19-20 Rd M Teoría Tema 3-5 Amoqt A260320 Flexion Teoremas de Mohr PDF

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RESISTENCIA DE MATERIALES

4. Flexión. Deformaciones (Teoremas de Mohr)

4.1 Primer teorema de Mohr En esta sección consideraremos otros métodos que pueden usarse para encontrar la pendiente y desviación vertical (también llamada flecha) en diferentes secciones de una viga. En este método, el área del diagrama de momentos flectores se utiliza para calcular la pendiente y/o flechas en puntos particulares a lo largo del eje de una viga o pórtico. Se utilizan dos teoremas conocidos como teoremas de Mohr para el cálculo de estas desviaciones. Un teorema (primer teorema de Mohr) se utiliza para calcular el ángulo relativo (diferencia de ángulos girados) entre dos rectas de la deformada de la viga inicial. El otro teorema (segundo teorema de Mohr) se usa para calcular la distancia vertical (flecha) entre un punto en la curva elástica y una línea tangente a la curva elástica en otro segundo punto. El primer teorema de Mohr permite obtener la rotación relativa entre dos secciones rectas A y B de una viga bajo flexión simple, es decir: ฀฀฀ ฀ − ฀฀฀ ฀ = ฀฀฀฀฀฀ (tal y como se muestra en la Fig. 1).

Figura 1. Deducción del primer teorema de Mohr (θA; θB; θAB en la figura es reemplazada por ฀฀฀฀ , ฀฀฀฀ , y ฀฀฀฀฀฀ en el texto). Anteriormente, dedujimos la ecuación diferencial para la curva elástica. La expresión para ella es,

pero,

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Por tanto,

donde: • • •

฀฀฀฀ y ฀฀฀฀ son las pendientes de la línea elástica en los puntos A y B con respecto al eje de la viga en el estado no deformado (i.e. el eje horizontal). ฀฀฀฀฀฀ denota el ángulo relativo (diferencia entre ángulos girados: ฀฀฀ ฀ − ฀฀฀ ฀ = ฀฀฀฀฀฀ ) entre las tangentes a la curva elástica en los puntos A y B. ฀฀฀฀฀฀,฀ ฀ es la suma algebraica de las áreas del diagrama de momentos flectores divido por la ฀฀ rigidez ฀฀฀฀฀฀ , es decir฀฀฀฀ ฀฀. ฀฀

Teorema: (Primer teorema de Mohr). El cambio en la pendiente entre las tangentes a la curva ฀฀฀฀ elástica entre cualesquiera dos puntos (A y B) es igual al área (suma algebraica) bajo el diagrama ฀฀฀฀

฀฀

entre estos dos puntos, siempre que la línea elástica sea continua entre dichos puntos:

Observaciones al primer teorema de Mohr: 1. Este teorema es un teorema relativo, ya que nos da la diferencia entre los ángulos girados por dos secciones A y B (es decir, (฀฀฀ ฀ − ฀฀฀฀ )); sin embargo, no nos proporciona el ángulo absoluto girado en una sección (p.ej. ฀฀฀฀ ). Será útil en aquellos casos en que el ángulo girado en una sección sea cero (por ejemplo, para un soporte fijo) o si se conoce el ángulo absoluto girado en una sección dado que de esta forma podemos determinar el ángulo girado por la otra sección. Por ejemplo, si B se corresponde con una sección que se encuentra empotrada, entonces ฀฀฀ ฀ = 0. Por tanto, si calculamos el ángulo girado por otra sección A de la viga con respecto de este punto (punto B), tendremos que el primer teorema de Mohr nos da: ฀฀฀ ฀ − ฀฀฀ ฀ = ฀฀฀ ฀ − 0 = ฀฀฀฀ , es decir el ángulo absoluto girado por A con respecto de una sección que no gira. 2. Las convenciones de signos utilizadas con este teorema se resumen a continuación: a. Teniendo en cuenta la convención de signos para el momento flector MF, y utilizando ฀฀฀฀ esta misma convención de signos para las áreas del diagrama ( ฀฀฀฀ ), un área positiva total (suma de áreas + y – del diagrama

฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀

฀฀

indica que la sección colocada a la

izquierda (A) girará más en sentido horario (o menos en sentido antihorario) que la

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sección ubicada a la derecha (B) y viceversa (es decir, que la sección situada a la izquierda (A) rotará más en sentido antihorario (o menos en el sentido de las agujas del reloj) que la sección situada a la derecha (B)). 3. El primer teorema de Mohr solo se aplica a vigas de material elástico lineal dado que este teorema se basa en la ecuación diferencial de la línea elástica (en la cual se usa la ley de Hooke válida solo materiales elásticos lineales): a. Observe que la ecuación diferencial de la línea elástica para una viga es una ecuación diferencial lineal. Esto significa que todos los términos que contienen el desplazamiento vertical (y) y sus derivadas están solamente elevadas a la primera potencia. En consecuencia, las soluciones de la ecuación para diversas condiciones de carga pueden superponerse. Por lo tanto, la pendiente de la viga deformada causada por varias cargas que actúan simultáneamente se puede encontrar superponiendo las pendientes causadas por las cargas que actúan por separado. Por ejemplo, si ฀฀1 representa la pendiente debido a una carga q₁ y si ฀฀2 representa la pendiente debido a una carga q₂, la pendiente total producida por q₁ y q₂ actuando simultáneamente es ฀฀1 + ฀฀2 . En resumen, como los resultados anteriores (primer teorema de Mohr) se basan en la ecuación diferencial de la línea elástica, se aplica el principio de superposición. 4. Este teorema se aplica solamente a aquellas partes de la línea elástica en las que no hay discontinuidades debido, por ejemplo, a la presencia de rotulas internas.

4.2 Segundo teorema de Mohr El segundo teorema de Mohr permite obtener la distancia vertical desde un punto B de la línea elástica hasta la tangente a otro punto A de la línea elástica (tal y como se observa en la Fig. 2).

Figura 2. Deducción del segundo teorema de Mohr (θ, dθ, δB,A en la figura es reemplazada por ฀฀, ฀฀฀฀,δB→tanA en el texto). Podemos deducir de la Fig. 2 que la intersección de las tangentes a la línea elástica en C₁ y C₂ con la

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línea vertical BB′ es, Usando la hipótesis de pequeñas deformaciones, podemos escribir dicha distancia como (radio por ángulo), (1) Por otro lado, a partir de la ecuación diferencial de la línea elástica sabemos que

que se puede escribir como

Por lo tanto, reemplazando la expresión anterior para ฀฀฀฀ en la eq. (1) nos da,

Ahora, integrando,

donde: • • •

δB→tanA = BB′ es la distancia vertical entre el punto B y la tangente a la línea elástica en A. xB; queremos obtener el desplazamiento vertical de B con respecto a la tangente a A, por tanto, calculamos el momento estático con respecto a B. ฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ es el momento estático (suma algebraica) del diagrama ฀฀฀฀฀฀,฀ ฀ = ฀฀ ฀฀฀฀ entre ฀฀los ∫฀ ฀฀฀฀฀฀฀ ฀ ฀ ฀฀฀฀ ฀฀

฀฀

puntos A y B. Dicho momento se calcula con respecto al punto B. Por tanto, es igual al ฀฀฀฀ por la distancia desde su centroide hasta producto del área (suma algebraica) del diagrama ฀฀฀฀ ฀฀

el punto B. Teorema: (Segundo teorema de Mohr). Si A y B son dos puntos de la elástica de una viga, la distancia vertical del punto B a la línea tangente a la elástica en otro punto A (tan A) de la elástica, es ฀฀฀฀ igual al momento estático (suma algebraica) del área del diagrama ฀฀฀฀ entre los puntos A y B

calculado con respecto al punto B.

฀฀

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Observaciones al segundo teorema de Mohr: 1. Este teorema también es un teorema relativo, ya que nos proporciona la distancia (δB→tanA) entre dos puntos, en particular, entre un punto B y la tangente a otro punto A de la línea elástica; sin embargo, este teorema no nos proporciona el desplazamiento absoluto del punto B. a. Este teorema será útil cuando la pendiente de la sección A sea cero (por ejemplo, si la sección A es un soporte fijo, entonces la pendiente es ฀฀ = 0 y la tangente a A permanecerá horizontal; otro ejemplo similar es en problemas con simetría geométrica y de cargas donde la pendiente en el eje de simetría también es ฀฀ = 0) o sea conocida. 2. Convención de signos. Tomando como positivo el eje X dibujado en la Fig. 2, un momento ฀฀฀฀ estático total positivo para el diagrama ฀฀฀฀ implica que el punto B de la curva elástica está por ฀฀

encima de la tangente a la curva elástica en el punto A y viceversa (si el momento estático es negativo, entonces el punto B está por debajo de la tangente en A). 3. El segundo teorema de Mohr se aplica solo a vigas de material elástico lineal dado que este teorema se basa en la ecuación diferencial de la línea elástica (en la cual se usa la ley de Hooke válida solo materiales elásticos lineales): a. Observe que la ecuación diferencial de la línea elástica para una viga es una ecuación diferencial lineal. Esto significa que todos los términos que contienen el desplazamiento vertical (y) y sus derivadas están elevadas solamente a la primera potencia. Por lo tanto, las soluciones de la ecuación para diversas condiciones de carga pueden superponerse. Por lo tanto, el desplazamiento vertical (flecha) de la viga provocada por varias cargas que actúan simultáneamente puede encontrarse superponiendo los desplazamientos verticales causados por las cargas actuando por separado. Por ejemplo, si y₁ representa la flecha debida a una carga q₁ y si y₂ representa la flecha debida a una carga q₂, la flecha total producida por q₁ y q₂ actuando simultáneamente es y₁ + y₂. En resumen, como los resultados anteriores (segundo teorema de Mohr) se basan en la ecuación diferencial de la línea elástica, se aplica el principio de superposición.

4.3 Ejemplos resueltos de Teoremas de Mohr Ejemplo 1. La viga en voladizo (soporte fijo en B) se somete a una fuerza vertical P en su extremo libre A. Determine la pendiente y la desviación en A usando los teoremas de Mohr.

Cortando por una sección arbitraria S obtenemos el momento flector, Página 5 de 7

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A partir de dicha expresión podemos determinar el diagrama de momentos flectores que se muestra en la figura siguiente.

La pendiente en A se puede encontrar aplicando el primero teorema de Mohr entre las secciones A y B (dado que se conoce la pendiente en B, ฀฀ B = 0):

Observe que el signo menos indica que la sección A gira en sentido antihorario más que B. Alternativamente, en lugar de calcular la integral, podríamos usar el hecho de que el ángulo relativo ฀฀฀฀ entre las tangentes A y B (es decir, ฀฀ A-฀฀ B) es igual al área (suma algebraica) debajo del diagrama ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀

฀฀

es el triángulo que se muestra en la figura anterior

entre estos dos puntos. Como el diagrama podemos determinar el giro relativo de la sección A con respecto de la B (la cual como sabemos, no gira) como,

Con respecto a la flecha en A, esta se puede determinar aplicando el segundo teorema de Mohr entre las secciones A y B (ya que la pendiente en B es cero, y por tanto, la tangente a la elástica en B coincide con la horizontal),

Observe que el signo menos indica que A está debajo de la tangente a B. Alternativamente, en lugar de calcular la integral, podríamos usar el hecho de que la distancia vertical δA→tanB es igual al ฀฀฀฀ entre los puntos A y B calculado con momento estático (suma algebraica) del área del diagrama ฀฀฀฀ ฀฀ respecto al punto A. El momento estático del diagrama de momentos de flectores (que en este caso es un triángulo) se puede calcular como el producto del área del diagrama de momentos flectores MF −฀฀฀฀ 1 dividido por EIZ (es decir, 2 ฀ ฀ �฀฀฀฀ �) multiplicado por la distancia entre el centroide de este diagrama ฀฀

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y el punto B (en este caso esto la distancia es 3). Por tanto,

Ejemplo 2. Determine la desviación y la pendiente en el extremo libre de una viga en voladizo hecha de IPN 220 utilizando los teoremas de Mohr.

Ejemplo 3. Determine la deflexión y la pendiente en los puntos A y B utilizando los teoremas de Mohr.

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