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21/1/2021

Límites y continuidad de una función

2. Límite de una función y teoremas sobre límites 2.1. Límites unilaterales 2.2. Límites bilaterales 2.3. Límites al infinito 2.4. Límites infinitos El concepto de infinito siempre ha sido polémico en las disciplinas del conocimiento humano, por ello han sido muchos los científicos, filósofos, religiosos y artistas que a lo largo de la historia han intentado dar respuesta a una sencilla pregunta:

¿Qué es el infinito? Desde filósofos griegos hasta matemáticos modernos han escrito muchas definiciones al respecto, pero quizás una de las más famosas se resume en la siguiente anécdota: En una ocasión al célebre matemático español Julio Rey Pastor se le preguntó su punto de vista respecto a la forma de definir y representar correctamente el infinito. A lo que respondió: Para mí el infinito comienza a partir de mil pesetas, haciendo referencia al bajo sueldo que ganaba como profesor (Alsina, 2009, p. 158).

Figura 3. Uveg, 2010.

Lectura Como podrás darte cuenta, cada persona desarrolla un concepto de límite de acuerdo a su situación particular. Revisa la siguiente lectura para que conozcas cuál es el significado particular del infinito en el cálculo diferencial y revises los aspectos fundamentales de los límites: las condiciones necesarias para que exista un límite, las formas de evaluarlos y los casos especiales que involucran el concepto de infinito. Límites

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Límites Por: Oliverio Ramírez y Felipe de la Rosa

Concepto informal de límites

Un ama de casa acostumbra comprar detergente líquido en un tianguis cercano para las necesidades semanales de su hogar. Las últimas siete semanas ha comprado diferentes cantidades de acuerdo a su presupuesto, tal como se muestra en la tabla 1.

Figura 1. Laundry Bottle Isolated Stock Photo ( vectorolie & freedigitalphotos, 2013).

Semana 1 2 3 4 5 6 7 8

Gasto (en pesos) 30 34 37 38 42 46 50 40

Volumen (en litros) 2.25 2.89 3.42 3.61 4.41 5.29 6.25 ¿?

Tabla 1. Valores de gasto y volumen por semana.

Si en la semana 8, el ama de casa cuenta con 40 pesos para comprar detergente, ¿cuántos litros aproximadamente crees que alcanzará a comprar? Para responder la pregunta:

1 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

Observa los valores de la tabla 1 e identifica la tendencia que existe en las cantidades mostradas. Si miras con detenimiento, es posible notar que entre más nos acercamos a la cantidad de 40 pesos, también nos aproximamos al volumen de cuatro litros. Esta idea básica de tendencia es la base fundamental para poder comprender el concepto de límite. Al representar gráficamente la información de la tabla 1, podemos notar que:

Figura 2. Comportamiento del gasto vs volumen.

Al acercarnos al valor de $40.00: • •

Desde la izquierda (→) vemos que los valores de la función empiezan a incrementarse hasta aproximarse a 4. Al acercarnos al valor de $40.00 desde la derecha (←) vemos que los valores de la función empiezan a disminuir hasta aproximarse también a 4.

Es entonces que decimos que el límite del volumen de detergente cuando el gasto tiende (se aproxima) a 40 pesos es 4 litros.

2 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

Notación matemática de límites Antes de conocer el concepto formal de límite, resulta necesario estudiar los diferentes símbolos matemáticos que se utilizan para expresar límites de funciones matemáticas, para lo que utilizaremos la notación sugerida por Oyteza, Lam, Hernández y Carrillo (2006).

Al evaluar el límite de una función desde la derecha (←) de la recta numérica, utilizamos la siguiente expresión:

lim ฀฀(฀฀) = ฀฀

฀฀→฀฀ +

Que se lee: El límite de la función f(x) cuando x tiende a a por la derecha es igual a L. En este caso, el símbolo derecha.

+

significa la tendencia desde la

Al evaluar el límite de una función desde la izquierda (→), utilizamos la siguiente expresión:

lim ฀฀(฀฀) = ฀฀

฀฀→฀฀ −

Que se lee: El límite de la función f(x) cuando x tiende a a por la izquierda es igual a L. En este caso, el símbolo izquierda.

–

implica la tendencia desde la

Con estos símbolos matemáticos es posible representar el caso de la compra de detergente de la siguiente forma: lim

฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀→40+

฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ = 4

lim ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ = 4

฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀→40−

Interesante, ¿no crees?

3 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

Concepto formal de límite

De forma general podemos decir que límite es el valor al que se aproxima la función f(x) al evaluarla en cantidades muy cercanas (por la derecha y por la izquierda) a una cierta constante (Purcell, Varberg y Rigdon, 2001).

Así pues para que un límite exista y pueda ser evaluado deben cumplirse dos condiciones: lim ฀฀(฀฀) = ฀฀

lim฀฀(฀฀) = ฀฀

฀฀→฀฀ +

฀฀→฀฀ −

En palabras sencillas, un límite existe sí y sólo sí ambos límites laterales existen y son iguales.

Ejemplo 1: Cálculo de límites usando tablas

Utilizando la información de la tabla 2, determina el valor de

lim f ( x) x→1

x

0.6

0.7

0.8

0.9

0.95

1.05

1.1

1.2

1.3

1.4

f(x)

1.6

1.7

1.8

1.9

1.95

2.05

2.1

2.2

2.3

2.4

Por la izquierda

2

Por la derecha

Tabla 2. Límite de la función f(x).

Al analizar el comportamiento de los valores en la tabla 2 se observa que cuando la variable independiente x se aproxima a 1 por la izquierda (0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 0.95…), la función f(x) toma valores (1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 1.95) que se aproximan a 2. Con base en los valores de la tabla 2 es posible establecer que:

De la misma forma se observa que cuando la variable independiente x se aproxima a 1 por la derecha (1.4, 1.3, 1.2, 1.1 1.05…), la función f(x) toma valores (2.4, 2.3, 2.2, 2.1, 2.05) que se aproximan también a 2. Con base en los valores de la tabla, es posible establecer que:

4 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

Debido a que ambos límites existen y son iguales, se puede concluir que el límite bilateral (por ambos lados) es:

Esto es, el límite de f(x) cuando x tiende a 1 es igual a 2. Nota que en este ejemplo la función f(x) se representó mediante una tabla de valores, pero también se puede hacer mediante una gráfica o de manera algebraica. En algunos casos, ciertos fenómenos o situaciones tienen comportamientos definidos sólo en intervalos particulares, pero se comportan de manera distinta en otro intervalo de su dominio, por ejemplo:

Imagina un automóvil que parte del reposo e incrementa su velocidad hasta alcanzar los 100 km/h pero al llegar a esta cota de velocidad el conductor decide mantener la velocidad constante. Este comportamiento se puede representarse mediante la siguiente función:

Figura 3. Senior Woman Driving A Car On Highway Stock Photo (Toa55 & freedigitalphotos, 2011).

Función

Gráfica ฀฀฀฀฀฀ para 0 ≤ ฀฀ ≤ 10

฀฀(฀฀)= ฀฀฀฀฀฀

para ฀ ฀ > 10

Tabla 3. Función seccionada.

Observa que para representar la rampa azul (instantes en los que el conductor aumenta su velocidad de manera gradual) f(x) = 10x, pero esto sólo es válido para valores de x en el intervalo [0, 10], que en la función se representó usando el signo ≤. Luego, en el instante en el que el conductor alcanzó la 5 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

velocidad de 100 km/h y mantuvo constante su velocidad (línea en verde) f(x) = 100, válido para valores de x mayores a 10. A este tipo de funciones que se representan por secciones en concordancia con intervalos particulares de su dominio se le conoce como funciones seccionadas. En el ejemplo 2, utilizamos una función seccionada para ejemplificar el cálculo de límites mediante el análisis de la gráfica de la función.

Ejemplo 2: Cálculo de límites usando gráficas Considerando la siguiente función seccionada y su gráfica, determina el límite cuando x tiende a los valores: a) x = - 3, b) x = 9 y c) x = 12

x2 20

x...