10. Relaciones métricas en triángulos rectángulos PDF

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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA CURSO DE NIVELACIÓN GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA CLASE N°10

RELACIONES MÉTRICAS Y TRIGONOMÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 1. Objetivo Exponer la teoría sobre relaciones métricas y trigonométricas en triángulos rectángulos 2. Logros de aprendizaje De conocimientos • •

Conocer las relaciones métricas de triángulos Rectángulos. Conocer las relaciones trigonométricas de triángulos Rectángulos.

De destreza •

Identificar, graficar y aplicar relaciones métricas y trigonométricas de triángulos Rectángulos.

De Valores • El estudiante de la materia debe manifestar sentido de responsabilidad, honestidad, respeto y predisposición al trabajo 3. Desarrollo de la clase

RELACIONES MÉTRICAS Y TRIGONOMÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Proyecciones Ortogonales De un punto sobre una recta: Es el pie de la perpendicular trazada de dicho punto a la recta. P:  PP’:

Punto a proyectarse Proyectante

P’:

Proyección de P en la recta XY

De un segmento sobre una recta: Es el segmento comprendido entre las proyecciones de los puntos extremos del segmento a proyectarse.

1

: Proyección del segmento AB  en la recta XY  A'B’ Relaciones Métricas Son las diferentes relaciones que vinculan las longitudes de los segmentos de un triángulo rectángulo. A continuación se muestran estas relaciones con base en la semejanza de triángulos.

Cateto al cuadrado 1. Un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección en la hipotenusa 𝑎 𝑐 ∆𝐴𝐵𝐶 ≈ ∆𝐶𝐵𝐻 → = → 𝑎2 = 𝑐 ∙ 𝑛 𝑛 𝑎 𝑏 𝑐 ∆𝐴𝐵𝐶 ≈ ∆𝐴𝐶𝐻 → = → 𝑏2 = 𝑐 ∙ 𝑚 𝑚 𝑏 Altura relativa 2. La altura relativa a la hipotenusa (CH= h) es media proporcional entre los segmentos que forma en la hipotenusa. ∆𝐴𝐶𝐻 ≈ ∆𝐶𝐵𝐻 →

𝑚 ℎ = → ℎ2 = 𝑚 ∙ 𝑛 𝑛 ℎ

Producto de catetos 3. El producto de los catetos es igual al producto entre la hipotenusa y su altura relativa. ℎ 𝑎 ∆𝐴𝐵𝐶 ≈ ∆𝐶𝐵𝐻 → = → ℎ ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑏 𝑏 𝑐 Teorema de Pitágoras 4. En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos. 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 2

2

RELACIONES TRIGOMÉTRICAS ∆OAB ≈ ∆OCD ≈ ∆OEF AB CD EF cateto opuesto = sin α = = = hipotenusa OA OC OE OB OD OF cateto adyacente = cos α = = = hipotenusa OA OC OE EF cateto opuesto AB CD = = = = tan α OB OD OF cateto adyacente Identidades Recíprocas 1 hipotenusa = csc a = csc a → cateto opuesto sin a hipotenusa 1 = sec a = sec a → cateto adyacente cos a 1 cateto adyacente = cot a → = cot a tan a cateto opuesto Cofunciones (Ángulos Complementarios)

𝑐𝑜𝑠(90°-β) = 𝑠𝑒𝑛 𝛽

α+β=90° →α=90°-β

𝑠𝑒𝑐(90°-β) 𝑐𝑠𝑐 𝛽

sin(90°-β)= cos β

csc(90°-β)= sec β

tan(90°-β)= cot β

cot(90°-β)= tan β

b sin a = = cos β c a cos a = = sen β c b tan a = = cot β a

Funciones Trigonométricas (Ángulos Notables) sin 30° =

1 2

csc 30° = 2 2√3 3

√3 cos 30° = 2

sec 30° =

√3 tan 30 °= 3

cot 30° =√3

sin 60° =

√3 2

cos 60° =

1 2

tan 60 °=√3

csc 60° =

2√3 3

sec 60° =2 cot 60° =

√3 3

3

sin 45° = √2 ⁄2

csc 45° =√2

cos 45° = √2 ⁄2

sec 45° =√2

tan 45° =1

cot 45° =1

Tabla resumen F.T 𝒂

30

60

45

sin a

1 2

√3 2

√2 2

cos a

√3 2

1 2

√2 2

tan a

√3 3

√3

1

csc a

2

2√3 3

√2

sec a

2√3 3

2

√𝟐

cot a

√3

√3 3

1

4. Bibliografía • • •

CALVACHE, Gonzalo. y LEÓN, Carlos. (2019). Geometría Plana, Trigonometría, Geometría del Espacio, Geometría Analítica. ISBN-978-9942-20-363-2. HEMMERLING, Edwin M. (2005). Geometría Elemental. México. 1975. Limusa. MOISE, Edwin E. FLOYD, L. DOWNS, Jr. Serie Matemática Moderna. Bogotá. 1972. Norma. Tomo4.

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