1.5 Teorema de Moivre - informacoiom PDF

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1.5 Teorema de Moivre, potencias y extracciones de raíces de un numero complejo

La fórmula Z . W = |z| . |W| (cos (θ + µ) + i sen (θ + µ)) puede ser utilizada para hallar la potencia enésima de un numero complejo. Supongamos que Z = |Z| ( cos θ + isen θ ), y n es un entero positivo, entonces se obtiene:

Esta relación, que se conoce con el nombre de Formula de Moivre, y proporciona un algoritmo bastante eficiente para hallar la potencia enésima de cualquier numero complejo en forma polar. Extracción de las raíces de un número complejo. Si Z es un número complejo tal que para algún entero positivo se tenga:

donde W es otro número complejo, entonces se dice que W es una raíz enésima de Z. Esto lo denotamos por:

En los números reales, todo número posee una raíz de orden impar y dos raíces de orden par. En los complejos hay una mayor abundancia de raíces. Concretamente, se tiene la siguiente propiedad:

Todo número complejo tiene exactamente n raíces n-esimas. Así por ejemplo 1 tiene 4 raíces cuartas, pues:

Luego 1, -1, i, y -i son las raíces cuartas de 1. A continuación, damos una fórmula para hallar las raíces de un número complejo. Sea Z = |Z|(cos θ + i sen θ)....