4. Ángulos Teoremas PDF

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Teoremas de lso angulos...

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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA CURSO DE NIVELACIÓN GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA CLASE N°4

ÁNGULOS 1. Objetivo Aprender las propiedades de paralelas y teoremas de los ángulos. 2. Logros de aprendizaje De conocimientos • Explicar el postulado básico de paralelismo. • Conocer los teoremas referentes a paralelas y ángulos. De destreza • Práctica en la interpretación y aplicación del postulado básico de paralelismo y teoremas de ángulos en la resolución de ejercicios. De Valores • El estudiante de la materia debe manifestar sentido de responsabilidad, honestidad, respeto y predisposición al trabajo 3. Desa Desarrollo rrollo de la clase

Propiedades de los Ángulos Postulado de Paralelas En un plano, si dos rectas son cortadas por una trasversal, y la suma de las medidas de los ángulos internos formados a un mismo lado de la transversal es igual a 180 ° (πrad), entonces las dos rectas son paralelas; caso contrario son rectas secantes.

Si: x + y = 180°

Si: 1 + 2 ≠ 180°

∴ 𝐿 1 ǁ 𝐿2

 1 y 𝐿 2 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 ∴𝐿 1

TEOREMA 1 Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes. H)

α , γ ángulos opuestos por el vértice

T)

α = γ

Demostración 1. α + β = 180° 2. β + γ = 180°

∡ Llano

3. α = γ

1. = 2.

∡ Llano

TEOREMA 2 Los ángulos alternos internos, alternos externos y correspondientes, formados entre rectas paralelas, son congruentes.

Demostración 1. 4 + 5 = 180° 2. 5 + 6 = 180° 3. 4 + 5 = 5 + 6

postulado ∡ Llano 1) = 2)

4 = 6 4.4 = 2 ^ 6 = 7

op. por el vértice

H)

𝐿1 ǁ 𝐿2

5. 2 = 7

3. en 4.

T)

4 = 6 , 2 = 7 , 6 = 2 

6. 6 = 2

3. = 4.

TEOREMA 3 Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios son perpendiculares entre sí.

H)

 B y BO  A suplementarios CO B 𝐷𝑂 bisectriz CO A 𝑂𝐸 bisectriz BO

T)

𝐷𝑂⊥𝑂𝐸

Demostración 1. 21 +22 = 180° 1 + 2 = 90°  E = 90° 2. DO 𝐷𝑂⊥𝑂𝐸

∡ Llano

2

TEOREMA 4 Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son colineales. H)

 B ∧ DO  C Opuestos por el vértice. AO B OF bisectriz AO  OE bisectriz DOC

T)

F, O, E Colineales.

Demostración  B = DO C 1. AO   2. AOD = BOC 3. 41 +22 =360° 4. 21 + 2 =180° → ∡𝐹𝑂𝐸 𝑙𝑙𝑎𝑛𝑜 ∴ 𝐹, 𝑂, 𝐸 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠

TEOREMA 5

∡ Op. Vértice ∡ Op. Vértice 1 Rev 3./2

Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos, son congruentes o suplementarios.  3 ǁ 𝐿4 𝐿 1 ǁ 𝐿2, 𝐿 1 = 3 1+ 5 =180° Demostración 1. 1 = 4 ∡s Correspondientes 2. 4 = 3 ∡s Correspondientes   3. 1 = 3 4. 2 = 5 ∡s Correspondientes   5. 1+2 =180° Postulado ∥ 6. 1 +5 =180°

H) T)

TEOREMA 6 H)

𝐿 1 ǁ 𝐿2

T)

1 + 2 = 3

Demostración 1. 𝐿3 ǁ 𝐿2ǁ 𝐿1

construcción

2. 3 = α +β 3. 2 = β

alternos internos

4. 3 = 1+ 2 4. Bibliograf Bibliografía a • • •

CALVACHE, G. y LEÓN, C. (2019). Geometría Plana, Trigonometría, Geometría del Espacio, Geometría Analítica. ISBN-978-9942-20-363-2. HEMMERLING, Edwin M. (2005). Geometría Elemental. México. 1975. Limusa. MOISE, Edwin E. FLOYD, L. DOWNS, Jr. Serie Matemática Moderna. Bogotá. 1972. Norma. Tomo4. 3...