03 - Sistemas Numéricos - Reales PDF

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SISTEMAS NUMÉRICOS 2 Cómo fueron apareciendo los números (Resumen) .................................................................................... 2 Números Naturales ................................................................................................................................. 2 Números Enteros .................................................................................................................................... 2 Números Racionales ............................................................................................................................... 2 Números irracionales .............................................................................................................................. 3 Números Reales...................................................................................................................................... 3 Definición formal de los números .............................................................................................................. 5 NUMEROS REALES................................................................................................................................. 5 Axiomas.................................................................................................................................................. 5 Propiedades de la igualdad ..................................................................................................................... 7 Demostración de algunos Teoremas ................................................................................................... 8 Definición de números positivos y negativos ......................................................................................... 8 Definición de otras operaciones aritméticas ....................................................................................... 9 Subconjuntos de los Números Reales........................................................................................................ 9 Números Naturales ................................................................................................................................. 9 Teorema Fundamental del Algebra......................................................................................................... 9 Los Números Enteros ............................................................................................................................. 9 Los números racionales ........................................................................................................................ 10 Densidad de los números racionales..................................................................................................... 11 Irracionales ........................................................................................................................................... 12 Representación decimal de un número Real......................................................................................... 12 Periódica ........................................................................................................................................... 13 Periódica Pura................................................................................................................................... 13 Periódica Mixta................................................................................................................................. 13 Representación Geométrica de los números reales............................................................................... 14 Representación de irracionales cuadráticos en la recta real. ................................................................. 14 Potenciación.............................................................................................................................................. 14 Propiedades de la potenciación ............................................................................................................. 15 Definiciones...................................................................................................................................... 16 Exponente Fraccionario ........................................................................................................................ 16 Radicación ................................................................................................................................................ 17 Propiedades de la radicación ............................................................................................................... 17

1

Apuntes y Diseño : Prof. Adj. Ing. Mercedes Encalada – J.T.P. Bach. Arturo Vega Corrales

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SISTEMAS NUMÉRICOS Cómo fueron apareciendo los números (Resumen) Números Naturales El conjunto más natural de los números es el que sirve para contar, a partir de la unidad. En matemáticas, como recordarán, se usan llaves para indicar los elementos de un conjunto. Por ello, el conjunto de los números naturales se indica:

N 1, 2, 3, 4, 5, .. . Con ellos podemos contar: nuestros libros, nuestros amigos, nuestro dinero, etc. El cero no pertenece al conjunto de los números naturales, pero se puede formar un nuevo conjunto de los naturales con el 0, al que llamaremos N 0 N 0 0, 1, 2, 3, 4, 5, .. .

Números Enteros Los números naturales tienen limitaciones; por ejemplo no se puede restar cuando el minuendo es menor o igual que el sustraendo. Para resolver este problema se amplía el conjunto N y se obtienen los números enteros. Z ( del alemán Zahlen) designará al conjunto de los enteros. Z ={.... , - 4, -3, -2 , -1 , 0 , +1, +2, +3, +4, .... } Cuando tratamos de medir longitudes, pesos, etc., los enteros son inadecuados. Están demasiados espaciados para darle suficiente precisión.

Números Racionales Los cocientes ( razones ) de enteros, con divisor no nulo, forman un conjunto más amplio que el de los enteros. a  Q  / a, b Z b 0  b  Son ejemplos de números racionales: No incluimos

5 0

ó

3 0

1 3 7 ; ; ; 2 4 6

4 ; 5

2 6 ; 9 9

ya que resulta imposible dar un significado a estos símbolos . NUNCA DIVIDA POR CERO

Todo número racional puede ser escrito como decimal, dado que por definición, siempre puede ser expresado como cociente de dos enteros, con divisor no nulo; si dividimos el numerador por el denominador, obtenemos un decimal.. 1 3 13 3 0,375 1,18181818... 0,5 0,4285714285... 2 8 11 7 La representación decimal de un número racional o bien es finita ( como en se repite en ciclos regulares infinidad de veces (

2

3 8

0.375 ) o

13 1,18181818... ) . Un decimal finito 11

Apuntes y Diseño : Prof. Adj. Ing. Mercedes Encalada – J.T.P. Bach. Arturo Vega Corrales

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puede ser considerado como uno en el que se repiten ceros. Por ejemplo:

3 8

0,375 0,3750000000.....

Por lo tanto todo número racional puede escribirse como un decimal periódico y también todo decimal periódico representa un número racional. Esto es obvio en el caso de un decimal finito ( por ejemplo: 2,145 2145 ) y es fácil de probar en el caso general. 1000 Ahora nos preguntemos: ¿Sirven los números racionales para medir, por ejemplo, todas las longitudes? NO. Este sorprendente hecho fue el que dio por tierra la escuela de Pitágoras.

1

2

Pitágoras no pudo obtener la medida de la hipotenusa cuando ambos catetos miden 1.

1 La medida de esa hipotenusa

2 , no puede escribirse como cociente de enteros; por lo tanto 2 es irracional ( no racional ). También lo son irracionales: 3 ; 5 ; 3 7 , , e, etc

Números irracionales Con la letra I se designará al conjunto de los números irracionales. Cuando hablamos de los racionales, vimos que todo racional puede escribirse como una expresión decimal periódica. ( Ejemplo:

3 1 1 1,5000.... ; 0,333333.... ; 0,142871.... 3 7 2 y recíprocamente, toda expresión decimal periódica, representa un número racional. 7103 1,0111111... 91 ; 3,33333.... 10 Ejemplo: 71,03 ; 100 90 3 Los números irracionales se pueden escribir como expresiones decimales no periódicas; ejemplo . 2 1,414213562... Observe que por más cifras decimales que escribamos, no habrá una o un conjunto de cifras que se repitan; o sea si escribimos los irracionales como decimales no periódicos. Ejemplo de irracionales: 0,10100100010000... 0,10110111011110...

Números Reales A la unión de racionales e irracionales llamaremos números reales.

R

Q

I

Podemos hacer el siguiente cuadro como resumen:

    Racionales ( Q) Reales (R )     Irracionales (I) 3

  Naturales (enteros positivos ) ( N)   Enteros ( ) Z  0 ( cero)    Negativos ( enteros negativos)    Fraccionarios 

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Puede establecerse una correspondencia “uno a uno” entre los números reales y los puntos de una recta. A cada punto de la recta le corresponde un número real y a cada número real, un punto de la recta. Densidad: Entre dos números reales diferentes cualesquiera x e y, hay otro número real. En x y es equidistante de x e y. particular, el número z 2 s

r x

x

y

y

2

Dado que también hay un número entre r y

x y

y otro entre s y

x y

y como este argumento 2 2 puede repetirse indefinidamente. La conclusión es que entre dos números reales diferentes cualquiera existen infinitos números reales. En realidad podemos decir más. Entre dos números reales distintos hay tanto un número racional como uno irracional ( y, por tanto, una cantidad infinita de cada especie). Ejemplo: Encuentre un número racional y uno irracional comprendidos entre x e y si: x = 0,31234158 y= 0,3123426666666666.... Solución z= 0,31234160606060660... w= 0,3123416010010001..... Una forma en que los matemáticos describen la situación que hemos estado analizando consiste en decir que tanto los números racionales como los irracionales son densos en la recta real . Precaución Región densamente poblada ( a ambos lados)

Números Racionales Números Irracionales Todo número tiene tanto vecinos racionales como irracionales arbitrariamente cercanos a él. Los dos tipos de números están entretejidos en forma inseparable e inexorablemente apiñados entre sí. Una manifestación de la propiedad de densidad es que se puede aproximar cualquier número irracional tanto como se desee, mediante números racionales. Tómese 2 como ejemplo. Los números racionales 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,414213; podemos llegar tan cerca de 2 como queramos. Advertencia: En lo sucesivo, haga los cálculos fáciles sin usar calculadora, en especial si esto permite una 3 respuesta exacta. Por ejemplo, en general preferimos la respuesta exacta que el valor de la 2 calculadora 0.866025403

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Definición formal de los números La Matemática es un instrumento esencial de trabajo en ingeniería, economía, psicología, biología; etc. Sin embargo, es algo completamente distinto. La matemática es totalmente abstracta. Muchas personas tiemblan ante la idea de algo abstracto; pero en realidad, cuando se conoce la verdadera naturaleza de la abstracción matemática, no se encuentra nada temible en ella. Para entender mejor lo dicho describiremos lo que hay de esencial en una teoría o estructura matemática. 1) Se selecciona un reducido número de palabras y se aceptan como términos no definidos. Todos los demás términos se definen a partir de éstos. Supongamos que conjunto, elemento y pertenencia sean términos no definidos. Entonces podemos definir intersección entre los conjuntos A y B, corno el conjunto formado por los elementos que pertenecen a "A" y a "B". A y quién insista en preguntar ¿Qué es un conjunto'? Tendremos que darle una inquietante respuesta: "No sabemos"; no está definido. Una vez que hemos preparado nuestro vocabulario de términos no definidos y de otras palabras que definimos a partir de aquellos, estarnos en condiciones de formular proposiciones acerca de estos nuevos términos. Ahora tenemos que establecer una estructura de referencia sobre la cual se basa nuestro razonamiento. Para esto elegimos unas pocas proposiciones que aceptamos como verdaderas: " Axiomas". Estos axiomas son de carácter completamente abstracto. Es probable que se haya oído hablar de un axioma como de una verdad evidente por sí misma. Sin embargo, los axiomas pueden ser proposiciones cualesquiera, sean evidentes o no. Como las teorías matemáticas pueden nacer de cualquier conjunto de axiomas, hay una gran variedad de ellos. Algunos son interesantes y útiles, otros solamente interesantes y hay algunos que son sólo curiosidades de escaso valor aparente. El mecanismo se puede sintetizar así: Observamos lo que nos rodea. Construimos un modelo abstracto en el que los términos no definidos corresponden a los objetos más importantes que hemos identificado, además nuestros axiomas corresponden a las proposiciones básicas de estos objetos. A partir de los axiomas procedemos a establecer la verdad o falsedad de otras proposiciones, lo hacemos con ciertas reglas que llamaremos "Leyes de la Lógica". A partir de los Axiomas, se prueba por un proceso lógico, la verdad de una propiedad dada. Entonces nuestro sistema matemático consta de 4 partes: ' 1) Términos no definidos (Primitivos). 2) Definiciones de todos los términos no primitivos. 3) Axiomas. 4) Teoremas. (Propiedades que se deducen de los axiomas).

NUMEROS REALES Consideremos el conjunto de los reales y en ese conjunto, la suma y el producto a, b R⇒a b R a.b R Decimos entonces que R es cerrado respecto a la suma y el producto

Axiomas Veremos 6 axiomas referidos a la suma y producto en R. A 1: Propiedad conmutativa de la suma y del producto

a, b R :

a b b a a. b b. a

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A 2: Propiedad asociativa de la suma y del producto

a, b, c R : (a b ) c a (b c ) ( a.b).c a.( b.c) A 3: Propiedad distributiva del producto respecto de la suma

a , b , c R : a .(b c ) a .b b .c A 4: Existencia del neutros: ( neutro para una operación dada, es aquel que operada con cualquier elemento en este caso de R, reproduce ese número real). El neutro se simboliza con la letra e. i) Neutro de la suma aR: eR / a e a e a e a a e 0

e a

ii) Neutro del producto aR : eR / .a e . e a a e a a e a e 1 si a 0

a e a a e a a e 0

Si a 0 Voy a la definición de neutro y verifico e 1 , se cumple la igualdad para a 0 0.1 1.0 0 ⇒ e 1; a R 0 0 0

a

A 5: Existencia de inversos (En toda operación con neutro hay que verificar la existencia de inverso ( inverso es el operado con un elemento de R, da como resultado el neutro). Se simboliza: a i) Inverso (opuesto) para la suma

a R,

a R/ a a

a

a

e

a a

a a 0 0 a a a a Es decir: a R , (a ) R a/ . (a ) Entonces el inverso para la suma es a

(a ) a.

0

i) Inverso (recíproco) para el producto

a

R , a

a.a

R a/ a.

a a. e ; a

a .a 1

1 a

1 ; a 0 a

a

R,

1 ; a 0 a

a

También se simboliza:: Es decir:

0

a

1

1 a

a

1

R / a..a

1

a 1 .a 1; a

Entonces el inverso para e producto es

a

0

1 a

0 no tiene inverso multiplicativo.

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Axiomas de Orden: me permiten saber cuando un número real es menor, mayor o igual que otro. Supongamos un subconjunto de los reales a los que voy a llamar R , ellos satisfacen los siguientes axiomas.

a b R A 6: a, b R ⇒  a.b R A 7a: R , a

0 ⇒a R

( a)

R

A 8:0 R I: a, b R : a b a b p;p R , a b R : a b a b a b Definición II:

Definición

Definición III: a, b R : a b b a q ;q R Definición IV: , a b R : a b a b a b

Propiedades de la igualdad 1)

Reflexiva o Idéntica : Todo número es igual a sí mismo

2)

a R :a a Simétrica: Si un número es igual a otro, este es igual al primero a, b R : a

3)

a

Transitiva:

,a ,b c R : a 4)

b ⇒b

c ⇒a

b b

c

Propiedad Uniforme de la suma

b ⇒a c

a

b c

Prueba:

a c a c 5)

a c (identidad) b c (sustitución a

b)

Propiedad cancelativa de la suma:

a c

b c⇒ a

b:

Prueba:

a

a 0

a

c ( c)

( a c) ( c) (exist, de neutro y Prop. asoc. de la suma) (b c) ( c) (sustitución) b c ( c) (asociativa de la suma)

b 6)

( existencia de neutro)

Propiedad uniforme del producto:

b ⇒ a .c

a

b .c

Prueba:

a.c a .c (identidad) a .c b .c (por hipótesis: a 7)

b)

Propiedad cancelativa del producto: a .c

7

b.c y c

0⇒ a

b

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

Prueba: a a.1

Exist. de neutro 1

Exist. de inverso multipl.

a.( c. c ) ( a.c).c

1

Asoc. del produc

( b. c). c

1

Por hipótesis

1

Asoc. del Producto

b.( c. c ) b.1 b

Existencia de inverso

Demostración de algunos Teoremas R ⇒ a.0

T1) a

0

Prueba 0 0 0 a.0 a.(0 0)

a.0 a.0

Existencia del Neutro Uniforme del Producto Distributiva a.0 ( a.0 ) Uniforme de la suma

a.0 a.0 ( a.0) a.0

Definición de Opuesto

0 a.0 a .0 0 T2)

Pro. simétrica de la igualdad

0 ⇒a

R :a b.

a ,b

0 ó b

0

Prueba

a. b 0

0⇒ a

a

a 1 .( a. b) 1

a .a .b

a 0 no hay nada que demostrar

si 1

a 1 .0

0

Asociativa

0

1. b 0 ⇒ b 0 T3)

a

Uniforme del producto

R: a 0 ⇒ a

(definición del recíproco, Exist. de neutro)

0

Prueba

a 0 ⇒ a ( a) T4) Prueba

a

a⇒0

R: a 0 ⇒ a

a 0⇒ a(

a⇒

a 0

0

)a

a⇒ 0

a⇒ a 0

Definición de númer...