12 Dependência e independência linear PDF

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aula sobre Dependência e independência linear...

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DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR Seja V um espaço vetorial e

v1 , v2 ,  , vn V .

Diz-se que o conjunto { v1 , v2 ,  , vn } é linearmente independente (LI) quando: a1v1  a2 v2   a n vn  0  a1  a2    a n  0

Isto significa que toda combinação linear nula, implicará que os coeficientes de tal combinação linear deverão ser todos iguais a zero, ou seja, essa combinação é linearmente independente (LI). Caso contrário, isto é, se

a1 v1  a2 v2    an vn  0

e

 a j  0 para algum j,

dizemos que { v1 , v2 ,  , vn } é um conjunto linearmente dependente (LD). Três vetores u, v e w do ℝ3, são linearmente dependentes quando são coplanares.

Sendo u = (x1 , y1, z1),

v = (x2 , y2, z2)

e

u, v e w linearmente dependentes ⟺ [ u, v e w linearmente independentes ⟺ [

w = (x 3 , y3, z3) temos: ] = 0 ] ≠ 0

RETOMANDO: LI  a1  a2    a n  0 ;

LD  Ǝ a ≠ 0 ;

Δ = 0

Δ ≠0 ;

Vetores LI não são múltiplos escalares uns dos outros.

Alguns exemplos de conjuntos de vetores que são LI ou LD 1. Seja V  2 e o conjunto formado pelos vetores v1 e v2 , sendo v1  2,1 e v2  4,2  . Então este conjunto {v1, v2 } é LI ou LD ? (0, 0) = a (2, -1) + b (4, -2) {

a=-2b (0, 0) = - 2 b (2, -1) + b (4, -2) Por exemplo, se b = -1 2 v1 + (- 1) v2 = 0, isto é: 2 (2, - 1) + (- 1) (4, - 2) = (0, 0). Resposta: É LD, pois podemos construir combinações lineares nulas, sem que os coeficientes sejam todos nulos, exemplo: 2. Seja V   2 e o conjunto formado pelos vetores v1 e v 2 , sendo v1  1,0 e v2  0,1 . Então este conjunto {v1 , v 2 } é LI ou LD ? a1 v1+ a2 v2 = (0, 0) ⇒

a1 (1, 0) + a2 (0, 1) = (0, 0) ⇒

(a1 , a2) = (0, 0) ⇒

a1 = 0

e

a2 = 0

Resposta: É LI, pois toda combinação linear nula destes vetores, implica que os coeficientes deverão ser iguais a zero: 3. Seja

V  3

v1  1,0,2 ,

e

o

conjunto

v2  3,4,1

e

formado

pelos

vetores

v1 ,

v2

e

v3 ,

sendo

v3  5,4,5 . Então este conjunto {v1 , v2 , v3 } é LI ou LD ?

Basta fazer:

a1v1  a2v2  a3v3  0  a11,0,2  a2 3,4,1  a3 5,4,5  0,0,0 

a1  3a2  5a3  0   0a1  4a 2  4a 3  0 2a  a  5a  0  1 2 3

 Escalonando podemos mostrar que este sistema é SPI.

Logo o referido conjunto é realmente LD. Poderíamos chegar à mesma conclusão observando que 2 v1  v2  v3  0  2 1  ,0,2 1 3,4,1  15,4,5  0,0,0 

isto é, podemos construir combinações lineares nulas, sem que os coeficientes sejam todos nulos. Resposta: É LD, pois uma combinação linear nula não implicará necessariamente que os coeficientes sejam nulos.

4. Seja

V  3

e

o

conjunto

formado

pelos

vetores

v1 ,

v2

e

v3 ,

sendo

 ,0,0 , v2  0,1,0 e v3  0,0,1. Então este conjunto {v1 , v2 , v3 } é LI ou LD ? v1  1

a1v1  a2v2  a3v3  0  a1 1,0,0   a2 0,1,0  a3 0,0,1  0,0,0 a1  0 a1 , a2 , a3   0,0,0   a2  0 a  0  3

Resposta: É LI, pois toda combinação linear nula destes vetores, implica que os coeficientes deverão ser iguais a zero:

Proposição:

{ v1 , v2 ,  , vn } é (LD)  um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Demonstração:

{ v1 , v2 ,  , vn } é (LD)   a1v1  a2v 2    an vn  0

com a j  0 para algum

j

podemos isolar o vetor v j (o vetor que tem coeficiente a j  0 ), obtendo aj vj = – a1 v1 – a2 v2 – ... – an vn

vj = –

v1 –

vn

v2 – ... –

 a  a  v j    1 v1    2  a  a  j  j  

  a  v 2      n vn    a  j   

um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Exercícios sobre dependência e independência linear 1. Determinar os valores de m e de n, nos exercícios a seguir, para que os seguintes conjuntos de vetores do 3 sejam LI. a){ 3, 5m, 1 , 2, 0, 4 , 1, m , 3 } Para ser LI, a1 , a2, ..., an = 0 a1 (3, 5 m, 1 ) + a2 (2, 0 , 4) + a3 (1, m, 3) = (0, 0, 0) { De (3): De (1) : (5) em (4):

a1 = - 4 a2 - 3 a3 (4) (5)

2 a2 = - a3 – 3 a 1 a1 = - 4 (

)

- 3 a3

a1 = - 2 (- a3 - 3 a1) - 3 a3 a1 = + 2 a3 + 6 a1 - 3 a3 a1 - 6 a1 = - a3 a3 = - 5 a1

(6)

(6) em (2):

Logo, para ser LI: a1 = a2 = a3 = 0 , portanto, para que o sistema seja SPD devemos ter: m ≠ 0. Com m ≠ 0, o determinante é ≠ 0.

b) { 1, 3, 5 , 2, m  1, 10  } Para ser LI, a1 , a2, ..., an = 0 a1 (1, 3, 5 ) + a2 (2, m + 1 , 10) = (0, 0, 0) { De (1):

a1 = - 2 a2 (4)

(4) em (2): 3 (- 2 a2) + m a2 + a2 = 0 - 6 a2 + a2 + m a2 = 0 m = 5.

m a2 = 5 a2

c) { 6, 2, n , 3, m  n , m  1 }

Resposta:m  1 ou n  0

Para ser LI, a1 , a2, ..., an = 0 a1 (6, 2, n ) + a2 (3, m + n , m - 1) = (0, 0, 0) { De (1):

(4)

=

(4) em (2): 2 (

) + a2 (m + n) = 0

- a 2 + m a 2 + n a2 = 0 a2 ( m + n) = a2

m+n=1 n=1–m

Logo: m ≠ 1

Logo, m ≠ 5.

n≠0

Exercícios: 1. Determine se os seguintes vetores do ℝ3 são linearmente dependentes ou não: (Lipschutz, p. 115) a) (1, - 2, 1), ( 2, 1, -1 ), (7 , -4, 1) b) (2, - 3, 7), ( 0, 0, 0), (3, - 1, - 4) c) ( 1, 2, -3 ), ( 1, -3, 2), ( 2, -1 , 5)

2. Verifique se a matriz formada pelos vetores u, v e w é LI ou LD.

(LCTE – p. 60)

u = (1, 2, 1) v = (2, 1, 0) w = (3, 3, 1) 3. Verifique se os vetores do ℝ2 são linearmente dependentes ou não. – p. 22) u = (1, 0) v = (0, 1) w = (7, 4)

(Steinbruch/Winterle...