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GEOMETRÍA ANALÍTICA...

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GUÍA DE ACTIVIDADES Geometría – MTGM01 Material realizado por: Jorge Gaona Catherine Hardy

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Guía de ejercicios MTGM01 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas

Contenido GEOMETRIA ANALITICA......................................................................................................................3 Aprendizaje esperado: Utiliza relaciones entre puntos, ángulos y rectas para resolver problemas geométricos en el plano cartesiano................................................................................................3 PROBLEMA RESUELTO N° 1:........................................................................................................3 EJERCICIOS PROPUESTOS:..............................................................................................................6 SOLUCION:................................................................................................................................10 Aprendizaje esperado: Determina la ecuación de la recta y circunferencia en sus distintas formas de acuerdo a un gráfico y/o condiciones geométricas dadas.......................................................11 PROBLEMA RESUELTO N° 1:......................................................................................................11 EJERCICIOS PROPUESTOS:............................................................................................................14 En los siguientes ejercicios, determinar la alternativa correcta:...............................................17 SOLUCION:................................................................................................................................19 Aprendizaje esperado: Determina la solución de problemas geométricos y físicos relacionados con cónicas mediante gráfica y/o condiciones geométricas dadas...............................................20 PROBLEMA RESUELTO N° 1:......................................................................................................20 PROBLEMA RESUELTO N° 2:......................................................................................................22 EJERCICIOS PROPUESTOS:............................................................................................................26 Soluciones:...............................................................................................................................31

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Guía de ejercicios MTGM01 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas

GEOMETRIA ANALITICA Aprendizaje esperado: Utiliza relaciones entre puntos, ángulos y rectas para resolver problemas geométricos en el plano cartesiano. Recuerda aplicar los siguientes pasos para la resolución de los problemas: a) b) c) d)

Identificación de datos. Estrategia de resolución. Resolución. Comunicación de resultados.

PROBLEMA RESUELTO N° 1: Una empresa de construcción necesita saber la distancia que existe entre la plaza de Punta Arenas y el museo regional para realizar un tendido eléctrico, el cual puede ser aéreo o subterráneo. Suponiendo que el tendido aéreo y el subterráneo tienen el mismo precio por metro, ¿Cuál le convendría a la empresa?

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Guía de ejercicios MTGM01 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas DESARROLLO: a) Identificar de datos: - Distancia entre la Plaza de Punta Arenas y el Museo Regional.

b) Estrategia de resolución: - Se representara la ciudad en un plano cartesiano y se calculara la distancia entre los puntos.

c) Resolver Problema: - Si el tendido es subterráneo la distancia entre la plaza y el museo, se marca en rosa.

- Luego la distancia horizontal se calcula como: 5 – 4 = 1 y la distancia vertical: 4–3 = 1 4

Guía de ejercicios MTGM01 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas - Por lo tanto, si el tendido es subterráneo la distancia entre la plaza y el museo es de 2 [u]. - Ahora, si el tendido es aéreo, la distancia entre la plaza y el museo, se señala en verde:

Recuerda que:

La distancia entre dos puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2), se calcula como:

√

2

2

d PQ = ( x 2− x 1) +( y 2− y 1 )

- Entonces, la distancia aérea se calcula como

d= √ ( 5−4 ) + ( 4−3 ) = √ 2 ≈ 1,4 2

2

- Por lo tanto, si el tendido es aéreo la distancia entre la plaza y el museo es de aproximadamente 1,4 [u].

d) Comunicación de resultados: Como el tendido aéreo y el subterráneo cuestan lo mismo, conviene más el tendido aéreo, ya que la distancia es menor.

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Guía de ejercicios MTGM01 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas

EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Una parcela consta de dos postes de tendido eléctrico, el primero de los postes se encuentra a 10 m al norte de la entrada de la parcela y el último se encuentra a 90 m a la derecha y 130 m hacia el norte. Si necesitamos instalar dos postes entre los que ya existen, considerando que tienen que estar separados por distancias iguales. ¿Dónde deben instalar los nuevos postes? 2. En un predio agrícola se riega una plantación mediante un canal que corre en su interior. En un terreno adyacente dentro del mismo predio existe una cisterna para incrementar el caudal cuando sea necesario. Representa el terreno en un sistema de coordenadas y determina la posición y longitud del conducto que una de la forma más conveniente el canal principal con la cisterna.

200m

160m

40m

220m

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Guía de ejercicios MTGM01 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas 3. En el trazado de una carretera, se desea realizar mejoras al diseño, razón por la cual es necesario conocer las coordenadas del PL. Por la dificultad de encontrar esta coordenada con herramientas de topografía, debido a que la carretera está en funcionamiento, se desea conocer esta coordenada a partir de cuatro puntos conocidos. Determina las coordenadas del punto PL

Punto

Norte

Este

P1

865m

294m

P2

866m

280m

P3

879m

281m

P4

882m

289 m

P3

P4

PL

P2 P1

Rpta: Luego las coordenadas del PI serian, Norte: 868.02m y Este: 251.72m

4. En un levantamiento topográfico se han obtenido los siguientes puntos en coordenadas relativas: Punto

Norte

Este

P1

340

451

P2

391

480

P3

400

700

P4

240

430

P5

340

451

¿Qué figura se formó?, ¿Cuál es su perímetro? 5. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos (-1,1) y (3,1). Hallar las coordenadas del tercer vértice. 6. Sean A(3, 4), B(-2, 6) y C(1, -3) los vértices de un triángulo. Determine:

7

Guía de ejercicios MTGM01 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas a) El perímetro del triángulo ABC. b) Clasifique el triángulo en equilátero, isósceles o escaleno. c) Determine los puntos medios de los lados del triángulo. 7. Los vértices de un triángulo son los puntos (1,-2), (4,-2) y (4,2). a) Determinar las longitudes de los lados del triángulo. b) Clasificar el triángulo. c) Calcular el perímetro del triángulo. d) Calcular el área del triángulo. 8. Los vértices de un cuadrilátero son A(4,5); B(-2, 4); C(-3, 2) y D(2, -3). Calcule el perímetro del cuadrilátero 9. Hallar un punto del plano cartesiano, que equidiste de los puntos A(−4, 3), B(4, 2) y C(1,−1). 10. Los extremos de un segmento son los puntos (7,4) y (-1,-4). Hallar la razón en que el punto (1,-2) divide al segmento. 11. Los extremos de un trazo tienen por coordenadas los puntos A (−3, −4), B (5, 2). Hallar las coordenadas del punto que lo divide interiormente en la razón -3/4. 12. Hallar los ángulos interiores del triángulos cuyos vértices son los puntos A(-2, 1), B(3, 4) y C(5, -1).

En los siguientes ejercicios, determinar la alternativa correcta: 13. La distancia entre los puntos P y Q donde P (-4, 7) y Q(1, -5) es: a) 5 b) 8 c) 12 d) 13 14. De las siguientes rectas, la que es paralela con 3x + 4y = 12 es:

8

Guía de ejercicios MTGM01 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas a)

4 y= x +2 3

b)

y=4 x+5

c)

y=

−3 x +4 4

d)

y=

−4 x−5 3

15. El punto medio de un trazo es (3,7) y uno de los extremos es (10,4). Determina el otro extremo a) (4,-10) b)

( 132 , 112 )

c)

( 72 , 23)

d) (-4, 10) 16. Determine el ángulo que se forma entre las rectas -3x + y -1 = 0 y 2x - 4y – 8 = 0. a) 45º b) 54º c) 78º d) 135º

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Guía de ejercicios MTGM01 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas SOLUCION: 1. C(30, 50) y D(60, 90)

c) 12 [u] d) 6 [u2]

2. (108.95, 209.65), 85.18m 3. 300 N 200E; 360.55 m 4. 868.02m N 251.72m E

9.

P ≈23,64

10.

( 181 , 5318 )

5. Cuadrilátero, 694.88[u]

( 1,1 + 2 √ 3 ) ó ( 1, 1−2 √ 3 )

6. 7. a)

P ≈22,15

b) Escaleno

11. 2 12. (-27, -28) 13. 80.8º, 46.9º y 52.3º 14. D

c)

( 2.5,5) , ( 2,− 0.5 ) y (−0.5, 1.5) 8. a) 3, 4 y 5 b) Rectángulo

15. C 16. D 17. A

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Aprendizaje esperado: Determina la ecuación de la recta y circunferencia en sus distintas formas de acuerdo a un gráfico y/o condiciones geométricas dadas. PROBLEMA RESUELTO N° 1: Se quiere construir un carrusel para niños entre 4 y 14 años, cuya base tenga un radio de 2,5 metros y sobre la cual se ubiquen 8 asientos a una distancia de 1,57 metros entre cada uno, ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que representa la ubicación de los asientos?

DESARROLLO: En la resolución de problemas es fundamental el trabajo paso a paso, es por eso que se recomienda la utilización de la estructura que aparece en el siguiente cuadro: Recuerda aplicar los siguientes pasos para la resolución de los problemas: a) b) c) d)

Identificación de datos. Estrategia de resolución. Resolución. Comunicación de resultados.

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Guía de ejercicios MTGM01 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas a) Identificar Datos: - Radio de la circunferencia que forma la base del carrusel. - Distancia de separación entre los asientos del carrusel.

b) Estrategia de resolución: - Representar la base del carrusel. - Determinar la ecuación de la circunferencia que representa la base del carrusel. - Determinar el radio de la circunferencia que contiene a los asientos. - Determinar la ecuación de la circunferencia que contiene a los asientos.

c) Resolver Problema: - La base del carrusel, se representa continuación:

Recuerda que:

La ecuación de la circunferencia cuyo centro es (h, k) y radio es r, se expresa como:

( x−h) 2 +( y−k ) 2=r 2 - En el problema se dice que el radio de la base mide 2,5 metros. Supongamos que la circunferencia esta centrada en el origen, por lo tanto, la ecuación de la circunferencia que representa la base del carrusel es:

x 2+ y 2 =6,25

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Guía de ejercicios MTGM01 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas - Como los asientos se encuentran a 1,57 metros y son ocho asientos, podemos determinar el perimetro de la circunferencia que los contiene:

P=1,57 · 8=12,56

- Ahora podemos determinar el radio de dicha circunferencia.

12,56=2 π r r≈2

- Como ambas circunferencias son concentricas y ya determinamos el radio de la circunferencia que contiene a los asientos, podemos expresar su ecuación como:

x 2+ y 2 =4 d) Comunicación de resultados: La ecuación de la circunferencia que representa la ubicación de los asientos es 2 2 x + y =4 .

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EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Un predio agrícola se riega mediante un canal de regadío, para optimizar el riego se desea construir otro canal paralelo al primero y cuya distancia de separación entre ambos sea de 120 m. Al medir el ángulo de inclinación del canal de regadío con el límite sur del predio se obtuvo un ángulo de 27º. ¿Cuál es la ecuación de la recta que permite a los trabajadores hacer marcaciones para construir el nuevo canal de regadío?

27º 2. Se debe construir la estructura de la techumbre de un galpón, el cual por especificaciones técnicas, requiere que los perfiles AB y CD sean perpendiculares en B . Determina la longitud del perfil AB y la distancia entre los apoyos D y B .

3. Se tiene que trazar una línea divisoria de un terreno de modo tal que los terrenos resultantes tengan aéreas A 1 y A 2 en la razón 1:2. La siguiente tabla indica las coordenadas de los vértices del cuadrilátero que representa el terreno todo en metros y con el origen en A (0,0)

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Guía de ejercicios MTGM01 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Punt o

Coordenada eje x

Coordenada eje y

A

0m

0m

B

550m

0m

C

480m

365m

E

105m

412m

´ ´ y EC que permitan calcular las Determina las ecuaciones de las rectas AD coordenadas exactas del punto D que permite trazar la nueva línea divisoria. 4. Se realizara el loteo de un terreno que tiene la forma de un cuadrilátero con vértices ABCD . La subdivisión será en tres lotes de igual área. El loteo se realizara mediante líneas de división paralelas al lindero AD . La siguiente tabla indica las coordenadas de los vértices del terreno. Punt o

Coordenada eje x

Coordenada eje y

A

0m

0m

B

1000m

0m

C

784m

725m

D

218m

582m

Determina las ecuaciones de las rectas paralelas al deslinde AD que permitan hacer los loteos pedidos y las coordenadas de sus intersecciones con los deslindes. 5. Se tiene un terreno con forma de trapecio que tiene vértices A , B , C y D donde AB ∥CD y se quiere subdividir en dos lotes que tengan aéreas A 1 y A 2 en la razón 2:3. Si F debe ser el punto medio del deslinde AB , determina las coordenadas del punto E en el deslinde CD , que permite trazar la línea de división que hace la partición deseada.

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6. Si L1 pasa por (4,0) y (0,3) y L2 pasa por (1,0) y es perpendicular a L 1, entonces la ecuación general de L2 es: 7. Sean A(3,4), B(-2,6) y C(1,-3) vértices de un triángulo, determina la ecuación principal de la recta que pasa por el punto medio del segmento AB y que además es perpendicular a la recta 2x – 3y + 4 = 0. 8. Determine la ecuación general de la recta, representada a continuación:

9. Hallar la ecuación general de la circunferencia que tiene por centro (2, 3) y pasa por (3, -2) 10.Hallar la ecuación general de la circunferencia sabiendo que los puntos A(3, 8) y B(−3, 0) son los extremos de un diámetro. 11.Determina la ecuación general de la circunferencia, representada a continuación.

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12.Una red ramificada de distribución de agua, tiene la siguiente forma que indica el esquema. Los puntos a donde llega el agua a cada manzana tienen las coordenadas relativas que están en la tabla.

Clientes

Coordenada Este

Coordenada Norte

M1

155m

10m

M2

184m

98m

M3

67m

142m

M3

M2 R

M1

En los siguientes ejercicios, determinar la alternativa correcta: 13.La ecuación de la recta que pasa por los puntos P(1, -1) y Q(-5,8) es: a) y = -2x + 3 b) y = 3x - 2 c) y = -1,5x + 0,5 d) y = 2x – 3

14.La pendiente del segmento

PQ

donde P(-1, 3) y Q(3, 2) es: :

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Guía de ejercicios MTGM01 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas a) 5/4 b) 2/3 c) – 4/5 d) – ¼

15.El centro de la circunferencia de ecuación

2 2 x + y −8 x +10 y +3=0 es:

a) (4, -5) b) (16,36) c) (-2, 3) d) (-4, 6) 16. El radio de la circunferencia de ecuación

2 2 x + y + 4 x −2 y −4=0 es:

a) 9 b) 6 c) 4 d) 3

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Guía de ejercicios MTGM01 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas SOLUCION: 1. Y = 0,51 x - 120

8. 3x – y -4 = 0

2.

DB=1.34 m , AB=2.68 m

9.

x 2+ y 2 −4 x−6 y −13=0

3.

CE: y =−0.13 x+ 425.16 ,

10.

x + y −8 y −9 =0

4.

Los puntos que definen los nuevas líneas divisorias son: en

11.

x 2+ y 2 −4 x +6 y +9=0

AB(275.22m , 0 m),(520.64 m ,0 ,

en

DC (521.41 m, 657.27 m) , BC (787.17 m ,711.57 m)

en 5.

(66.44 m ,235.95 m )

6. 3x + 4y – 3 = 0 7.

y=

23 −3 x+ 4 2

2

2

12. Ramificación en N 108.27m E 74.18m las conexiones miden 79.39m 13. C 14. D 15. A 16. D

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Aprendizaje esperado: Determina la solución de problemas geométricos y físicos relacionados con cónicas mediante gráfica y/o condiciones geométricas dadas. PROBLEMA RESUELTO N° 1: La figura muestra el corte longitudinal de un anfiteatro que contempla graderías y un escenario con una concha acústica de la cual tendrá una forma parabólica para aprovechar sus propiedades geométricas, las cuales permiten “ordenar” sobre las graderías, el sonido emitido por el interprete como muestra la figura. Determina la altura de los pilares A, B, C, y D asumiendo la mencionada forma parabólica.

D

C

B A 1.8m mm 5m

5m

5m

5m

DESARROLLO: Lugares geométricos y propiedades de las cónicas: En muchos problemas en los que se aplican cónicas a problemas prácticos, más que su lugar geométrico, es conveniente considerar las curvas desde la perspectiva de sus propiedades. Por ejemplo, las parábolas se utilizan frecuentemente en aplicaciones acústicas y ópticas por su propiedad de concentrar en la posición del foco toda onda que se desplacen en forma perpendicular a la directriz y que se reflecte en la superficie parabólica. El siguiente planteamiento ilustra esta situación desde el punto de vista del sonido.

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Guía de ejercicios MTGM01 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas a) Identificar Datos: - Las posiciones de las bases de los pilares serán los valores de

x en la ecuación x 1=0, x 2=5, x 3=10, x 4=15, x 5=20 .

de la parábola a utilizar a saber

-

La posición del foco de la parábola estará en las coordenadas

10,1.8 ( ¿)

b) Estrategia de resolución: - Para interpretar la forma de la concha acústica y debido a la posición horizontal del eje focal de la parábola, utilizaremos la ecuación

( y−k ) 2=4 p ( x−h ) -

Reconocemos las coordenadas del foco y el vértice para establecer definitivamente la ecuación.
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