3 + 3𝑥 𝑥2 + 2 1 𝑥

Zadanie 6. Wyznacz asymptoty krzywych e−𝑥 𝑥+2

a)

𝑦=

b)

𝑦 = e1−𝑥

c)

𝑦=

1

𝑥 1 − ln𝑥

𝑥ln𝑥 1 − ln𝑥 𝑥

Zadanie 7. Określ czy istnieje funkcja spełniająca podane warunki. W przypadku, gdy funkcja o wskazanych warunkach istnieje naszkicuj jej wykres. a)

b)

𝐷 = (−∞, 2) ∪ (2, +∞), 𝑓 ′ (0) = 0, lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) 𝑥

= −1, lim𝑥→−∞(𝑓(𝑥) + 𝑥) = 0,

𝑓 ′′(𝑥) > 0 dla 𝑥 ∈ 𝐷, lim𝑥→2− 𝑓(𝑥) = +∞, lim𝑥→2+ 𝑓(𝑥) = +∞, lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = −3, 𝐷 = (−1, +∞), 𝑓 ′′(𝑥) < 0 dla 𝑥 ∈ (−1,1) ∪ (3, +∞), 𝑓 ′′(𝑥) > 0 dla 𝑥 ∈ (1,3), 𝑓 ′ (0) = 𝑓 ′(2) = 0,lim𝑥→1− 𝑓(𝑥) = lim𝑥→1+ 𝑓(𝑥), lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = −∞, 𝐷 = (−2,0) ∪ (0, +∞), 𝑓(−1) = 𝑓(1) = 𝑓 ′(1) = 𝑓(3) = 0,

c)

𝑓 ′ (𝑥) > 0 dla 𝑥 ∈ (−2,0) ∪ (1,2), 𝑓 ′ (𝑥) < 0 dla 𝑥 ∈ (0,1) ∪ (2,3) ∪ (3, +∞), na przedziałach (−1,0), (1,2), (3, +∞) pierwsza i druga pochodna mają takie same znaki,

d)

𝐷 = (−∞, +∞), lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) 𝑥

= lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) 𝑥

= 1, 𝑓 ′(𝑥) < 0 dla 𝑥 ∈ (−3, −1) ,

𝑓 ′ (𝑥) > 0 dla 𝑥 ∈ (−∞, −3) ∪ (−1, +∞), 𝐷 = (1, e) ∪ (e, +∞), lim𝑥→1+ 𝑓(𝑥) = lim− 𝑓(𝑥) = lim+ 𝑓(𝑥) = +∞, 𝑥→e

e)

lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) =

2,𝑓 ′ (𝑥)

>0

𝑥→e

dla 𝑥 ∈ (2, e) ∪ (e2 , +∞),

𝑓 ′ (𝑥) < 0 dla 𝑥 ∈ (1,2) ∪ (e, e2 ), 𝑓(e2 ) = e.

Łódź 2018 2

Arkusz zadań: Zastosowania pochodnych funkcji (Matematyka 1, studia stacjonarne) Marek Małolepszy

Politechnika Łódzka Wydział Mechaniczny

Zadanie 8. Uzupełnij tabelkę i na podstawie podanych informacji naszkicuj wykres funkcji

a)

𝑥

(−∞, −2)

𝑓′′(𝑥)

−

𝑥

(−∞, −1)

𝑓′′(𝑥)

−

𝑓′(𝑥)

+

𝑓(𝑥)

𝑓′(𝑥)

b)

−1

(−1,0)

−

0

+

(−1,1)

1

0

−

1

+

𝑓(𝑥)

(−2, −1)

−2

−1 0

−

−

0

−4

0

+

−1

(1,4)

0

−

+

(4, +∞)

4

+

−

(0, +∞)

0

+

10

+

lim 𝑓(𝑥) = lim+ 𝑓(𝑥) = −∞

𝑥→1−

𝑥→1

W−∞ i +∞ funkcja 𝑓 ma asymptotę ukośną o równaniu 𝑦 = 𝑥 − 2. 𝑥

(−5, −3)

𝑓′′(𝑥)

−

𝑓′(𝑥)

c)

𝑓(𝑥)

−

lim 𝑓(𝑥) = 0,

𝑥→−5+

−3

(−3,0)

0

+

0

−

−1

(0,1) −

1

−

lim 𝑓(𝑥) = lim+ 𝑓(𝑥) = lim− = −∞,

𝑥→−3−

𝑥→−3

𝑥→1

(1,3) − +

3

3

(3, +∞) − +

lim 𝑓(𝑥) = +∞

𝑥→1+

Prosta 𝑦 = 2 jest asymptotą poziomą w +∞.

Łódź 2018 3

Arkusz zadań: Zastosowania pochodnych funkcji (Matematyka 1, studia stacjonarne) Marek Małolepszy

Politechnika Łódzka Wydział Mechaniczny

Odpowiedzi Zadanie 1. 3

Malejąca na przedziałach (−∞, 0), (0, 2), g)

Rosnąca na przedziale (0, +∞). Brak ekstremów lokalnych.

b)

Malejąca na przedziałach (−1,0), (0,1) rosnąca na przedziałach (−∞, −1), (1, +∞). Min. lok. dla 𝑥 = 1, max. lok. dla 𝑥 = −1.

h)

Malejąca na przedziale (e2 , +∞), rosnąca na przedziałach (0, e), (e, e2 ). Max. lok. dla 𝑥 = e2 .

c)

Malejąca na przedziałach (−∞, 2), (2, +∞). Brak ekstremów lokalnych.

i)

Malejąca na przedziale (√e, +∞), rosnąca na przedziale (0, √e). Max. lok. dla 𝑟 = √e.

d)

Malejąca na przedziałach (−1,2), (2,5), rosnąca na przedziałach (−∞, −1), (5, +∞). Min. lok dla 𝑥 = 5, max. lok. dla 𝑥 = −1.

j)

Malejąca na przedziałach (−1,1), (1,3), rosnąca na przedziałach (−∞, −1), (3, +∞). Min. lok dla 𝑥 = 3, max. lok. dla 𝑥 = −1.

e)

Malejąca na przedziale (−2,2), rosnąca na przedziałach (−∞, −2), (2, +∞). Min. lok. dla 𝑥 = 2, max. lok. dla 𝑥 = −2.

k)

Malejąca na przedziałach (−∞, 0), (2, +∞), rosnąca na przedziale (0,2). Min. lok. dla 𝑣 = 0, max. lok. dla 𝑣 = 2.

f)

Malejąca na przedziale (2, +∞), rosnąca na przedziale (0,2). Max. lok dla 𝑥 = 2.

l)

Malejąca na przedziale (1, e2 ), rosnąca na przedziałach (0,1), (e2 , +∞). Min. lok. dla 𝑡 = e2 , max. lok. dla 𝑡 = 1.

a)

3

rosnąca na przedziale ( 2 , +∞). Min. lok. 3

dla 𝑥 = 2.

Zadanie 2. 1

a)

Funkcja nie ma ekstremów lokalnych.

c)

Min. lok. dla 𝑤 = e− 2.

b)

Min. lok. dla 𝑥 = 0.

d)

Max. lok. dla 𝑦 = −1.

c)

Punkty przegięcia dla 𝑥 = − 3, 𝑥 = 0.

Wklęsły na przedziałach (−∞, −√3), (0, √3), wypukły na przedziałach (−√3, 0), (√3, +∞).Punkty przegięcia dla 𝑥 = −√3, 𝑥 = 0, 𝑥 = √3.

Wklęsły na przedziale (1,2), wypukły na przedziałach (−∞, 1), (2, +∞). Punkt przegięcia dla 𝑥 = 2.

d)

Wklęsły na przedziałach (0, e−2 ), (1, +∞), wypukły na przedziale (e−2 , 1). Punkt przegięcia dla 𝑥 = 1.

Zadanie 3. 1

Wklęsły na przedziale (− 3 , 0), wypukły a)

1 na przedziałach (−∞, − 3), (0, +∞). 1

b)

Łódź 2018 4

Arkusz zadań: Zastosowania pochodnych funkcji (Matematyka 1, studia stacjonarne) Marek Małolepszy

Politechnika Łódzka Wydział Mechaniczny

e)

Wklęsły na przedziale (2 − √2, 2 + √2), wypukły na przedziałach (−∞, 2 − √2), (2 + √2, +∞). Punkty przegięcia dla 𝑥 = 2 − √2, 𝑥 = 2 + √2.

f)

Wklęsły na przedziale (−1,1), wypukły na przedziałach (−∞, −1), (1, +∞). Punkty przegięcia dla 𝑥 = −1, 𝑥 = 1.

g)

Wklęsły na przedziale (−∞, +∞). Brak punktów przegięcia.

h)

Wklęsły na przedziale (−∞, −2), wypukły na przedziałach (−2, −1), (−1, +∞). Punkt przegięcia dla 𝑎 = −2.

c)

Wart. najmniejsza: 𝑓(0) = 0. Wart. największa: 𝑓(3) = 27e3 .

Zadanie 4. a)

Wart. najmniejsza: 𝑓(−2) = 𝑓(1) = −2. Wart. największa: 𝑓(−1) = 𝑓(2) = 2.

b)

Wart. najmniejsza: 𝑓(−1) = 𝑓(1) = 0. Wart. największa: 𝑓(−2) = 𝑓(2) = 9.

1

d)

Wart. najmniejsza: ℎ(2) = arctg ( 2). 𝜋

Wart. największa: ℎ(0) = 4 .

Zadanie 5. a)

Asympt. pion. obustr.: 𝑥 = 1. Asympt. ukośna w −∞ i +∞: 𝑦 = 𝑥 + 2.

e)

Asympt. pion. obustr.: 𝑥 = 2. Asympt. ukośna w −∞ i +∞: 𝑦 = 0.

b)

Asympt. pion. obustr.: 𝑥 = −2. Asympt. ukośna w −∞ i +∞: 𝑦 = 2𝑥 − 4.

f)

Asympt. pion. obustr.: 𝑥 = −1. Asympt. ukośna w −∞ i +∞: 𝑦 = 𝑥.

c)

Asympt. pion. obustr.: 𝑥 = −2, 𝑥 = 2. Asympt. ukośna w −∞ i +∞: 𝑦 = 𝑥.

g)

Brak asymptot pionowych. Asympt. ukośna w −∞ i +∞: 𝑦 = 𝑥

d)

Asympt. pion. obustr.: 𝑥 = −1. Brak asymptot ukośnych.

h)

Asympt. pion. obustr.: 𝑥 = 0. Asympt. ukośna w −∞ i +∞: 𝑦 = 2𝑥 + 4.

d)

Asympt. pion. obustr.: 𝑥 = e. Brak asympt. ukośnej w +∞.

e)

Brak asympt. pion. Asympt. poz. w −∞: 𝑦 = 0. Brak asympt. ukośnej w +∞.

f)

Brak asympt. pion. Asympt. ukośna w −∞: 𝑦 = 𝑥 + 𝜋. Asympt. ukośna w +∞: 𝑦 = 𝑥 − 𝜋.

Zadanie 6. a)

Asympt. pion. obustr.: 𝑥 = −2. Asympt. poz. w +∞: 𝑦 = 0. Brak asympt. ukośnej w −∞.

b)

Asympt. pion. lewostronna: 𝑥 = 1. Asympt. poz. w −∞ i +∞: 𝑦 = 1.

c)

Asympt. pion. obustr.: 𝑥 = e. Brak asympt. ukośnej w +∞.

Łódź 2018 5...