Teoremas sobre límites PDF

Preview

Summary

Apunte sobre los teoremas fundamentales de los límites, incluye LHopiltal...

Description

Teoremas sobre límites Teorema Unicidad del límite de una función Si una función tiene límite es único. H) Existe limx->af(x)=b T) b es único Demostración La demostración se hace por reducción al absurdo. Suponemos que f(x) tiene dos límites distintos b y c, cuando x tiende a a. Suponemos que b > c. limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo Eb,ε existe un E*a,δ1 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 f(x) pertenece al Eb,ε. limx->af(x)=c => (por def. de límite) para todo Ec,ε existe un E*a,δ2 / para todo x perteneciente al E*a,δ2 f(x) pertenece al Ec,ε. Consideremos un ε tal que Eb,ε ∩ Ec,ε = Ø.

Queremos que c+ε < b-ε => ε < (b - c)/2 Sea δ = min {δ1,δ2} Para todo x perteneciente al E*a,δ se cumple

 

f(x) pertenece a Eb,ε f(x) pertenece a Ec,ε

Absurdo, pues f(x) no puede pertenecer a dos entornos disjuntos. Absurdo de suponer b ≠ c. Por lo tanto b = c.

Definición Límites laterales Límite de f(x) en el punto a por la derecha : limx->a+f(x)=b para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ) |f(x) b| < ε. Límite de f(x) en el punto a por la izquierda : limx->a-f(x)=b para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) |f(x) - b| < ε. Nota: x->a+ indica que x tiende a a por la derecha, es decir que x pertenece al entorno (a,a + δ). x->a- indica que x tiende a a por la izquierda, es decir que x pertenece al entorno (a - δ,a). A veces las funciones son discontinuas o no están definidas en un punto a, pero son continuas a uno y otro lado. En estos casos, el límite por la izquierda puede ser distinto del límite por la derecha.

Ejemplo f(x) =

x2 si x 2

limx->2-f(x)=4 limx->2+f(x)=-3 No existe limx->2f(x)

Teorema Existe el límite finito de una función los límites laterales son iguales. H) limx->af(x)=b T) limx->a+f(x) = limx->a-f(x) = b Demostración: Directo: limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) pertenece al Eb,ε. => para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) f(x) pertenece al Eb,ε => (por def. de límites laterales) limx->a-f(x)=b. y para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ) f(x) pertenece al Eb,ε => (por def. de límites laterales) limx->a+f(x)=b. Recíproco: limx->a+f(x)=b => (por def. de límites laterales) para todo ε > 0 existe δ1 > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ1) f(x) pertenece al Eb,ε. limx->a-f(x)=b => (por def. de límites laterales) para todo ε > 0 existe δ2 > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ2,a) f(x) pertenece al Eb,ε. Sea δ = min {δ1,δ2} Para todo x perteneciente a E*a,δ f(x) pertenece al Eb,ε. => (por def. de límite) limx->af(x) = b. Ejemplo: en la función del ejemplo anterior, no existe limx->2f(x), pues limx->2-f(x) ≠ limx>2+f(x).

Teorema Conservación del signo Para valores de x suficientemente próximos al valor de tendencia, la función tiene el mismo signo que su límite. H) limx->af(x)=b > 0 T) Existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) > 0 Demostración:

limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) pertenece al Eb,ε. Es decir, b - ε < f(x) < b + ε. Consideremos ε < b => 0 < b - ε < f(x) => f(x) > 0. Así, basta considerar un ε menor que b, para tener un entorno de a donde f(x) es mayor que 0.

Nota: El teorema también se cumple para valores negativos. Si la función tiene distinto signo en la mitad izquierda del entorno de a que en la mitad derecha, entonces su límite en a vale 0.

Teorema de la función comprendida Si una función está comprendida entre otras dos que tienen igual límite cuando x tiende a a, entonces tiene el mismo límite. H) limx->af(x) = limx->ag(x) = b Existe δ1 > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 f(x) af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ2 > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ2 b - ε < f(x) < b + ε. limx->ag(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ3 > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ3 b - ε < g(x) < b + ε. Sea δ = min {δ1,δ2,δ3} Para todo x perteneciente al E*a,δ b - ε < f(x) ah(x) = b.

Teorema de la acotación Si una función tiene límite finito cuando x tiende a a, entonces está acotada en un entorno reducido de a. H) limx->af(x)=b T) Existe δ > 0 y existen h y k reales / para todo x perteneciente al E*a,δ h < f(x) < k Demostración. limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ b - ε < f(x) --^-h cota inferior

<

b + ε --^-k cota superior

Nota: también podemos expresar la tesis como: Existe δ>0 y existen h y k reales positivos / para todo x perteneciente al E*a,δ h < |f(x)| < k

Límite de una función Saltar a: navegación, búsqueda

El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático, un caso de límite aplicado a las funciones. Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, independientemente de lo que ocurra en c.

Índice  

 

  

1 Historia 2 Definición formal o 2.1 Funciones de variable real  2.1.1 Límites laterales o 2.2 Funciones en espacios métricos 3 Unicidad del límite 4 Propiedades de los límites o 4.1 Propiedades generales o 4.2 Indeterminaciones o 4.3 Regla de l'Hôpital o 4.4 Límites trigonométricos  4.4.1 Demostraciones 5 Véase también 6 Referencias 7 Enlaces externos

Historia Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.1 Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática.2 La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 18603 y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites. La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debida a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.2

Definición formal Funciones de variable real

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Si la función tiene límite

en podemos decir de manera informal que la función tiende

hacia el límite cerca de si se puede hacer que esté tan cerca como queramos de haciendo que esté suficientemente cerca de siendo distinto de . Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo existe un tal que para todo número real x en el dominio de la función . Esto, escrito en notación formal:

Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino, la precisión con la que queda definido el concepto de límite. Esta notación es tremendamente poderosa, pues, nos dice que si el límite existe, entonces se puede estar tan cerca de él como se desee. Si no se logra estar lo suficientemente cerca, entonces la elección del δ no era adecuada. La definición asegura que si el límite existe, entonces es posible encontrar tal δ. No obstante, hay casos como por ejemplo la función de Dirichlet como:

definida

donde no existe un número c para el cual exista . Por lo tanto, para demostrar la anterior afirmación es necesario hacer uso del hecho de que cada intervalo contiene tanto números racionales como irracionales. Límites laterales

El límite cuando: x → x0+ ≠ x → x0-. Por lo tanto, el límite cuando x → x0 no existe.

De manera similar, x puede aproximarse a c tomando valores más grandes que éste (derecha):

o tomando valores más pequeños (izquierda), en cuyo caso los límites pueden ser escritos como:

Si los dos límites anteriores son iguales:

entonces L se pueden referir como el límite de f(x) en c. Dicho de otro modo, si estos no son iguales a L entonces el límite, como tal, no existe.

Funciones en espacios métricos

Existe otra manera de definir el límite que tiene que ver con el concepto de bolas y entornos: Supóngase f : (M, dM) → (N, dN) es mapeado entre dos espacios métricos, c es un punto límite de M y L∈N. Se dice que "el límite de f en c es L" y se escribe:

si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 < dM(x, c) < δ, tenemos dN(f(x), L) < ε. En términos de desigualdades, tenemos que el límite de la función f(x) en x = c es L si se cumple que para todo ε > 0 existe un δ(ε) > 0 tal que, para todo x: si

, entonces

De la desigualdad 0 < | x - c | < δ se obtiene lo siguiente: 1. x pertenece a la vecindad ( c - δ , c ) U ( c, c + δ ). 2. x no es igual a c, pues 0 < | x - c | implica x distinto de c. 3. La solución de | f(x) - L | < ε pertenece al intervalo ( L - ε , L + ε ).

Esto proporciona la clave de comprensión del concepto de límite, pues mientras que el valor de x está en la vecindad horizontal alrededor del punto c y agujereada en c con radio delta y centro c, aun cuando en ese punto c no esté definida, el valor de y está en el intervalo vertical con centro en f(c) y radio épsilon.

Unicidad del límite Teorema. Si el límite de una función existe, entonces es único. Este teorema es válido en espacios topológicos Hausdorff.4 Supóngase que

y también que

siendo L y L'

distintos; se debe de comprobar que no puede ser que verificándose la definición de límite. Para ello se toma un entorno E de L y un entorno E' de L' que no se intersequen. Por definición de límite para todo x en algún entorno agujereado de c, por lo que no puede estar en E', evitando que el límite sea L'.

Propiedades de los límites

Propiedades generales Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las siguientes propiedades: Límite de

Expresión

Una constante La función identidad El producto de una función y una constante Una suma Una resta Un producto

Un cociente

Una potencia Un logaritmo El número e Función f(x) acotada y g(x) infinitesimal

.

Indeterminaciones Véase también: Forma indeterminada.

Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las siguientes (considere como el límite que tiende a infinito y al límite cuando tiende a 0; y no al número 0): Operación

Indeterminación

Sustracción Multiplicación División Elevación a potencia Ejemplo.

0/0 es una indeterminación, es decir, no es posible, a priori, saber cual es el valor de un límite que tiende a cero sobre otro que también tiende a cero ya que el resultado no es siempre el mismo. Por ejemplo:

Regla de l'Hôpital Artículo principal: Regla de l'Hôpital.

Esta regla hace uso de la derivada y tiene un uso condicional. Ésta sólo puede usarse directamente en límites que son «igual» a 0/0 o a ±∞/±∞. Otras formas indeterminadas requieren alguna manipulación algebraica, por lo general, establecer que el límite es igual a y, tomar el logaritmo natural en ambos miembros, y entonces aplicar la regla de l'Hôpital.



Por ejemplo:

Límites trigonométricos

1. 2. 3.

4. 5.

Demostraciones Algunas demostraciones, por ejemplo, el segundo de estos límites trigonométricos, se utilizará la inecuación sin(x) < x < tan(x) en el intervalo (0,π/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente. Luego dividimos por sin(x), obteniendo:

Invirtiendo los términos de la inecuación y cambiando los signos de desigualdad:

Calculando el límite cuando x tiende a 0:

Lo que es igual a:

Aplicando el teorema del sándwich o teorema de estricción, el límite necesariamente vale 1:

El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades de los límites y el valor obtenido en el límite anterior. Es decir:...