Equação Linear de Primeira Ordem e PVI PDF

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Resumo sobre Equação Linear de Primeira Ordem e PVI...

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Problema de Valor Inicial (PVI) Sabendo que a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária refere-se a uma família de soluções, um problema de valor inicial surge na modelagem matemática com o objetivo de encontrar uma solução particular dessa equação, contudo, vale ressaltar que para isso, faz-se necessário respeitar determinadas condições iniciais que segundo Yartey e Ribeiro (2017) são: 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 , 𝑦′(𝑥0 ) = 𝑦1 , 𝑦′′(𝑥0 ) = 𝑦3 , (∗∗) . . . (𝑛−1) (𝑥0 ) = 𝑦𝑛−1,} {𝑦 em que x0, y0, y1, y2, · · · , y(n−1) são valores previamente conhecidos. Ou seja, essas condições acima, são utilizadas para determinar os valores das constantes da solução geral, para que consequentemente seja possível encontrar uma solução particular. Problema de Valor Inicial da EDO de 1ª ordem Quando se refere a EDO’s de 1ª ordem, o procedimento de achar as constantes da solução geral através de condições iniciais pré-existentes é o mesmo, vale apenas ressaltar que isto pode ser demonstrado especificamente da seguinte forma: 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 , em que x0 e y0 são valores dados previamente. Equação Linear de Primeira Ordem De acordo com a definição descrita por Zill (2016), têm-se que uma equação diferencial ordinária de ordem n é considerada linear quando 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′ , … , 𝑦 (𝑛) ) = 0 for 𝑎𝑛 (𝑥)𝑦 (𝑛) + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝑦 (𝑛−1) + ⋯ + 𝑎1 (𝑥)𝑦 ′ + 𝑎0 (𝑥)𝑦 − 𝑔(𝑥) = 0 ou

𝑎𝑛 (𝑥)

𝑑𝑛 𝑦 𝑑𝑦 𝑑 𝑛−1𝑦 + 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) + 𝑎𝑛−1 (𝑥) 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 (𝑥) 𝑛 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Bem como se y e todas as suas derivadas forem do primeiro grau, juntamente com o fato de que todos os seus coeficientes a0,a1,...,aN devem depender de funções onde as variáveis são independentes ou constantes. No entanto, no trabalho em questão trataremos apenas de equações lineares de primeira ordem, dessa forma, o mesmo autor citado anteriormente, traz que para uma equação ser de linear de primeira ordem, é necessário primeiramente que a sua maior derivada possua ordem n=1, sendo então, descrita da seguinte forma 𝑎1 (𝑥)

𝑑𝑦 𝑑𝑥

+ 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥)

onde a1 deve ser diferente de 0. É importante ressaltar que ao dividirmos ambos os lados da igualdade pelo coeficiente a1(x), podemos tornar a equação ainda mais conveniente, dando origem a forma padrão da equação linear: 𝑑𝑦 + 𝑃 (𝑥)𝑦 = 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥...