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APLICACIONES DE LA DERIVADA DERIVADAS DE ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y POLARES

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ÁREA DE ANÁLISIS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE

Semana # 4

Contenido Título Derivadas de ecuaciones paramétricas y polares Duración 2 horas Información general Derivadas de ecuaciones paramétricas Objetivo

Derivadas de ecuaciones polares Determinar la derivada de ecuaciones paramétricas y polares, mediante la aplicación de reglas y teoremas específicos

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Semana # 4

DERIVADA DE FUNCIONES PARAMÉTRICAS Si 𝑓 y 𝑔 son dos funciones con un dominio común 𝐷, entonces: 𝑥 = 𝑓(𝑡), 𝑦 = 𝑔(𝑡) son ecuaciones paramétricas en las que 𝑡 es el parámetro. La gráfica de estas ecuaciones es el conjunto de puntos cuyas coordenadas cartesianas son: {(𝑥, 𝑦)⁄ 𝑥 = 𝑓(𝑡), 𝑦 = 𝑔(𝑡) , ∧ 𝑡 ∈ 𝐷}

Si las funciones 𝑓 y 𝑔 son diferenciables en un dominio común 𝐷. Si 𝑓 ′ (𝑡) es continua y diferente de cero en 𝐷, entonces las ecuaciones paramétricas 𝑥 = 𝑓(𝑡), 𝑦 = 𝑔(𝑡) definen a 𝑦 como una función diferenciable de 𝑥 y se escribe:

Tangentes horizontales (𝑷𝒕𝒉)

𝑑𝑦 𝑔′(𝑡) 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑓′(𝑡) 𝑑𝑡

Se encuentra en aquellos puntos en los que:

𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ≠0 = 0, esto ocurre cuando =0 𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡

Tangentes verticales (𝑷𝒕𝒗)

Se encuentra en aquellos puntos en los que:

Ejemplos Sea la curva {

𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∞, esto ocurre cuando ≠0 𝑦 =0 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝒙 = 𝒂 𝐜𝐨𝐬 𝒕 {𝒐, 𝟐𝝅} 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓: 𝒚 = 𝒂 𝐬𝐢𝐧 𝒕 𝒕 ∈

𝑎)

𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑐)

𝑑𝑦 𝜋 √2 √2 √2 𝑎) 𝑒𝑛 𝑡 = ; 𝑥 = − 𝑎; para el punto ( 𝑎, − 2 𝑑𝑥 3 2 2

𝑏) 𝑃𝑡ℎ; 𝑃𝑡𝑣

𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = −𝑎 sin 𝑡 = − 1 𝑎) = 𝑑𝑥 𝑎 cos 𝑡 tan 𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡

2

Semana # 4

𝑏) 𝑃𝑡ℎ se obtiene haciendo:

𝑑𝑦

= 0 y esto ocurre cuando

𝑑𝑥 −𝑎 sin 𝑡 − sin 𝑡 = 0 𝑠𝑠𝑖 − sin 𝑡 = 0 ∧ cos 𝑡 ≠ 0 = cos 𝑡 𝑎 cos 𝑡 sin 𝑡 = 0 ; 𝑡 = {0 , 2𝜋}

𝑃𝑡𝑣 se obtiene haciendo:

𝑑𝑦 𝑑𝑥 ≠ 0 = 0 𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =0 = ∞ y esto ocurre cuando ≠0 𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡

−𝑎 sin 𝑡 − sin 𝑡 = ∞ 𝑠𝑠𝑖 − sin 𝑡 ≠ 0 ∧ cos 𝑡 = 0 = cos 𝑡 𝑎 cos 𝑡

cos 𝑡 = 0 ; 𝑡 = { 𝑐)

𝜋 3𝜋 , } 2 2

𝑑𝑦 𝜋 √2 √2 √2 𝑎; para el punto ( 𝑎, − 𝑒𝑛 𝑡 = ; 𝑥 = − 𝑎) 2 𝑑𝑥 2 3 2

𝑑𝑦 1 1 =− =− 𝜋 𝑑𝑥 √3 tan 3

𝑥 = 𝑎 cos 𝑡 = − Para: 𝑡 =

Para: 𝑡 =

3𝜋 5𝜋 √2 𝑎 ;𝑡 = { , } 2 4 4

3𝜋 𝑑𝑦 −1 =1 ; = 4 𝑑𝑥 tan 3𝜋 4

5𝜋 𝑑𝑦 −1 ; = = −1 4 𝑑𝑥 tan 5𝜋 4

para el punto

√2 (2

√2 𝑎, − 𝑎) 2

⟹{

El valor que cumple es 𝑡 =

Para: 𝑡 =

7𝜋 4

𝑥 = 𝑎 cos 𝑡 =

𝑦 = 𝑎 sin 𝑡 =

√2

2 −√2 2

𝑎 ⟹ 𝑡 = {4 ; 𝜋

𝑎⟹𝑡={4 ; 5𝜋

7𝜋

}

4 7𝜋 4

}

7𝜋 𝑑𝑦 −1 ; = =1 4 𝑑𝑥 tan 7𝜋 4

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Semana # 4

DERIVADAS DE CURVAS DADAS EN FORMA POLAR La ecuación de una curva en forma polar está dada por: 𝑟 = 𝑓(𝜃)

TRANSFORMACIONES: Polar – Cartesiana: 𝑟 = 𝑓(𝜃) ⟺ {

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃

Cartesiana – Polar: 𝑦 = 𝑓(𝑥) ⟺ {

𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦2

𝜃 = arctan ( ) 𝑦

𝑥

Las curvas polares son un caso particular de las paramétricas, de manera que si se desea calcular la derivada 𝑑𝑥 de una curva polar 𝑟 = 𝑓(𝜃), lo primero que hacemos 𝑑𝑦

es parametrizar la curva: {

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 = 𝑓(𝜃) cos 𝜃 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 = 𝑓(𝜃) sin 𝜃

Luego se procede a calcular la derivada: 𝑑𝑦 = 𝑓 ′ (𝜃) sin 𝜃 + 𝑓(𝜃) cos 𝜃 𝑑𝜃

𝑑𝑥 = 𝑓 ′ (𝜃) cos 𝜃 − 𝑓(𝜃) sin 𝜃 𝑑𝜃

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Semana # 4

De donde: 𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝜃 𝑓 ′ (𝜃) sin 𝜃 + 𝑓(𝜃) cos 𝜃 = 𝑑𝑥 = 𝑓 ′ (𝜃) cos 𝜃 − 𝑓(𝜃) sin 𝜃 𝑑𝜃

𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨: dada la ecuación de la curva 𝑟 = 2(1 − cos 𝜃) ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟

{

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 = 2(1 − cos 𝜃) cos 𝜃 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 = 2(1 − cos 𝜃) sin 𝜃

𝑑𝑦 , 𝑃𝑡ℎ, 𝑃𝑡𝑣 𝑑𝑥

𝑑𝑥 = 2[(1 − cos 𝜃)(− sin 𝜃 ) + cos 𝜃 sin 𝜃] = 2(− sin 𝜃 + 2 cos 𝜃 sin 𝜃) 𝑑𝜃 = 2 sin 𝜃 (2 cos 𝜃 − 1) 𝑑𝑦 = 2[(1 − cos 𝜃) cos 𝜃 + sin 𝜃 sin 𝜃] = 2(𝑠𝑖𝑛2 𝜃 − 𝑐os 2 𝜃 + cos 𝜃) 𝑑𝜃 = 2(1 + cos 𝜃 − 2𝑐os 2 𝜃)

𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝜃 2(1 + cos 𝜃 − 2𝑐os2 𝜃) (1 + 2 cos 𝜃)(1 − cos 𝜃) = = = sin 𝜃 (2 cos 𝜃 − 1) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2 sin 𝜃 (2 cos 𝜃 − 1) 𝑑𝜃 𝑃𝑡ℎ se obtiene haciendo:

𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ≠0 = 0 y esto ocurre cuando =0 𝑦 𝑑𝜃 𝑑𝑥 𝑑𝜃

(1 + 2 cos 𝜃)(1 − cos 𝜃) = 0 ⟺ 1 + 2 cos 𝜃 = 0

1 + 2 cos 𝜃 = 0 ; cos 𝜃 = −

2𝜋 4𝜋 1 ; 𝜃={ ; } 2 3 3

∨

1 − cos 𝜃 = 0

1 − cos 𝜃 = 0 ; cos 𝜃 = 1 ; ; 𝜃 = {0 ; 2𝜋}

𝑃𝑡𝑣 se obtiene haciendo:

𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =0 = ∞ y esto ocurre cuando ≠0 𝑦 𝑑𝜃 𝑑𝑥 𝑑𝜃

sin 𝜃 (2 cos 𝜃 − 1) = 0 ⟺ sin 𝜃 = 0 sin 𝜃 = 0 ; 𝜃 = {0 ; 𝜋}

2 cos 𝜃 − 1 = 0 ; cos 𝜃 =

∨

2 cos 𝜃 − 1 = 0

1 𝜋 5𝜋 ; 𝜃={ ; } 2 3 3

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Semana # 4

𝒓 𝜽

𝑷𝒕𝒉⁄ 𝑷𝒕𝒗

𝟎 0

𝑃𝑡ℎ

𝟎 2𝜋

𝑃𝑡ℎ

𝟑 2𝜋 3 𝑃𝑡ℎ

𝟑 4𝜋

3 𝑃𝑡ℎ

Verificación que en ; 𝜃 = 0 existe 𝑃𝑡ℎ

𝟒 𝜋

𝑃𝑡𝑣

𝟏 𝜋 3 𝑃𝑡𝑣

(1 + 2 cos 𝜃) (1 + 2 cos 𝜃)(1 − cos 𝜃) 𝑑𝑦 . lim lim = lim = lim 𝜃→0 𝜃→0 (2 cos 𝜃 − 1) 𝜃→0 𝜃→0 𝑑𝑥 sin 𝜃 (2 cos 𝜃 − 1) =0

𝟏 5𝜋 3 𝑃𝑡𝑣 (1 − cos 𝜃) (3)( 0) 𝜃 = sin 𝜃 (1) (1) 𝜃

6...