Teoremas del círculo PDF

Preview

Summary

Aproximación a la geometría...

Description

La circunferencia

1 LA CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es el lugar geométrico de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia de un punto de la circunferencia al centro se llama radio. ANGULO CENTRAL: Es un ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia. AB o que el  AOB es un ángulo central y se dice que intercepta el arco  arco subtiende al ángulo.  AB se llama arco menor  BCA se llama arco mayor.

Un ángulo central mide lo mismo que el arco que subtiende (en grados)  m AOB POSTULADO DE LA ADICION DE ARCOS.

 m AC





TEOREMA Si dos ángulos centrales de la misma circunferencia o de circunferencias congruentes son congruentes entonces sus arcos interceptados son también son congruentes. HIPOTESIS: AOB   TESIS: m AB



 1. m(  AOB) = m AB

1. Por ser un ángulo central

 2. m(  COD) = m CD

2. Por ser un ángulo central

3. m(  AOB) = m(  COD)   4. m AB

3. De hipótesis 4. De 1, 2, 3 Propiedad transitiva

La circunferencia

2

ANGULO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA

DEFINICION: Una cuerda de una circunferencia es un segmento de recta que tiene sus extremos sobre la circunferencia. Un diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia TEOREMA La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad de la medida del arco interceptado CASO 1. Cuando uno de los lados es un diámetro. HIPOTESIS:  ACB es un ángulo inscrito O centro de la circunferencia CB es un diámetro  m AB

TESIS: m ACB 1. Se traza AO 2. OA OC 3. m(



4. m(  AOB) = m(arco AB)  5. m(  AOB) = m( 6. m( AOB) AB ) 7. m ( 

 m(  AB ) 2

2

1. Construcción 2. Los radios de una circunferencia son congruentes 3. De 2. En un triangulo a lados congruentes se oponen ángulos congruentes 4. Por ser AOB un ángulo central 5. Un ángulo exterior de un triangulo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a el. 6. Sustitución de 3 en 5. 7. Sustitución de 4 en 6 y algebra.

CASO 2: Cuando el centro de la circunferencia está en el interior del ángulo. HIPOTESIS: Circunferencia de centro O  ACB es un ángulo inscrito.  m AB

TESIS: m ACB

2

La circunferencia

3 1. Construcción 2. De 1, caso 1.

1. Se traza el diámetro CD m(  AD) 2. m (ACD ) 2  m( DB) 3. m (DCB ) 2 ) m ( AD 2

4. m (ACD ) m DCB 5. m (ACB )

3. De 1, caso 1 4. Adición de 2 y 3

) m( DB 2

5. De 4. Adición de ángulos y de arcos.

) m( AB 2

CASO 3: Cuando el centro de la circunferencia está en el exterior del ángulo. HIPOTESIS: Circunferencia de centro O  ACB es un ángulo inscrito.  m AB

TESIS: m  ACB

1. Se traza el diámetro CD

1. Construcción 2. De 1. Caso 1

m  AD 2. m ACD

3. m BCD

2  m BD

3. De 1. Caso 1

2

4. m(  ACB) = m(  ACD) – m(  BCD) 5. m ACB

6. m  ACB

2

m  AD

 m BD

2 m  AB

2

4. Resta de ángulos 5. Sustitución de 2 y 3 en 4.

6. De 5. Resta de arcos.

2

COROLARIO 1.

CD es un diámetro Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto

La circunferencia

4

COROLARIO 2:

C  Los ángulos inscritos en el mismo arco son congruentes

COROLARIO 3: Rectas paralelas determinan arcos congruentes.     AD  BC

TEOREMA: En una circunferencia o en circunferencias congruentes, cuerdas congruentes tienen arcos congruentes. HIPOTESIS: O es el centro de la circunferencia; CD  TESIS: m CD



1. OA

1. Son radios de la misma circunferencia

2. AB 3. AOB COD 4. m (  AOB) = m (  COD)

2. De hipótesis

5. m (  AOB) = m (arco AB) y m (  COD) = m (arco CD) 6. m (arco AB) = m (arco CD)

3. De 1 y 2. L – L – L 4. De 3. Son ángulos correspondientes en triángulos congruentes 5. Son ángulos centrales 6. De 4 y 5. Propiedad transitiva.

TEOREMA. RECIPROCO DEL ANTERIOR. En una circunferencia, arcos congruentes tienen cuerdas congruentes. (Demostrarlo) TEOREMA Una recta que pasa por el centro de una circunferencia y es perpendicular a una cuerda, biseca a la cuerda y a su arco. HIPOTESIS: O es el centro de la circunferencia

AB es una cuerda  CO O–M–C

La circunferencia

5

1) AM TESIS:

AC 2)m 



1. OA 2. AOB es isósceles

1. Son radios de la misma circunferencia

3. OM

2. De 1. Definición de triangulo isósceles. 3. De hipótesis

4. OM es altura sobre la base

4. De 3. Definición de altura.

5. OM es mediana

5. De 4 y 2. En un triangulo isósceles la altura sobre la base es también mediana 6. De 5. Definición de mediana

6. AM 7. OM es bisectriz de AOB 8. m(  AOC) = m(  BOC)

m AOC

 m AC

m BOC

 m CB

9.

AC 10. m 



7. De 4, 5, 2. En un triangulo isósceles la mediana sobre la base es bisectriz. 8. De 7. Definicion de bisectriz 9. Por ser ángulos centrales

10. De 8 y 9. Propiedad transitiva.

TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR) Si una recta pasa por el centro de una circunferencia y biseca una cuerda, que no sea un diámetro, entonces es perpendicular a la cuerda. HIPOTESIS: Circunferencia de centro O; AM  TESIS: OM

COROLARIO: La mediatriz de una cuerda de una circunferencia, pasa por el centro de la circunferencia. Nota: Este corolario sirve para hallar el centro de una circunferencia cuyo dentro no conocemos. (Por ejemplo el de una mesa circular)

La circunferencia

6

TEOREMA En una circunferencia, cuerdas congruentes equidistan del centro. HIPOTESIS: AB TESIS: OE

1. Construcción

1. Se traza OE 2. E y F son puntos medios

2. De 1. Una recta que pasa por el centro y es a una cuerda la biseca. 3. De hipótesis

3. AB

4. De 2 y 3. Por ser mitades de segmentos congruentes. 5. Por ser radios de la misma circunferencia.

4. EB 5. OC 6.

6. De 1, 4, 5. Por ser triángulos rectángulos con un cateto y la hipotenusa s 7. De 6. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.

7. OE

TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR) En una circunferencia, las cuerdas equidistantes del centro son congruentes. DEFINICION: Una tangente a una circunferencia es una recta que “toca” a la circunferencia en un solo punto. TEOREMA Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado hacia el punto de tangencia.  HIPOTESIS: AB es tangente a la circunferencia de centro O, en el punto C. TESIS: OC



La demostración se hace por reducción al absurdo.  1. Negación de la tesis 1. AB no es a OC



2. Por O se traza una recta a AB en el punto D 3. En AB existe un punto E tal que

CD

e traza OE

2. Por un punto exterior de una recta se puede trazar una a dicha recta. 3. Construcción

La circunferencia

4.

7

COE es isósceles

4. De 2 y 3. OD es mediana y altura 5. De 4. Definición de triangulo isósceles.

5. OC 6. OE es radio y E pertenece a la circunferencia 7. La intersección de la circunferencia con

6. De 5 y de hipótesis. Definición de circunferencia. 7. De hipótesis y de 6 y 3

la intersección de la AB es el punto C y  circunferencia con AB también es el punto  E. 8. De 7 8. AB corta a la circunferencia en dos puntos C y E  9. De 8. Definición de tangente 9. AB  no es tangente 10. De hipótesis 10. AB es tangente 11. Contradicción 11. De 9 y 10. Luego como hay una contradicción, al suponer que el radio no era tangente, entonces

 AB

COROLARIO 1 Si una recta es perpendicular a una tangente en el punto de tangencia, entonces esa recta pasa por el centro de la circunferencia COROLARIO 2 Un radio es perpendicular a una tangente en su punto de tangencia. TEOREMA Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos tangentes a la circunferencia, se determinan segmentos congruentes y también se forman ángulos congruentes con la recta que pasa por el punto exterior y por el centro de la circunferencia.   HIPOTESIS: O es el centro de la circunferencia. PB y PA son tangentes

TESIS: 1) PB 2) BPO 1. OB

y OA

2. OA

1. De hipótesis. Los radios son s a las tangentes en su punto de tangencia. 2. Por ser radios de la misma circunferencia 3. Propiedad reflexiva

3. OP 4. PBO

PAO

5. PB 6. BPO





4. De 1, 2, 3. Cateto – hipotenusa 5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes. 6. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

La circunferencia

8

TEOREMA Si dos circunferencias son secantes en los puntos A y B, la recta que pasa por sus centros es mediatriz del segmento AB HIPOTESIS: C y D son los centros. A y B son las intersecciones de las dos circunferencias. AByCD se cortan en E. TESIS: E es punto medio de AB y AB

1. Se trazan los radios CA, CB , DA, DB

1. Construcción auxiliar

2. CA 3. DA 4. AB 5. 6. ACE 

2. Por se radios de la misma circunferencia 3. Por se radios de la misma circunferencia 4. Propiedad reflexiva 5. De 2, 3, 4. L – L – L 6. De 5. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes 7. De 6. Definición de bisectriz 8. De 2. Definición de triangulo isósceles, 9. De 7 y 8. En un triangulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto a la base es también altura y mediana. 10. De 9. Definición de mediana y de altura.

7. CE es bisectriz de ACB 8. es isósceles 9. CE es altura y mediana

10. E es punto medio de AB y AB

DEFINICION: Una secante a una circunferencia es una recta que la corta en dos puntos. ANGULO SEMIINSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA.

La circunferencia

9

TEOREMA La medida de un ángulo semiinscrito es igual a la mitad de la medida de su arco interceptado.  BTD es un ángulo semiinscrito HIPOTESIS:  AB es una tangente a la circunferencia en T TD es una cuerda  m DT

TESIS: m  BTD

1. Construcción

1. Se traza DC  AB 2. CDT  3. m CDT

m arcoCT 2

4. arco CT = arco TD 5. m BTD

2

m arcoDT 2

2. De 1. Por ser alternos internos entre paralelas 3. Por ser un ángulo inscrito 4. De 1. Por estar entre paralelas. 5. De 2, 3, 4. Sustitución

ANGULO INTERIOR EN UNA CIRCUNFERENCIA Es el ángulo formado por dos cuerdas que se cortan dentro de una circunferencia. TEOREMA La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos que son interceptados por las cuerdas que forman el ángulo.

HIPOTESIS: AB y CD son cuerdas  es un ángulo interior  m AC

TESIS: m  1. m (  ) = m (  ) + m (  )

2. m 

m arcoAC 2

 m BD 2

1. es un ángulo exterior en AED 2. es un ángulo inscrito

La circunferencia

10

3. m  4. m (

m arcoBD 2 m( arcoAC) 2

m( arcoBD) 2

m( arcoAC)

m arcoBD) 2

3. es un ángulo inscrito 4. Sustitución de 2 y 3 en 1.

ANGULO EXTERIOR DE UNA CIRCUNFERENCIA Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes a ella, el ángulo formado se llama ángulo exterior. TEOREMA La medida de un ángulo exterior de una circunferencia es igual a la semidiferencia de los arcos que intercepta. HIPOTESIS: P es un punto exterior a la circunferencia.  es un ángulo exterior. m  AC

TESIS: m(

1. Se traza AD 2. m (  ) = m (  ) + m(  ) 3. m (  4. m ( 

m( arcoAC ) 2 m( arcoDB ) 2

5. m (  ) - m (  ) = m (  ) 6.

m( arcoAC ) 2

m( arcoDB) 2

 2

1. Construcción 2. Por ser un ángulo exterior en ADP 3. Por ser un ángulo inscrito en la circunferencia 4. Por ser un ángulo inscrito en la circunferencia 5. De 1. Transposición de términos 6. Sustitución de 3 y 4 en 5.

COROLARIO 1. La medida del ángulo formado por una secante y una tangente que se cortan en el exterior de una circunferencia, es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados.

m( 

) m  m( CA AD 2

La circunferencia

11

COROLARIO 2. La medida del ángulo formado por dos tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados. m ( P )

) m BA  m ( ACB 2

EJERCICIOS 1) HIPOTESIS: ACE es una semicircunferencia de centro O

OD biseca a EC ; OB biseca a CA O – F – D; O – H – B TESIS:

1)OD 2)OHCF es un rectangulo.

1. m(  C) = 90º 2. OF

EC

OF

FC

m CFO

3. CH  FO 4. OH 5. FC 6. OH  FC 7. OHCF es un paralelogramo 8. m(  C) = m (  FOB) = 90º 9. OD 10. m (  CHO) = m (  CFO) = 90º 11. OHCF es un rectángulo.

1. De hipótesis, por estar inscrito en una semicircunferencia 2. De hipótesis. Si una recta pasa por el centro de una circunferencia y biseca una cuerda, es perpendicular a ella. 3. De 1 y 2. Por formar ángulos consecutivos suplementarios 4. De hipótesis. La misma razón 2 5. De 1 Definición de rectas perpendiculares 6. De4 y 5. Por ser perpendiculares a la misma recta. 7. De 3 y 6. Por tener los lados opuestos paralelos. 8. De 1 y 7. Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes 9. De 8. Definición de perpendicularidad. 10. De 7. Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes 11. De 7,1, 2, 8, 10. Definición de rectángulo.

La circunferencia

12

2) HIPOTESIS: O1 y O2 son los centros de las circunferencias.   RT y QS son tangentes comunes y se cortan en P. O1 – P – O2 TESIS:

1) QO1O 2 

1

S

2

2)RT

1. Los radios son perpendiculares a las tangentes en su punto de tangencia 2. De 1. Por ser perpendiculares a la misma recta

1. OQ 1 2. O1Q  O 2S 3. QO1O2 = O1O2S

3. De 2. Por ser alternos internos entre paralelas. 4. De hipótesis. Si desde un punto exterior se trazan dos tangentes a una circunferencia, los segmentos tangentes son congruentes. 5. De hipótesis. Si desde un punto exterior se trazan dos tangentes a una circunferencia, los segmentos tangentes son congruentes. 6. Adicion de 4 y 5 7. De 6. Adición de segmentos

4. PQ 5. PS 6. PQ+PS = PR+PT 7. QS = RT 3)

HIPOTESIS: O es el centro AD es un diámetro AB  OC TESIS: OC biseca al arco DB

1.  2. m ( 



m( arcoDB ) 2

3. m (  ) = m (arco DC) 4. m (arcoDC )

m( arcoDB) 2

1. De hipótesis, por ser correspondientes entre paralelas. 2. Por ser un ángulo inscrito 3. Por ser un ángulo central 4. De 1, 2, 3. Propiedad transitiva.

La circunferencia

13

4)  DATOS: PQ y RC son tangentes a la circunferencia.

m P



HALLAR: 1) medida del arco QAR = x 2) medida del arco QE = y

x y x y 2 m arcoRE m CRE m arcoRE 2 Resolviendo (1) y (2) se obtiene que x m( P )

x

y

x

y

5) Dos circunferencias son  tangentes en A.   Se trazan dos secantes BC y B 'C ' que   pasan por A. Demostrar que BB '  CC '

1. Se traza por A la tangente común a las dos circunferencias 2. m (  ) = m (  ) 3. m  4.

m arcoBA m  2

m (arcoBA ) 2

5. m B´ 6. m C´

m (arcoAC ) 2

m arcoBA 2 m arcoAC 2

7. m(  B’) = m(  C’) 8. BB´ CC´

m arcoAC 2

1. Construcción 2. Por ser opuestos por el vértice 3. Por ser ángulos semiinscritos 4. Sustitución de 3 en 2. 5. Por ser un ángulo inscrito 6. Por ser un ángulo inscrito 7. Sustitución de 5 y 6 en 4. 8. De 7. Por formar ángulos alternos internos congruentes.

La circunferencia

14

EJERCICIOS SOBRE CIRCUNFERENCIA 1. DATOS: m (arco BC) = 70º; AC es un diámetro, O es el centro de la circunferencia. HALLAR: m (  AOB) 2. DATOS: m (  OAB) = 36º. O es el centro de la circunferencia. HALLAR: m (arco AB) 3. DATOS: m(  OAB) = 30º; AC es diámetro HALLAR: m (arco BC) 4. DATOS: m(arco AB) = 70º; AC es un diámetro HALLAR m (OBC) 5. DATOS: m(  AOB) = 60º; AC es un diámetro HALLAR: m ( ABC) y m (arco BC) 6. DATOS: m(arco AD) = 140º; BD y AC son diámetros HALLAR: m ( OBC)

7. DATOS: m(  A) = 68º HALLAR: m(  C) 8. DATOS: m(  SOR) = 80° HALLAR: m ( T) 9. DATOS: Las cuerdas AB y CD se cortan en E. m (arco AC) = 40º y m (arco BD) = 70º. O es el centro HALLAR: m ( AEC)

La circunferencia

15

10. DATOS: La recta AB es perpendicular al diámetro TD. TC es una cuerda; m (arco TC) = 100º. La recta AB es tangente a la circunferencia en T. HALLAR: m ( BTC)

11. Hallar la medida en grados del arco BD. 12. Hallar la medida en grados del ángulo 13. Hallar la medida del ángulo . La recta AB es una tangente en T 14. Hallar la medida del ángulo APC, si el arco BD mide 40º 15. Hallar la medida en grados del arco RAQ, si m arcoTS



16. O es el centro de la circunferencia. La recta CF es tangente en B. Hallar la medida del ángulo EDB y del ángulo formado por la cuerda DB y la tangente. 17. O es el centro de la circunferencia. PT es tangente en T. Hallar la medida del ángulo TPA y del ángulo TBC y m arcoAB ,si el arco TB mide 125º 18. PT y PC son tangentes. Hallar la medida del ángulo TPC, si el ángulo TBC mide 65º.

La circunferencia

16

19. En la semicircunferencia de centro O y diámetro AB , el radio OE es perpendicular a la cuerda AC . Si m( CAB) Hallar m( ELC)

20. HIPOTESIS: AD es un diámetro

AD es bisectriz de  CAB. TESIS: 1) arco AC = arco AB 2) AC

21. HIPOTESIS: O es el centro de la circunferencia

BD TESIS: m (arco AB) =m (arco CB)

22. HIPOTESIS: CB TESIS: CA AYUDA: Trazar CD

La circunferencia

17

23. HIPOTESIS: O es el centro de la circunferencia AB es un diámetro AB  CD TESIS: AD 24. HIPOTESIS: O es el centro de la circunferencia AD es un diámetro

DC  AB TESIS: OC biseca al arco DB. 25. HIPOTESIS: O es el centro de la circunferencia. PM y PN son tangentes P–Q–N TESIS: 1)MQ

2) PNQ 

3)OP 26. Los lados de un cuadrilátero son tangentes a una circunferencia. Demostrar que la suma de las medidas de dos lados opuestos es igual a la suma de las medidas de los otros dos lados.

27. HIPOTESIS: A y B son los centros de las circunferencias.

QS y RT son las tangentes comunes a las dos circunferencias TESIS: 1) QAB 

2)RT

La circunferencia

18

28. Los lados de un triangulo rectángulo son tangentes a una circunferencia. Demostrar que la suma de las med...