04-Estática del sólido rígido PDF

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ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO Problema 1 Una pequeña grúa es montada en la parte posterior de una camioneta. Para la posición de θ = 40° determine: a) La presión de aceite 𝒑 que actúa sobre el pistón de diámetro 50 mm en el cilindro hidráulico BC. b) La magnitud de la fuerza soportada por el pasador en...

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ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO Problema 1 Una pequeña grúa es montada en la parte posterior de una camioneta. Para la posición de θ = 40° determine: a) La presión de aceite 𝒑 que actúa sobre el pistón de diámetro 50 mm en el cilindro hidráulico BC. b) La magnitud de la fuerza soportada por el pasador en O.

Solución Se determina el ángulo que permite conocer la dirección de la reacción C:

𝑎 = 110 cos(50°) + 340 cos(40°)

C O

𝑏 = 360 + 340 sin(40°) − 110 sin(50°) tan 𝛼 =

𝑎 331.2 = = 0.67 𝑏 494.3

𝛼 = 33.82° B

Se elabora el DCL y se plantean tres ecuaciones de equilibrio:

∑𝐹𝑥 = 𝑊𝑥 + 𝑂𝑥 − 𝐶𝑥 = 0

(1)

∑𝐹𝑦 = 𝐶𝑦 − 𝑊𝑦 − 𝑂𝑦 = 0

(2)

∑𝑀𝑂 = (785 + 340)𝑊𝑦 − (110)𝐶𝑥 − (340)𝐶𝑦 = 0 (3) Donde: 𝐶𝑥 = 𝐶 sin(40 + 𝛼 ) = 𝐶 sin(73.82)

(4)

𝐶𝑦 = 𝐶 cos(40 + 𝛼) = 𝐶 cos(73.82)

(5)

a) Teniendo en cuenta que W = 9.81 ∙ 120 = 1177.2N y resolviendo en (3): (1125)𝑊 cos 40° − (110)𝐶 sin(73.82) − (340)𝐶 cos(73.82) = 0 𝐶 = 5062.78𝑁 = 5.063𝑘𝑁 La presión de aceite 𝑝 que actúa sobre el pistón de diámetro 50 mm en el cilindro hidráulico BC, es: 𝐶 𝑁 𝑝 =𝜋 = 2.578 2 2 𝑚𝑚 (50) 4

ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 𝒑 = 𝟐. 𝟓𝟕𝟖𝑴𝑷𝒂  Respu Respuesta esta b) Reemplazando C en (4) y resolviendo en (1): 𝑂𝑥 = 4105.56𝑁 = 4.106𝑘𝑁 Reemplazando 𝐶 en (5) y resolviendo en (2): 𝑂𝑦 = 508.96𝑁 = 0.509𝑘𝑁 La magnitud de la fuerza soportada por el pasador en O es: 𝑂 = √𝑂𝑥 2 + 𝑂𝑦 2 = 4137𝑁

Respuesta esta 𝑶 = 𝟒. 𝟏𝟑𝟕𝒌𝑵  Respu

Problema 2 Una ranura de forma parabólica ha sido cortada en la platina que se muestra en la figura, además está posicionada de manera que los pines B y C (fijos) encajen perfectamente sin generar fricción. La ecuación 𝒙𝟐

de la ranura parabólica es 𝒚 = 𝟏𝟎𝟎 en donde las variables 𝒙 e 𝒚 están expresadas en milímetros. Sabiendo que la fuerza P es de 10 N, determine: a) Las fuerzas que ejercen los pines B y C sobre la platina. b) La fuerza Q.

Solución Se elabora el DCL del sólido a analizar:

ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

La coordenada Y del punto C se obtiene evaluando la función dada en 𝑥 = 60𝑚𝑚:

𝑦=

𝑥2 100

=

602

100

= 36𝑚𝑚

La pendiente de la ranura parabólica en el punto C se obtiene derivando la función y evaluándola en el mismo punto:

𝑦′ =

2∙𝑥

100

=

2∙60 100

6

=5

Luego se escribe la ecuación de equilibrio de momento en B y de fuerzas en X para obtener 𝑁𝐶 y 𝑄: ∑𝑀𝐵 = ( ∑𝐹𝑥 = −

6

∙ 36 +

6

∙ 𝑁𝐶 − √15129 ∙ 𝑄 + 𝑃 = 0

√61 √61

5

√61

∙ 60) ∙ 𝑁𝐶 + (

27

√15129

120

∙ 55 − √15129 ∙ 60) ∙ 𝑄 = 0

27

(1) (2)

Resolviendo (1) y (2) se obtiene: 𝑵𝑪 = 𝟗. 𝟐𝟓𝟔𝑵

 Res Respues pues puesta ta

𝑸 = 𝟏𝟑. 𝟏𝟔𝑵

 Res Respues pues puesta ta

Por último se escribe la ecuación de equilibrio de fuerzas en Y para obtener 𝑁𝐵 : ∑𝐹𝑦 = 𝑁𝐵 +

5

√61

𝑵𝑩 = 𝟔. 𝟗𝟏𝟓𝑵

∙ 𝑁𝐶 −

120

√151.29

∙𝑄 = 0

 Res Respues pues puesta ta

Problema 3 Un resorte de módulo 𝒌 = 𝟗𝟎𝟎𝑵/𝒎 es deformado una distancia 𝜹 = 𝟔𝟎𝒎𝒎 cuando el sistema está en la posición mostrada. a) Calcule la fuerza mínima 𝑷𝒎í𝒏 requerida para iniciar la rotación alrededor del eje BC y las reacciones correspondientes en los cojinetes B y C, que sólo ejercen fuerzas radiales. b) Determine la reacción normal en D si 𝑷 = 𝑷𝒎í𝒏 ⁄𝟐 .

ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

Solución Se elabora el DCL del sólido a analizar:

Por último, se escriben las ecuaciones de equilibrio de fuerza en 𝑌, 𝑍 y se determinan las reacciones en C: ∑𝐹𝑦 = 𝐵𝑦 + 𝐶𝑦 − 𝐹 = 0

(4)

∑𝐹𝑧 = 𝐵𝑧 + 𝐶𝑧 + 𝑃 + 𝐷 = 0

(5)

Resolviendo (4) y (5) se obtiene: 𝐶𝑦 = 29.7𝑁 𝐶𝑧 = 0.9𝑁

𝑪 = √𝑪𝒚 𝟐 + 𝑪𝒛 𝟐 = 𝟐𝟗. 𝟕𝟏𝑵

a) El valor de P mínimo se alcanza cuando D = 0. Se escribe la ecuación de equilibrio de momentos en X y se sustituye esta condición: ∑𝑀𝑂𝑥 = (135)𝑃 − (45)𝐹 + (90)𝐷 = 0

(1)

Teniendo en cuenta, además, que la fuerza en el resorte es 𝐹 = 900 ∙ 0.06 = 54𝑁 , se obtiene: 𝑷𝒎í𝒏 =

𝟒𝟓

𝟏𝟑𝟓

𝑭 = 𝟏𝟖𝑵

 Respue Respuesta sta

Luego se escriben las ecuaciones de equilibrio de momento en 𝑌, 𝑍 y se determinan las reacciones en B: ∑𝑀𝑂𝑦 = −(300)𝐵𝑧 − (355 − 40)𝑃 + (55)𝐷 = 0

(2)

∑𝑀𝑂𝑧 = (300)𝐵𝑦 − (135)𝐹 = 0

(3)

Resolviendo (2) y (3) se obtiene: 𝐵𝑧 = −18.9𝑁 𝐵𝑦 = 24.3𝑁

𝑩 = √𝑩𝒚 𝟐 + 𝑩𝒛𝟐 = 𝟑𝟎. 𝟕𝟖𝑵  Respu Respuesta esta

 Respue Respuesta sta

b) Si 𝑃 = 𝑃𝑚í𝑛 ⁄2 , la reacción normal en D se determina de la ecuación (1): 𝑫=

𝟒𝟓𝑭−𝟏𝟑𝟓𝑷 = 𝟗𝟎

𝟏𝟑. 𝟓𝑵

 Respue Respuesta sta

ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO Problema 4 El cartel de 50 lb tiene centro de gravedad en G y se encuentra en equilibrio en la posición mostrada. a) Determine las tensiones en los cables DE y BC. b) Calcule las componentes de reacción que actúan sobre el collar liso en A. Nota: El collar liso sólo permite traslación a lo largo del eje z y giro alrededor del mismo eje.

Solución Se elabora el DCL del sólido a analizar:

𝑟𝐺 = (0.5; 2; −1)

𝑟𝐷 = (3; 2; 0)

𝑟𝐵 = (−2; 2; 0)

Se escribe la ecuación de equilibrio de momento en A:  + 𝑟𝐷 × 𝑇𝐷𝐸 + 𝑟𝐵 × 𝑇𝐵𝐶 = 0 ∑ 𝑀𝐴 = (𝑀𝐴𝑥 ; 𝑀𝐴𝑦 ; 0) + 𝑟𝐺 × 𝑊 Sustituyendo: (𝑀𝐴𝑥 ; 𝑀𝐴𝑦 ; 0) + (0.5; 2; −1) × (0; 0; −50) +

+(3; 2; 0) × (1; −2; 2) ∙

𝑇𝐷𝐸 3

+(−2; 2; 0) × (−1; −2; 2) ∙

+

𝑇𝐵𝐶 3

=0

Operando: (𝑀𝐴𝑥 ; 𝑀𝐴𝑦 ; 0) + (−100; 25; 0) + (4; −6; −8) ∙

+(4; 4; 6) ∙

𝑇𝐵𝐶 3

=0

Se expresan las tensiones 𝑇𝐷𝐸 y 𝑇𝐵𝐶 en forma vectorial:

Luego se obtienen tres ecuaciones escalares:

(1;−2;2) 𝑇𝐷𝐸 = 𝑇𝐷𝐸 ∙ 3

𝑀𝐴𝑥 − 100 + 3 ∙ 𝑇𝐷𝐸 + ∙ 𝑇𝐵𝐶 = 0

(−1;−2;2) 𝑇𝐵𝐶 = 𝑇𝐵𝐶 ∙ 3

𝑀𝐴𝑦 + 25 − 2 ∙ 𝑇𝐷𝐸 + 3 ∙ 𝑇𝐵𝐶 = 0

Se definen los vectores posición 𝑟𝐺 , 𝑟𝐷 y 𝑟𝐵 :

− ∙ 𝑇𝐷𝐸 + 2 ∙ 𝑇𝐵𝐶 = 0

4

4

3

4

8

3

𝑇𝐷𝐸 3

+

(1) (2) (3)

ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO Se escriben las ecuaciones de equilibrio de fuerza en 𝑋, 𝑌, 𝑍 : 1

1

(4)

𝑨𝒙 = 𝟑. 𝟓𝟕𝟏𝒍𝒃

 Respu Respuesta esta

2

2

(5)

𝑨𝒚 = 𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝒍𝒃

 Res Respues pues puesta ta

∑𝐹𝑥 = 𝐴𝑥 + ∙ 𝑇𝐷𝐸 − ∙ 𝑇𝐵𝐶 = 0 3 3

∑𝐹𝑦 = 𝐴𝑦 − ∙ 𝑇𝐷𝐸 − ∙ 𝑇𝐵𝐶 = 0 3 ∑𝐹𝑧 =

2 3

b) De las ecuaciones (4) y (5) se obtiene:

3

2

∙ 𝑇𝐷𝐸 + ∙ 𝑇𝐵𝐶 − 50 = 0 3

a) De las ecuaciones (3) y (6) se obtiene: 𝑻𝑫𝑬 = 𝟑𝟐. 𝟏𝟒𝒍𝒃

 Respu Respuesta esta

𝑻𝑩𝑪 = 𝟒𝟐. 𝟖𝟔𝒍𝒃

 Res Respues pues puesta ta

De las ecuaciones (1) y (2) se obtiene: (6)

𝑴𝑨𝒙 = 𝟎

 Respue Respuesta sta

𝑴𝑨𝒚 = −𝟏𝟕. 𝟖𝟔𝒍𝒃 ∙ 𝒑𝒊𝒆

 Respu Respuesta esta

Problema 5 El winche manual, mostrado en la figura, está compuesto por una estructura soporte (ABCFOGH) hecha de tubo de acero con densidad lineal 2 kg/m y un carrete cuya masa es 5 kg. Determine: a) La fuerza P necesaria para mantener el equilibrio del sistema (P se aplica en E, perpendicular a OD, en un plano vertical). b) Las componentes verticales de las reacciones en los apoyos A, B y C. Nota: El diámetro donde se enrolla el cable es 300 mm. La distancia vertical FG = 375 mm y horizontal GH = 400 mm. Desprecie los pesos de los apoyos y mangos de goma, así como los redondeos de la estructura tubular. Todas las dimensiones están dadas en mm.

Solución a) Se elabora el DCL del carrete para determinar P:

Se escribe la ecuación de equilibrio de momento en O: ∑𝑀𝑂 = 100 ∙ 150 − 𝑃 ∙ 300 = 0 𝑃=

100∙150 300

𝑷 = 𝟓𝟎𝑵

 Respue Respuesta sta

ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO b) Se elabora el DCL de todo el conjunto para determinar las reacciones:

Se determina la ubicación del centro de masa (x) de todo el conjunto y el peso resultante (W): Elemento L i(m) AA'

Mi (kg) 0.5

Xi (m)

Mi ∙ Xi

1

0.25

0.25

BB'

0.5

1

0.25

0.25

A'B'

0.525

1.05

0

0

CG

0.75

1.5

0

0

FO

0.45

0.9

0.225

0.2025

GH

0.4

0.8

0.2

0.16

5

0.225

1.125

Carrete

𝑥=

∑ 𝑴𝒊 =

11.25 ∑ 𝑴𝒊 ∙ 𝑿𝒊 =

1.9875

∑ 𝑀𝑖 ∙ 𝑋𝑖 1.9875 = = 0.1767𝑚 ∑ 𝑀𝑖 11.25

𝑊 = 9.81 ∙ 11.25 = 110.36𝑁 Se escriben dos ecuaciones de equilibrio de momento con respecto a los ejes AB y CC’, y una ecuación de equilibrio de fuerzas en la dirección vertical: ∑𝑀𝐴𝐵 = 𝑊 ∙ (0.5 − 𝑥) + 200 ∙ 0.2 − 𝑃 ∙ sen 30° ∙ 0.075 − 100 ∙ sen 15° ∙ 0.35 − 𝐶 ∙ 0.5 = 0 (1) ∑𝑀𝐶𝐶 ′ = 100 ∙ cos 15° ∙ (0.375 + (2)

0.15

cos 15°

) − 𝑃 ∙ cos 30° ∙ (0.375 +

0.3 ) cos 30°

− 𝐴 ∙ 0.2625 + 𝐵 ∙ 0.2625 = 0

∑𝐹𝑦 = −𝑊 − 200 − 𝑃 ∙ sen 30° + 100 ∙ sen 15° + 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 0 (3) De la ecuación (1) se obtiene: 110.36∙0.3233+200∙0.2−50∙sen 30°∙0.075−100∙sen 15°∙0.35

𝐶= 𝑪 = 𝟏𝟐𝟗. 𝟓𝑵

0.5

 Respue Respuesta sta

Resolviendo (2) y (3) se obtiene: 𝐴 − 𝐵 = 76.13

𝑨 = 𝟏𝟐𝟖. 𝟏𝑵

 Respue Respuesta sta

𝐴 + 𝐵 = 179.98

𝑩 = 𝟓𝟏. 𝟗𝟑𝑵

 Respue Respuesta sta

ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO Problema 6 Calcule las reacciones en el apoyo C y la fuerza en la biela DE para que la barra ABCD se mantenga en equilibrio en la posición mostrada. El peso de la polea B es de 300 kgf.

Solución a) Analizando el sistema completo - DCL: Se tiene dos fuerzas externas, el peso de la polea 𝑊1 y el peso de la masa suspendida 𝑊2 , y tres componentes de reacciones 𝑅𝐶𝑦 , 𝑅𝐶𝑥 y 𝐹𝐷𝐸 .

Se determina la distancia 𝑑 : 𝑑=

𝑅𝑝𝑜𝑙𝑒𝑎 = 0.693𝑚 cos(30)

Se analiza el equilibrio del sistema: ∑𝑀𝐶 = 0

ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 𝐹𝐷𝐸 ∙ 2.4 ∙ cos(30) + 𝑊1 ∙ 2.4 ∙ cos(30) + 𝑊2 ∙ (2.4 − 𝑑) ∙ cos(30) = 0 𝑭𝑫𝑬 = −𝟔𝟓𝟔. 𝟔𝟔𝒌𝒈𝒇

 Respue Respuesta sta

∑𝐹𝑥 = 0 𝑅𝐶𝑥 = 0 𝑹𝑪𝒙 = 𝟎. 𝟎𝟎𝒌𝒈𝒇

 Respu Respuesta esta

∑𝐹𝑦 = 0 𝑅𝐶𝑦 + 𝐹𝐷𝐸 − 𝑊1 − 𝑊2 = 0 𝑹𝑪𝒚 = 𝟏𝟒𝟓𝟓. 𝟔𝟔𝒌𝒈𝒇

 Respu Respuesta esta

Problema 7 Sobre la parte trasera de una camioneta está instalada una pequeña grúa para levantar mercadería. La pluma AD mide 48 in y cuando su ángulo respecto a la horizontal es de 30° la fuerza ejercida por el cilindro hidráulico BC es de 10 kN. Determine la fuerza que debe ejercer el cilindro hidráulico cuando la pluma está ubicada a 45° respecto a la horizontal. Nota: AB = 16 in

Solución Se analiza el triángulo ABC.

Se determina la distancia AC: 𝐴𝐶

sen(15) 𝐴𝐶 =

=

𝐴𝐵 sen(45)

16 ∙ sen(15) = 5.856𝑖𝑛 sen(45)

ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO DCL de la barra ACD (pluma a 30°):

Se determinan las componentes de la fuerza en el cilindro hidráulico:  𝐹𝑃 = 10𝑘𝑁 ∙ (− cos 75 ; sen 75) = (−2.588; 9.659)𝑘𝑁 Se analiza el equilibrio de la pluma: ∑𝑀𝐴 = 0 𝑊 ∙ 48 ∙ cos(30) − 𝐹𝑃 𝑦 ∙ 𝐴𝐶 ∙ cos(30) + 𝐹𝑃 𝑥 ∙ 𝐴𝐶 ∙ sen(30) = 0 𝑊 = 0.9962𝑘𝑁

DCL de la barra ACD (pluma a 45°):

Coordenadas de los puntos: B C

x (in) 0.000 -4.141

y (in) -16.000 4.141

Vector posición y unitario del cilindro hidráulico: BC

-4.141

20.141

𝜇𝐵𝐶

-0.2010

0.9795

 𝐹𝑃 = 𝐹𝑃 ∙ (−0.201; 0.9795) Se analiza el equilibrio de la pluma en la nueva posición, considerando el peso calculado anteriormente: ∑𝑀𝐴 = 0 𝑊 ∙ 48 ∙ cos(45) − 0.9795 ∙ 𝐹𝑃 ∙ 𝐴𝐶 ∙ cos(45) + 0.201 ∙ 𝐹𝑃 ∙ 𝐴𝐶 ∙ sen(45) = 0 𝑭𝑷 = 𝟏𝟎. 𝟒𝟗𝟑𝒌𝑵

Problema 8 Los cojinetes en 𝑩 y 𝑪 no generan momentos de reacción y el cojinete en 𝑪 no ejerce fuerza en la dirección 𝒙. La fuerza 𝑭 = (𝟏𝟎𝒊 − 𝟑𝟎𝒋 − 𝟏𝟎𝒌)𝒌𝑵. Determine las reacciones en los cojinetes 𝑩 y 𝑪, así como la tensión en el cable vertical, anclado en 𝑨.

 Respue Respuesta sta

ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO Solución Se desarrolla el DCL del sistema:

Se escriben las ecuaciones de equilibrio de momento en el punto B. ∑𝑀𝐵𝑥 = 100 ∙ 𝑇 − 200 ∙ 30 = 0

(1)

∑𝑀𝐵𝑦 = −100 ∙ 𝐶𝑧 − 200 ∙ 10 + 150 ∙ 10 = 0 ∑𝑀𝐵𝑧 = 100 ∙ 𝐶𝑦 − 150 ∙ 30 + 50 ∙ 𝑇 = 0

(2) (3)

Luego se escriben las ecuaciones de equilibrio de fuerza. ∑𝑭𝒙 = 𝐵𝑥 + 10 = 0

(4)

∑𝑭𝒚 = 𝐵𝑦 + 𝐶𝑦 − 𝑇 − 30 = 0

(5)

∑𝑭𝒛 = 𝐵𝑍 + 𝐶𝑧 − 10 = 0

(6)

Resolviendo (4), (5) y (6) se obtiene: Resolviendo (1), (2) y (3) se obtiene: 𝑻 = 𝟔𝟎𝒌𝑵

 Respuesta

𝐶𝑧 = −5𝑘𝑁

𝐵𝑦 = 75𝑘𝑁 𝐵𝑍 = 15𝑘𝑁

𝐶𝑦 = 15𝑘𝑁 𝑪 = (𝟎; 𝟏𝟓; −𝟓)𝒌𝑵

𝐵𝑥 = −10𝑘𝑁

 Respu Respuesta esta

𝑩 = (−𝟏𝟎; 𝟕𝟓; 𝟏𝟓)𝒌𝑵

 Respues Respuesta ta

Problema 9 En la figura mostrada se tiene un cojinete fijo en 𝑨, un cojinete deslizante en 𝑩 y una superficie lisa en 𝑫. Calcule las reacciones en 𝑨, 𝑩 y 𝑫 si la fuerza 𝑷 = 𝟐𝟎𝟎𝒍𝒃 y el momento 𝑪 = 𝟖𝟎𝟎𝒍𝒃 ∙ 𝒇𝒕.

ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO Solución Se desarrolla el DCL del Sistema:

Se escriben las ecuaciones de equilibrio de momento en el punto A. ∑𝑀𝐴𝑥 = 2 ∙ 𝑁𝐷 − 7.5 ∙ 200 + 3.5 ∙ 𝐵𝑧 = 0

(1)

∑𝑀𝐴𝑦 = 800 − 1.5 ∙ 𝑁𝐷 + 4 ∙ 200 = 0

(2)

∑𝑀𝐴𝑧 = 3.5 ∙ 𝐵𝑥 = 0

(3)

 Respuesta

𝐵𝑥 = 0

∑𝑭𝒚 = 𝐴𝑦 = 0

∑𝑭𝒛 = 𝐴𝑍 + 𝐵𝑧 + 𝑁𝐷 − 200 = 0

(4) (5) (6)

𝐴𝑥 = 0 𝐴𝑦 = 0 𝐴𝑍 = 685.7𝑙𝑏

𝐵𝑧 = −180.7𝑙𝑏 𝑩 = (𝟎. 𝟎; 𝟎. 𝟎; −𝟏𝟖𝟎. 𝟕)𝒍𝒃

∑𝑭𝒙 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 = 0

Resolviendo (4), (5) y (6) se obtiene:

Resolviendo (1), (2) y (3) se obtiene: 𝑵𝑫 = 𝟏𝟎𝟔𝟔. 𝟕 𝒍𝒃

Luego se escriben las ecuaciones de equilibrio de fuerza.

 Res Respues pues puesta ta

Problema 10

Determine la coordenada 𝒙, que define la ubicación del peso 𝑾 igual a 𝟓𝒌𝑵, de manera que el valor absoluto de la reacción resultante en 𝑶 sea mínima.

𝑨 = (𝟎. 𝟎; 𝟎. 𝟎; 𝟔𝟖𝟓. 𝟕)𝒍𝒃

 Respuesta

ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO Solución Se desarrolla el DCL del Sistema:

Coordenadas de los puntos: x (m) y (m) A 6.00 0.00 B 0.00 -2.00 C 3.00 0.00 F 0.00 4.00 Vectores posición: AB -6.00 CD -3.00

-2.00 4.00

z (m) 0.00 3.00 0.00 0.00

3.00 0.00

Vectores unitarios: 𝜇𝐴𝐵

𝜇𝐶𝐷

Se escriben las ecuaciones de equilibrio de momento en el punto O. ∑𝑀𝑂𝑥 = 0

∑𝑀𝑂𝑦 = −𝑥 ∙ 𝑊 + 6 ∙ 0.43 ∙ 𝑇1 = 0

∑𝑀𝑂𝑧 = 6 ∙ 0.29 ∙ 𝑇1 + 3 ∙ 0.8 ∙ 𝑇2 = 0

(1) (2) (3)

Resolviendo (1), (2) y (3) en función de x se obtiene: 𝑇1 = 1.944 ∙ 𝑥 𝑇2 = 1.389 ∙ 𝑥

-0.86 -0.60

-0.29 0.80

0.43 0.00

Luego se escriben las ecuaciones de equilibrio de fuerza. ∑𝑭𝒙 = −0.86 ∙ 𝑇1 − 0.6 ∙ 𝑇2 + 𝑂𝑥 = 0

∑𝑭𝒚 = −0.29 ∙ 𝑇1 + 0.8 ∙ 𝑇2 + 𝑂𝑦 = 0 ∑𝑭𝒛 = 0.43 ∙ 𝑇1 − 5 + 𝑂𝑧 = 0

(5) (6)

Remplazando 𝑇1 , 𝑇2 y resolviendo (4), (5) y (6) se obtiene: 𝑂𝑥 = 2.5 ∙ 𝑥 𝑂𝑦 = −0.56 ∙ 𝑥 𝑂𝑧 = 5 − 0.833 ∙ 𝑥

La fuerza resultante en O es: ‖𝑂‖ = √𝑂𝑥 2 + 𝑂𝑦 2 + 𝑂𝑧 2 = √(2.50 ∙ 𝑥)2 + (−0.56 ∙ 𝑥)2 + (5 − 0.833 ∙ 𝑥)2 = √7.250 ∙ 𝑥 2 − 8.333 ∙ 𝑥 + 25 Para hallar el mínimo se deriva la función y se iguala a cero. Luego de simplificar se obtiene: 2 ∙ 7.250 ∙ 𝑥 − 8.33 = 0 𝒙 = 𝟎. 𝟓𝟕𝟒𝒎

(4)

 Respu Respuesta esta

Problema 11 Durante una prueba sobre el suelo, se ejerce una fuerza de propulsión T sobre la avioneta mostrada, la cual tiene una masa de 1800 kg y su centro de gravedad se ubica en G. Las ruedas principales en B están bloqueadas y no deslizan, mientras que la rueda trasera en A no tiene ningún tipo de freno. a) Calcule las reacciones que se producen en A y B cuando el motor está apagado (T=0 N).

ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO b) Determine la máxima fuerza T que podría aplicarse sin alterar el equilibrio.

Solución

W Bx Ay

By

a) 𝑊 = 1800 ∙ 9,81 = 17658𝑁 T=0N

b) La máxima fuerza T que puede aplicarse originará que la reacción Ay ≈ 0:

Se escribe las ecuaciones de equilibrio:

Se escribe las ecuaciones de equilibrio:

∑𝑀𝐵 = 0 −𝐴𝑦 ∙ 4.8 + 𝑊 ∙ 0.8 = 0……...(1)

∑𝑀𝐵 = 0 +𝑊 ∙ 0.8 − 𝑇 ∙ cos 12 ∙ 1.4 − 𝑇 ∙ sen 12 ∙ 0.8 = 0……...(1)

Ay = 2943 N

T = 9198.5 N

∑𝐹𝑦 = 0 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 − 𝑊 = 0……(2)

∑𝐹𝑦 = 0 +𝐵𝑦 − 𝑊 + 𝑇 ∙ sen 12 = 0……(2)

By = + 14 715 N

By = + 15 746 N

∑𝐹𝑥 = 0

∑𝐹𝑥 = 0 −𝐵𝑥 + 𝑇 ∙ cos 12 = 0 … … . (3)

Bx = 0

Bx = 8997.5 N

Problema 12 El brazo de una grúa de 400 kg, con centro de masa ubicado en G, se mantiene en la posición mostrada debido a la rótula en O y a los cables AB y AC. Determine las fuerzas de los dos cables y las reacciones que se producen en la rótula.

ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

Solución

TAC TAB Oy W

Ox Oz

Cálculo de coordenadas:

Ecuaciones de equilibrio:

 = (−15 ∙ cos55 ∙ 𝑠𝑒𝑛40; −15 ∙ 𝑐𝑜𝑠55 ∙ 𝑐𝑜𝑠40; 15𝑠𝑒𝑛55) 𝐴  = (−5.33; −6.59; 12.29)m 𝐴

 ∑ M0 = 0

 = (−9 ∙ cos55 ∙ 𝑠𝑒𝑛40; −9 ∙ 𝑐𝑜𝑠55 ∙ 𝑐𝑜𝑠40; 9𝑠𝑒𝑛55) 𝐺  = (−3.32; −3.95; 7.37)m 𝐺 Cálculo de vectores unitarios:

𝑢  = 𝐴𝐵

(12; 0; 0) − (−5.53; −6.59; 12.29)

√(12 + 5.53)2 + (6.59)2 + (−12.29)2   = (0.783; 0.294; −0.549) 𝑢 𝐴𝐵 (0; 12; 0) − (−5.53; −6.59; 12.29) 𝑢𝐴𝐶   = √5.53)2 + (12 + 6.59)2 + (−12.29)2 𝑢 𝐴𝐶  = (0.241; 0.810; −0.535) Tensiones y Peso de la grúa: 𝐴𝐵  = T𝐴𝐵 ∙ (0.783; 0.294; −0.549)N 𝑇 𝐴𝐶  = T𝐴𝐶 ∙ (0.241; 0.810; −0.535)N 𝑇  = (0; 0; −400 ∙ 9.81) = (0; 0; −3924)N 𝑊

 + r𝑂𝐴 × T𝐴𝐵 + r𝑂𝐴 × T𝐴𝐶 = 0 r𝑂𝐺 × 𝑊 (−3.32; −3.95; 7.37) × (0; 0; −3924) + (−5.53; −6.59; 12.29) × T𝐴𝐵 ∙ (0.783; 0.294; −0.549) + (−5.53; −6.59; 12.29) × T𝐴𝐶 ∙ (0.241; 0.810; −0.535) = (0; 0; 0) x: 15500 − 6.429 ∙ T𝐴𝐶 = 0 y: −13028 + 6.587 ∙ T𝐴𝐵 = 0 z:3.534 ∙ T𝐴𝐵 − 2.891 ∙ T𝐴𝐶 = 𝐓𝑨𝑩 = 𝟏𝟗𝟕𝟕. 𝟖 N 𝐓𝑨𝑪 = 𝟐𝟒𝟏𝟏N ∑ 𝐹 = 0

 + T𝐴𝐵 + T𝐴𝐶 + (𝑂𝑥 ; 𝑂𝑦 ; 𝑂𝑧 ) = 0 𝑊

𝐎𝒙 = −𝟐𝟏𝟐𝟗. 𝟕 N 𝐎𝒚 = −𝟐𝟓𝟑𝟒. 𝟒 N 𝐎𝒛 = +𝟔𝟐𝟗𝟗. 𝟕 N

ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO Problema 13 Si la carga P de la grúa, conformada por barras y poleas, se incrementa en 4 toneladas, calcule el correspondiente incremento sobre la resultante de la reacción en el apoyo A. Considere que ABCDEFG se comporta como un sólido rígido, que GH es una barra y que las poleas no tienen fricción.

Solución Elaborando el DCL y planteando el equilibrio ∑𝑀𝐴 = 0:

∑𝐹𝑥 = 0:

∑𝐹𝑦 = 0:

Resolviendo [1]:

𝑃 𝑃 𝑃 − 4.25 + 0.25 + 4√2𝐻 = 0 2 2 2

𝐴𝑥 +

𝐴𝑦 −

1 𝑃

√2 2 1

√2
<...