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Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Buenos Aires Física Electrónica Ondas armónicas simples - Principio de Superposición – Ondas estacionarias

1. Ondas armónicas simples 1.1 Función de onda y parámetros característicos La onda armónica simple, que se propaga en el sentido de las x positivas, está definida por la función de onda

ψ ( x , t ) = A sen ⎡⎣k ( x − v P t ) + ϕ ⎤⎦ • • • •

o

ψ ( x, t ) = A sen (k x − ω t + ϕ ) , donde

A > 0 es la amplitud. k > 0 es el número de onda. ω = k v P es la pulsación. − π ≤ ϕ ≤ π es la fase.

La función que describe la onda armónica también puede escribirse, entre otras posibilidades, en la forma: ψ ( x, t ) = A cos ( k x − ω t + ϕ ) .

1.2 Análisis temporal y análisis espacial El análisis temporal de una onda consiste en estudiar la evolución de la perturbación que provoca en un punto fijo del medio x = x0 . Para las ondas armónicas simples, la perturbación en un punto dado varía en forma periódica, es decir, existe un intervalo de tiempo T , denominado 2π . La frecuencia período, para el cual ψ ( x , t + T ) = ψ ( x, t ) ∀x . Es sencillo demostrar que T = ω 1 de la onda armónica se define como ν = , de donde resulta que ω = 2 π ν . T

Figura 1: Análisis temporal de una onda armónica simple.

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Lic. Juan A. Dasso

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En la Figura 1 se representa la evolución temporal de una onda armónica simple, en un punto fijo del medio. Obsérvese que, para la representación gráfica, se midió la perturbación tomando la amplitud como unidad y se midió el tiempo tomando como unidad al período. El rango de abscisas entre dos máximos o dos mínimos consecutivos corresponde a un intervalo de tiempo igual a un período. El rango de abscisas entre dos ceros consecutivos corresponde a un intervalo de tiempo igual a medio período. El análisis espacial de una onda consiste en estudiar cómo varía a lo largo del medio la perturbación que provoca, en un instante fijo de tiempo t = t0 . Para las ondas armónicas simples, la perturbación a lo largo del medio varía en forma periódica, es decir, existe un desplazamiento espacial λ , denominado longitud de onda, para el cual ψ ( x + λ ,t ) = ψ ( x ,t ) ∀t . Es sencillo demostrar que λ =

2π ω λ y que vP = = . k T k

Figura 2: Análisis espacial de una onda armónica simple.

En la Figura 2 se representa la variación a lo largo del medio de una onda armónica simple, para un dado instante de tiempo. Obsérvese que, para la representación gráfica, se midió la perturbación tomando la amplitud como unidad y se midió la posición tomando como unidad a la longitud de onda. El rango de abscisas entre dos máximos o dos mínimos consecutivos corresponde a un desplazamiento igual a la longitud de onda. El rango de abscisas entre dos ceros consecutivos corresponde a un desplazamiento igual a media longitud de onda. En el Sistema Internacional (S.I), las unidades de algunas de las magnitudes mencionadas son:

[ω ] =

1 rad = s s

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[ν ] =

1 = Hz ( Hertz ) s

1

[k ] = m

[λ ] = m

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1.3 Formalismo complejo Ya sea que la función de onda se escriba en la forma ψ ( x, t ) = A sen ( k x − ω t + ϕ ) (referencia seno) o en la forma ψ ( x, t ) = A cos ( k x − ω t + ϕ ) (referencia coseno), siempre es posible definir una función de onda compleja Ψ ( x, t ) = A ⎡⎣cos ( k x − ω t + ϕ )+ i sen ( k x − ω t + ϕ )⎤⎦

Esta función contiene, ya sea en su parte real o en su parte imaginaria, la información que describe a la onda en cuestión.

Ψ ( x, t ) = A e (

i k x −ωt +ϕ )

= A e iϕ e (

i k x − ωt )

= Αe(

i k x − ωt )

i Α ≡ A e ϕ (Amplitud compleja)

Observar que, al quedarnos ya sea con la parte real o con la imaginaria, las funciones i (k x −ωt ) i ( k x ωt ) y Ψ ( x, t ) = Α e− − , conducen a ondas planas que se propagan en complejas Ψ ( x, t ) = Α e el sentido de las x positivas. La onda plana que se propaga en el sentido de las x negativas se podrá escribir ya sea en la + − + forma Ψ( x, t) = Α ei (k x ωt ) o en la forma Ψ ( x , t ) = Α e i( k x ω t ) . Como se verá a medida que se avance en el curso, y como ya fue mencionado al estudiar las oscilaciones armónicas, el formalismo complejo facilita el tratamiento matemático, tanto a nivel teórico como práctico, en muchas situaciones prácticas importantes. 2. Principio de superposición: Medios lineales

 Para los medios lineales, vale el principio de superposición: Si se propaga una onda ψ1 y  luego otra onda ψ 2 , la onda resultante cuando las anteriores se propaguen simultáneamente será:    ψ =ψ 1 + ψ 2 Obsérvese que hemos considerado el caso más general en el cual la onda se describe a través de una magnitud vectorial, debiendo sumar vectorialmente ambas funciones. En el caso particular en el que las ondas se puedan describir a través de magnitudes escalares, como las ondas de presión en la propagación del sonido en un gas, el principio de superposición se podrá expresar en forma escalar: ψ = ψ1 +ψ 2 . Si la magnitud que describe las ondas es vectorial, pero ambas ondas tienen solamente una componente no nula en la misma dirección (ondas linealmente polarizadas en la misma dirección), que por ejemplo podemos hacer coincidir con el eje y, el tratamiento vectorial se reduce en la práctica a una ecuación escalar en las componentes correspondientes: ψ y = ψ1 y + ψ2 y . Mientras que la amplitud de las ondas se mantenga suficientemente pequeña (en relación a algún valor característico propio de cada medio) la mayoría de los medios de propagación se comportan aproximadamente como medios lineales, siendo aplicable el principio de superposición. UTN – FRBA – Física Electrónica

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3. Ondas estacionarias Como primera aplicación de la superposición de ondas consideramos el caso de dos ondas armónicas simples, de las mismas amplitud, longitud de onda y frecuencia, que se propagan en sentidos opuestos. Eligiendo convenientemente el origen de tiempos (instante al que se le asigna el valor t = 0 ) la fase de la onda que se propaga en el sentido +x puede hacerse igual a cero. La otra onda podrá tener una diferencia de fase respecto de la anterior. Por lo tanto podemos escribir que:

ψ 1 ( x , t ) = A sen ( k x − ω t)

ψ 2 ( x, t ) = A sen ( k x + ω t + ϕ )

Sumando las ondas:

ψ ( x, t ) = ψ 1 ( x , t ) + ψ 2 ( x, t ) = A sen (k x − ωt ) + A sen (k x + ωt + ϕ ) ψ ( x, t ) = A { sen ( k x − ω t ) + sen ( k x + ω t + ϕ )} ⎛ ⎝

ψ ( x , t ) = 2 A sen ⎜ k x +

ϕ⎞

ϕ⎞ ⎛ cos ⎜ ω t + ⎟ ⎟ 2⎠ 2⎠ ⎝

⎛α+β donde se aplicó la identidad trigonométrica: sen (α ) + sen ( β ) = 2sen ⎜ ⎝ 2

(3.1) ⎞ ⎛α − β ⎞ ⎟ cos ⎜ 2 ⎟ . ⎠ ⎠ ⎝

Figura 3: Análisis espacial de la onda resultante, para distintos instantes de tiempo.

En la Figura 3 se superponen los análisis espaciales de la onda resultante correspondientes a distintos instantes de tiempo, para el caso ϕ = 0 . Como unidad de longitud se tomó la longitud de onda y como unidad de perturbación se tomó el valor 2 A .

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Mientras que para las ondas propagantes las variables x y t se combinan para formar el argumento de una función, ψ (x ,t ) = f ( x − v pt ) o ψ ( x , t ) = f ( x + v p t) , es importante notar que en este caso, para la onda resultante esas variables se separan, formando argumentos de funciones diferentes: ψ ( x,t ) = f ( x )g (t ) . El resultado es que, como se puede apreciar con la ayuda de la Figura 3, la onda resultante no parece ser una perturbación que se propaga, si no más bien un fenómeno localizado donde la magnitud que lo describe oscila en forma armónica simple, con distinta amplitud en los distintos puntos del medio. Este tipo de ondas se denominan estacionarias. De la expresión (3.1) puede deducirse, como se ve en la Figura 3, que hay puntos del medio en que la perturbación resultante es nula. Estos puntos se denominan nodos. También se puede deducir que hay puntos en que la perturbación oscila con una amplitud máxima, igual a 2 A . Esto puntos se denominan vientres. Para una cuerda tensa de longitud l , con los extremos fijos (nodos forzosos) en las posiciones x = 0 y x = l , como se muestra en la Figura 3, la ecuación ( 3.1) debe cumplir las condiciones de contorno: ψ ( 0, t ) = 0 , ψ (l , t ) = 0 , ∀t . De esto resulta que las longitudes de onda posibles de las ondas estacionarias están dadas por la relación λ n = 2 l n (n = 1, 2,3,…) . Por lo tanto, las frecuencias correspondientes a las distintas ondas estacionarias serán: v v νn = p = p n λn 2 l (n = 1, 2,3,… ) 4. Resolución de la ecuación diferencial de ondas: Método de separación de variables

Esta parte es optativa. No es esencial en este momento, pero se tratan conceptos matemáticos que serán necesarios conocer al discutir ciertos temas de física cuántica. Anteriormente se analizó que la forma más general de describir ondas que se propagan sin atenuación ni dispersión es a través de una función de la forma: ψ ( x, t ) = f ( x − v p t ) + g ( x + v p t) . También se demostró que una función ψ ( x, t ) como la anterior es solución de la ecuación

∂ 2 Ψ 1 ∂ 2Ψ − = 0 , llamada ecuación diferencial de ondas. Queremos ahora analizar el ∂ x2 v 2p ∂ t2 camino inverso: dada la ecuación diferencial, hallar la función solución. Por lo general, las leyes de la física conducen a conocer primero las ecuaciones diferenciales que deben satisfacer ciertas magnitudes físicas y, entonces, hay que resolver esas ecuaciones diferenciales para hallar las soluciones correspondientes, es decir las funciones que la satisfacen.

diferencial

Una forma de resolver ciertas ecuaciones diferenciales ordinarias (correspondientes a funciones de una variable) se estudió en relación al movimiento oscilatorio armónico. Veremos ahora un método que puede a veces aplicarse a ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, es decir que corresponden a funciones de más de una variable.

∂ 2 Ψ 1 ∂ 2Ψ La ecuación diferencial de ondas 2 − 2 2 = 0 , puede resolverse aplicando el método v p ∂t ∂x de separación de variables, que consiste en proponer como solución una función de la forma: Ψ ( x, t ) = f ( x ) g (t ) UTN – FRBA – Física Electrónica

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Reemplazando en la ecuación diferencial: d 2 f (x ) d x2

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1 ∂2 ∂2 f x g t − ( ) ( ) ( ) ( f (x )g (t )) = 0 , se obtiene v 2p ∂t 2 ∂ x2

2 1 d g (t ) g (t ) − 2 f (x ) = 0 v p dt 2

⇒

1

d 2 f ( x)

f ( x)

d x2

2 1 d g (t ) = 2 v p g ( t ) dt 2

En la última ecuación, el miembro izquierdo es solamente función de x y el miembro derecho es sólo función de t . La única forma posible para que se mantenga la igualdad es que ambos miembros sean igual a una constante. Si esa constante es negativa, podemos escribirla en la forma − k2 , siendo k 2 > 0 . Entonces: d 2 f ( x) = −k2 2 f ( x) d x 1

2 1 d g (t ) = −k 2 2 2 v p g (t ) d t

,

2 1 d g (t ) = −k 2 , llamando ω 2 = ( v p k ) > 0 , tenemos que: Para la parte temporal 2 2 v p g ( t) d t

2

g (t ) + ω 2 g ( t ) = 0

Esta ecuación corresponde un oscilador armónico simple, cuya solución más general ya sabemos que podemos escribir en la forma: g ( t ) = Aeiω t + B e −iω t . Si la constante de separación de variables fuera positiva, se obtendría para la parte temporal una ecuación diferencial de la forma g ( t ) − ω 2 g ( t ) = 0 , que conduce a una solución del tipo: g ( t ) = Ae ωt + B e−ω t . Esto conduce a magnitudes que tienden a infinito en el tiempo, lo que físicamente no es aceptable, o a magnitudes que tienden a cero con el tiempo, lo que no corresponde a ondas que se propagan sin atenuación, que es el caso que queremos tratar. 2 d f (x ) 1 d f ( x) 2 ≡ f ′(x ), = − k , usando la notación: 2 f (x ) d x dx

Para la parte espacial

d 2 f ( x) = f ′′ ( x ) , nos queda que: dx2 f ′′ ( x) + k 2 f ( x ) = 0

Esta ecuación es equivalente a la del oscilador armónico, por lo que se puede ver que la solución general se puede escribir en la forma: f ( x ) = C ei k x + D e −i k x . La forma más general para la solución de variables separadas Ψ ( x, t ) = f ( x) g ( t ) es: Ψ ( x, t ) = ( C ei k x + D e−i k x )( Aeiω t + B e− iω t )

Aplicando la propiedad distributiva se llega a: i (k x t ) i (k x t ) i( k x Ψ ( x, t ) = AC e + + D A e− − + C B e −

ω

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ω

ωt )

i ( k x +ω t )

+ D B e−

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Ondas armónicas simples - Principio de Superposición – Ondas estacionarias ( Como los términos AC e

i k x +ω t )

− y DBe

i ( k x+ ω t )

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corresponden a ondas armónicas que se

− i ( k x− ω t )

− propagan en el sentido de las −x , y los términos D Ae y C B ei (k x ωt ) corresponden a ondas que se propagan en el sentido de las +x , la solución más general para un dado valor de la constante k (onda armónica simple) se puede resumir en la forma: i (k x −ω ( k )t )

Ψ ( x, t ) = Α e

i ( −k x −ω ( k ) t )

+Βe

,

donde teniendo en cuenta que ω2 = ( v p k ) , se ha puesto de manifiesto que la pulsación de la onda 2

es función de k : ω = ω ( k ) . Volveremos sobre esta relación en el siguiente punto. Como la ecuación de ondas es lineal, si varias funciones son solución, la combinación lineal de las mismas será también solución. Las ondas periódicas más generales (cuadradas, triangulares, diente de sierra, etc.) se pueden obtener como una superposición de ondas armónicas cuyos números de onda (k ) toman valores en un conjunto discreto:

Ψ ( x, t ) =

∑( Α

n

ei( kn x

−ω ( kn ) t )

+ Βn e i (

− kn x −ω (kn )t )

n

).

Las ondas no periódicas limitadas espacialmente o pulsos, se pueden obtener como una superposición de ondas armónicas cuyos números de onda toman valores en un conjunto continuo: i k x −ω ( k ) t) i − k x −ω ( k ) t ) dk . Ψ (x , t ) = ∫ Α ( k ) e ( + Β (k )e (

(

)

Obsérvese que las soluciones presentadas siempre corresponden a la forma general: ψ (x , t ) = f ( x − v p t ) + g ( x + v p t ) 5. Relación de dispersión

La velocidad de propagación de las ondas armónicas simples en un medio de propagación, llamada velocidad de fase, depende por lo general del número de onda: v p = v p ( k ). La relación que permite determinar ω como función de k , ω = ω ( k ) , se conoce como relación de dispersión. Un medio es dispersivo cuando la velocidad de fase de las ondas armónicas simples depende de la frecuencia de la onda. En tal caso, la forma de un pulso se distorsiona al propagarse. 2 ω2 ( k) Cuando = (vp ) = cte , todas las ondas armónicas se propagan con la misma 2 k velocidad de fase y los pulsos no sufren distorsión al propagarse: medio no dispersivo. Ejercicios

i) Considerar una onda estacionaria caracterizada por la ecuación (3.1).

ϕ ⎞λ ⎛ a) Demostrar que la posición de los nodos está dada por la expresión x n = ⎜n − ⎟ , donde ⎝ 2 π ⎠2 n ∈  . ¿Cuál es la distancia entre dos nodos consecutivos? 1 ϕ ⎞λ ⎛ , b) Demostrar que la posición de los vientres está dada por la expresión x m = ⎜ m + − 2 2π ⎟⎠ 2 ⎝ donde m ∈  . ¿Cuál es la distancia entre dos vientres consecutivos? c) ¿Cuál es la distancia entre un nodo y el vientre más próximo? d) Demostrar que existen instantes de tiempo, t n , para los cuales ψ ( x, tn ) = 0 , ∀x . UTN – FRBA – Física Electrónica

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