03-Lei de Hardy-Weinberg PDF

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Resumo do conteúdo da aula e estudos...

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Lei de Hardy-Weinberg Em organismos de reprodução sexuada, os genótipos não são transmitidos de uma geração para outra. Na gametogênese os alelos de um locus são separados um do outro (1ª Lei de Mendel). Por ocasião da fertilização os alelos formam pares novamente em combinações que podem ser as mesmas observadas em um ou em ambos os genitores, mas que podem também ser diferentes das dos genitores. O matemático inglês Godfrey Harold Hardy e o fisiologista alemão Wilhelm Weinberg formularam independentemente, em 1908, um modelo matemático que foi denominado Lei de Hardy-Weinberg. Segundo este modelo as frequências genotípicas poderiam ser estimadas a partir das frequências alélicas. A lei de Hardy-Weiberg baseia-se no modelo de cruzamento aleatório. Segundo este modelo os pares de reprodutores possuem as mesmas frequências como se eles tivessem sido formados por uniões aleatórias de gametas1. O cruzamento pode ser aleatório para algumas características e não ser aleatório para outras. Desvios do cruzamento aleatório em uma população podem ser detectados, comparando-se o número observados de indivíduos de cada genótipo com o número esperado mediante cruzamento aleatório. A lei de Hardy-Weinberg é, portanto, um modelo matemático que permite que se detecte desvios da aleatoriedade nos cruzamentos que ocorrem em uma população. Se estes desvios forem significativos a população deverá estar sofrendo algum tipo de mudança (evolução). Se os desvios não forem significativos, a população está em equilíbrio de Hardy-Weinberg. Uma população em equilíbrio é estável quanto às frequências alélicas e, portanto, não está mudando (evoluindo). As frequências genotípicas são determinadas em parte pelo padrão de cruzamento. As frequências genotípicas também podem modificadas em função de modificações nas frequências alélicas. Fenômenos como mutação, migração, seleção natural e deriva genética promovem mudança nas frequências alélicas, isto é, modificam o pool gênico de uma população. Segundo Templeton (2011)2, a Lei de Hardy-Weinberg tem as seguintes premissas: 1. Quanto aos mecanismos de produção de gametas (arquitetura genética) a. Um locus autossômico (isto é, o organismo é diploide e não há distinção entre sexos). b. Presença de dois alelos (pode ter mais alelos). c. Ausência de mutação (mutações modificam as frequências alélicas). d. 1ª Lei de Mendel (não há diferença de qual parental veio um alelo específico, não há efeito paterno ou materno). 2. Quanto aos mecanismos de união de gametas (estrutura populacional): a. Sistema de acasalamento ao acaso (a probabilidade de dois genótipos serem parceiros depende do produto das frequências destes dois genótipos). b. Tamanho populacional infinito (tamanho populacional finito pode produzir desvios nas proporções de gametas produzidos e de gametas que se unem).

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Hartl, D.L.; Clark, A.G. Princípios de Genética de Populações. 4ª ed. Porto Alegre: Artmed, 2010. Templeton, A.R. Genética de Populações e Teoria Microevolutiva. Ribeirão Preto: Sociedade Brasileira de Genética, 2011.

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2 c. Troca genética inexistente (a população está isolada, não há fluxo gênico). d. Estrutura etária inexistente - gerações discretas (não há sobreposições de gerações). 3. Mecanismos de desenvolvimento de fenótipos: a. Todos os genótipos têm fenótipos idênticos com respeito à sua capacidade de replicar seu DNA (mesma aptidão, isto é, não ocorre seleção natural para os alelos em questão).

Se as premissas acima forem verdadeiras, então podem ser feitas as seguintes previsões: 1. As frequências alélicas na população não mudam. 2. As frequências genotípicas se estabilizam (não mudam) após uma geração nas proporções p2 (freq. de AA), 2pq (freq. de Aa) e q2 (freq. de aa), em que p é a frequência do alelo A e q a do alelo a.

As proporções (frequências) genotípicas previstas pela lei de Hardy-Weinberg podem ser obtidas a partir de um quadrado de Punnet. Bastando para isso incluir as frequências alélicas p e q dos alelos A e a. Essa inferência é baseada na presunção de que acasalamento aleatório implica na união aleatória de gametas.

Ovócitos

A (p) a (q)

Espermatozoides A a (p) (q) AA Aa (pxp=p2) (pxq=pq) Aa aa (qxp=qp=pq) (qxq=q2)

Portanto as frequências genotípicas esperadas mediante o cruzamento aleatório são dadas por: GAA = p2; GAa = pq + pq = 2pq; Gaa = q2 Vamos raciocinar em termos de possíveis pares reprodutivos que se formam em uma população, considerando um locus com dois alelos, A e a com frequências, respectivamente, p e q. Macho AA AA AA Aa Aa Aa aa aa aa

Fêmea AA Aa aa AA Aa aa AA Aa aa

Probabilidade do Casal p2 x p2 p4 p2 x 2pq 2p3q 2 2 p xq p 2q 2 2 2pq x p 2p3q 2pq x 2pq 4p2q2 2pq x q2 2pq3 2 2 q xp p 2q 2 2 q x 2pq 2pq3 2 2 q xq q4

AA p4 p 3q p 3q p 2q 2 -

Genótipos da Prole Aa aa 3 pq 2 2 pq p 3q 2p2q2 p 2q 2 pq3 pq3 2 2 pq pq3 pq3 q4

3 De todos os possíveis casais acima, indivíduos AA são produzidos à proporção de p4 se os genitores forem ambos AA; à proporção de p3q se os genitores forem AA e Aa. Como há duas possibilidades – AA x Aa e Aa x AA, casais desse tipo produzem indivíduos AA à proporção de 2p3q. E casais Aa x Aa produzem filhos AA à proporção de p2q2. Somando tudo temos: GAA = p4 + 2p3q + p2q2 = p2 (p2 + 2pq + q2) Sendo p2 a frequência de AA, 2pq de Aa e q2 de aa e sabendo que a soma das frequências genotípicas é 1 (p2 + 2pq + q2 = 1). Resta que a frequência de AA é: GAA = p2 O mesmo pode ser feito com os demais genótipos. GAa = 2p3q + 4p2q2 + 2pq3 = 2pq (p2 + 2pq + q2) = 2pq Gaa = p2q2 + 2pq3 + q4 = q2 (p2 + 2pq + q2) = q2 As frequências alélicas podem também ser estimadas: p = p2 + 2pq/2 = p2 + pq = p (p + q) = p (uma vez que p + q = 1) q = q2 + 2pq/2 = q2 + pq = q (p + q) = q (uma vez que p + q = 1) Portanto as frequências alélicas permanecem as mesmas sob acasalamento ao acaso.

Aplicando a lei de Hardy-Weinberg a um estudo populacional – teste do EHW Por meio da eletroforese é possível distinguir os diferentes alelos presentes em uma população. Na figura abaixo são ilustrados quatro géis hipotéticos mostrando o polimorfismo de uma proteína em uma população hipotética. Os dois alelos são representados pelas letras L (lento) e R (rápido) as quais representam as velocidades relativa de migração no gel.

L R

− − −

L R

−

− − −

− − − −

− − − − −

− − − − −

− − − − −

− − − −

− − − − − −

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L R

− − − −

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− − −

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− − −

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− − − − − − −

L R

− − − − −

− − − − − −

− − − − −

−

− −

− − − − −

− − − − −

− − − − − −

− − −

4 A partir do “gel” acima foram obtidos os seguintes números para cada genótipo: LL = 30

LR = 49

RR = 21

Qual a frequência de cada genótipo (frequência genotípica)? Para responder a esta questão basta dividir o número de indivíduos de cada genótipo pelo número total de indivíduos. O número total de indivíduos, ou tamanho da amostra é representado pela letra N. Assim, na amostra em questão N = 100. As frequências genotípicas (Gij) serão: 𝐺𝐿𝐿 =

30 100

= 0,30 ,

𝐺𝐿𝑅 =

49 100

= 0,49 ,

𝐺𝑅𝑅 =

21 100

= 0,21

Quantos alelos L e quantos alelos R foram observados? Poderíamos voltar ao gel e contar alelo por alelo. Mas como já temos a contagem dos genótipos basta lembrar que o homozigoto tem duas cópias do alelo e o heterozigoto uma cópia de cada alelo. Logo, o total de alelos L corresponde ao dobro do número de indivíduos LL mais o número de indivíduos LR. O total de alelos R será duas vezes o número de indivíduos RR mais o número de LR. 𝑛º𝐿 = 2𝑥𝑛º𝐿𝐿 + 𝑛º𝐿𝑅 e o 𝑛º𝑅 = 2𝑥𝑛º𝑅𝑅 + 𝑛º𝐿𝑅 Portanto: 𝑛º𝐿 = 2𝑥30 + 49 = 109 𝑛º𝑅 = 2𝑥21 + 49 = 91 O número total de alelos é 2N e, portanto, 2x100 = 200. Para estimar as frequências dos alelos basta dividir o número de cada alelo pelo número total de alelos. 𝑓(𝐿) = 𝑝 = 𝑓(𝑅) = 𝑝 =

109 200 91 200

= 0,545 = 0,455

Vamos agora aplicar o modelo de Hardy-Weiberg aos dados, nos passos a seguir: 1. O primeiro passo é estimar as frequências genotípicas ESPERADAS aplicando o modelo matemático segundo o qual GLL = p2, GLR = 2pq e GRR = q2. Para isso utilizaremos as frequências estimadas sendo p=0,545 e q=0,455. Assim: GLL = p2 = 0,5452 = 0,297025 GLR = 2pq = 2 x 0,545 x 0,455 = 0,49595 GRR = q2 = 0,4552 = 0,207025 A soma das frequências genotípicas esperadas estimadas é 1. 2. O segundo passo é estimar o número esperado de indivíduos de cada genótipo. Para tanto, basta multiplicar a frequência do genótipo pelo número total de indivíduos (N=100). nLL = 0,297025 x 100 = 29,7025

5 nLR = 0,49595 x 100 = 49,595 nRR = 0,207025 x 100 = 20,7025 Se somarmos os números esperados obteremos o número 100 que corresponde ao tamanho da amostra (N=100). A soma dos números esperados não pode ser diferente do tamanho da amostra. 3. O terceiro passo é verificar se os dados obtidos para esta amostra populacional indicam conformidade com a lei de Hardy-Weinberg (isto é, a população está em equilíbrio com frequências alélicas e genotípicas estabilizadas). No quadro abaixo são mostrados os números observados e esperados. Genótipo Observado Esperado Diferença LL 30 29,7025 0,2975 LR 49 49,595 -0,595 RR 21 20,7025 0,2975 Preciso saber se a diferença entre observado e esperado é estatisticamente significativa. Para isso tenho que fazer um teste de significância. Existem alguns testes que podem ser aplicados mas iremos utilizar o teste do qui-quadrado (2), cuja fórmula é: 𝜒2 = ∑

(𝑂−𝐸)2 𝐸

Aplicando aos dados do quadro acima: 𝜒2 =

(30−29,7025)2 29,7025

𝜒 2 = 0,01439

+

(49−49,595)2 49,595

+

(21−20, 7025)2 20,7025

4. Estimar os graus de liberdade. Para se obter o valor da probabilidade tabulada (valor de p) para o valor estimado do qui-quadrado, é preciso calcular os graus de liberdade. a. Um “atalho” é subtrair do número de classes genotípicas o número de alelos. Neste caso temos três classe genotípicas (LL, LR e RR) e dois alelos (L e R). Logo teríamos g.l. = 3 – 2 = 1. b. Mas o raciocínio correto seria subtrair do número de classes genotípicas o número de restrições. Restrições são as informações que preciso buscar nos dados para estimar o esperado. No exemplo em questão começamos com 3 graus de liberdade (o número de classes genotípicas). Perdemos 1 g.l. para o tamanho da população (N=100), sem o qual não poderíamos estimar o número esperado. Perdemos mais 1 g.l. para o número de alelos L, pois para estimar o esperado temos que obter as frequências alélicas. Restou apenas 1 g.l. e ainda temos que estimar a frequência do alelo R. Porém, como são apenas dois alelos e a soma de suas frequências é 1 (p + q = 1), não preciso buscar informação nos dados para estimar a frequência do alelo R. Basta subtrair a frequência de L de 1 (q = 1 – p). Portanto não há mais restrições e para estes dados tenho 1 grau de liberdade. 5. Obter o valor de p, a probabilidade do valor do qui-quadrado para um dado grau de liberdade, não deve ser confundido com a frequência do alelo L. O valor de p é obtido em uma tabela de distribuição do qui-quadrado como a da figura a seguir. Na primeira coluna estão os graus de liberdade. Como o valor dos graus de liberdade é 1, iremos procurar o valor do qui-quadrado estimado (0,01439) para um grau de liberdade. Este qui-quadrado está entre 0,000 e 0,016. O valor de p correspondente pode ser visto na

6 primeira linha e está entre 0,975 e 0,9. Portanto posso escrever: 0,9 < p < 0,975 (p é maior que 0,9 e menor que 0,975).

Fonte: Pierce, 20113. 6. Os resultados obtidos ao aplicar o teste do qui-quadrado são: 𝜒 2 = 0,01439; g.l.=1 e 0,9 < p < 0,975. O que fazer com estas informações? O teste do qui-quadrado informa quão diferentes são os valores observados dos esperados. O valor de p informa a probabilidade daquele valor de qui-quadrado, ou seja, da diferença entre o observado e o esperado. De modo geral, mas nem sempre, valores de p iguais ou maiores que 0,05 são considerados não significativos. O valor 0,05 é chamado nível de significância e é representado pela letra grega . O nível de significância funciona como um “ponto de corte”. Como dito acima, se p for igual ou maior que o nível de significância (0,05) eu não posso rejeitar a hipótese testada. Mas se p for menor que 0,05 então posso rejeitar a hipótese testada (também chamada de hipótese nula ou H0). No caso da aplicação do teste do qui-quadrado para verificar a aderência ao modelo da Lei de Hardy-Weinberg, a hipótese testada é a de que a população está em equilíbrio de Hardy-Weinberg (EHW). Esta é a hipótese nula. Portanto, se H0 é que a população está em EHW, o nível de significância é 0,05 e o valor de p está entre 0,9 e 0,975 (maior que 0,05), posso concluir que a hipótese nula não pode ser rejeitada. Expressando isto de outro modo: “A amostra populacional analisada está em equilíbrio de Hardy-Weinberg”.

E se fosse observado desvio significativo das proporções de HW? Nesse caso a hipótese de que a população está em EHW poderia ser rejeitada. O que isso significaria? Que algum fenômeno poderia estar ocorrendo na população que promovesse esse desvio. Isso poderia ser por acasalamentos não aleatórios (endogamia, acasalamento preferencial), fluxo gênico (migração), 3

Pierce, B.A. Genética: um enfoque conceitual. 3ª ed. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan, 2011.

7 seleção natural, etc. Um fenômeno que pode causar desvio das proporções de HW é a ocorrência de alelos com frequências muito baixas (às vezes uma ocorrência) na amostra.

Genes ligados ao X Em mamíferos, o sexo é determinado pelo par de cromossomos sexuais. Fêmeas são XX e, portanto só produzem gametas com o cromossomo X (homogaméticas), e machos são XY, produzindo gametas X e Y (heterogaméticos). Se considerarmos que para um dado locus do cromossomo X há dois alelos XA e Xa, os genótipos encontrados e os gametas produzidos respectivamente serão: XAXA - XA XAXa – XA e Xa XaXa - Xa XAY – XA e Y XaY – Xa e Y As consequências do cruzamento aleatório seriam: Gametas masculinos XA Xa Y p q XAXA XAXa XAY Gametas XA 2 p femininos p pxp=p pxq=pq a A a a a a X XX XX XY q pxq=pq pxp=p2 q Fonte: Hartl e Clark, 20104. Esses cálculos são válidos apenas se as frequências alélicas forem iguais em machos e fêmeas. Se elas forem diferentes, a igualdade será alcançada gradualmente. Considerando que o cromossomo X dos machos é de origem materna, a frequência dos alelos dos machos será igual à frequência dos alelos das fêmeas da geração anterior. Nas fêmeas, as frequências alélicas corresponderão a média das frequências alélicas de machos e fêmeas da geração anterior. O teste do qui-quadrado pode ser aplicado para verificar se uma população se encontra em equilíbrio de Hardy-Weinberg. Porém, como uma das suposições da lei de HW é que o organismo seja diploide, este teste só poderá ser aplicado às fêmeas (ou ao sexo homogamético). Isso é demonstrado no exemplo abaixo.

Fêmeas XAXA 40 XAXa 60 20 XaXa

4

Machos XAY 35 XaY 25

Hartl, D.L.; Clark, A.G. Princípios de Genética de Populações. 4ª ed. Porto Alegre: Artmed, p. 87, 2010.

8 Primeiro estima-se as frequências dos alelos. 𝑝=

2𝑥40+60+35 2𝑥120+60

= 0,583 e 𝑞 = 1 − 0,583 = 0,417

A seguir as frequências dos esperadas dos genótipos das fêmeas. 𝐺𝑋 𝐴𝑋𝐴 = 0,5832 = 0,340 𝐺𝑋 𝐴𝑋𝑎 = 2𝑥0,583𝑥0,417 = 0,486 𝐺𝑋 𝑎 𝑋𝑎 = 0,0,4172 = 0,174

O número esperado de cada genótipo (multiplicar pelo número de fêmeas). 𝑛𝑋 𝐴𝑋𝐴 = 0,340 𝑥120 = 40,8 𝑛𝑋 𝐴𝑋𝑎 = 0,486 x120 = 58,32 𝑛𝑋 𝑎 𝑋𝑎 = 0,174𝑥120 = 20,88 Genótipo XAXA XAXa XaXa

Obs. 40 60 20

Esp. 40,80 58,32 20,88

Teste do qui-quadrado. 𝜒2 =

(40−40,80)2 40,80

+

(60−58, 32)2 58,32

+

(20−20, 88)2 20,88

= 0,101

g.l.=1 (3 classes genotípicas -1 para o tamanho da amostra e -1 para a estimativa do alelo XA) O valor de p será: 0,5 < p < 0,9. Portanto, a hipótese de que a população está em equilíbrio de Hardy-Weinberg não pode ser rejeitada, uma vez que o valor de p é maior que o nível de significância (=0,05).

Estimativa da frequência de alelos quando há dominância em populações em EHW. A frequência de alelos de um locus quando há relação de dominância pode ser estimada se a população estiver em equilíbrio de HW. Neste caso, conhecendo-se a frequência do fenótipo determinado pelo alelo recessivo, pode-se, a partir dessa informação, estimar as frequências alélicas. Isso é demonstrado no exemplo a seguir. Nos Estados Unidos a fibrose cística ocorre a uma frequência de 1 a cada 3.500 pessoas. Qual a frequência do alelo da fibrose cística nessa população, sabendo que é um caráter autossômico recessivo?

9 Resolução: Vamos representar o alelo causador da fibrose cística pela letra f e o alelo normal por F. Afetados terão genótipo ff e normais FF ou Ff. A frequência de indivíduos afetados corresponde â frequência do genótipo ff. Sendo assim: 𝐺𝑓𝑓 =

1 3500

= 0,000286

Pela lei de HW sabemos que a frequência do genótipo homozigoto é o quadrado da frequência alélica, assim a frequência (q) do alelo f (da fibrose cística) será: 𝐺𝑓𝑓 = 𝑞 2 = 0,000286 𝑞 = √0,000286 = 0,0169 E a frequência (p) do alelo normal F será: 𝑝 = 1 − 0,0169 = 0,9831...