2. Matrices invertibles PDF

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Universidad de Costa Rica Sede de Occidente MA0322: Algebra Lineal

Profesora: Maria Fernanda Vargas II-2021

1. Matrices invertibles 1 Definición: Matriz inversa

Una matriz 𝐴 cuadrada de orden 𝑛 es invertible si existe una matriz 𝐵 tal que 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼𝑛 . La matriz 𝐵 se llama inversa de A y se denota 𝐴−1 . Observación: 1. Si existe, la matriz inversa de una matriz es única. 2. Aunque es necesario que una matriz sea cuadrada para tener inversa, no es una condición suficiente. 3. Note que para hallar 𝐴−1 tal que 𝐴𝐴−1 = 𝐼𝑛 puede resolverse al hallar el sistema cuya matriz aumentada es (𝐴|𝐼𝑛 )

Ejemplo 1: Verifique que la matriz dada es la inversa de 𝐴 Solución:

1 1 ) 𝐴=( 0 0

y

0 1) 𝐴−1 = ( 1 −1

Teorema: Una matriz cuadrada 𝐴 de orden 𝑛 es ivertible, si y solo si es equivalente a la matriz 𝐼𝑛 .

Ejemplo 2: Calcule, si existe, la matriz inversa de 𝐴.

1 2 1 −1 3 2 𝐴=( 3) 4 2 5

1

Este material se basa en el libro de Arce, Castillo y Gonzalez (2004) de la bibliografía del curso.

Solución:

Ejemplo 3: Determine, si existe, 𝐴−1 Solución:

Ejemplo 4: Sea

1 𝐴=( −2

1 ) 2

𝑎 𝑐 𝐴=( ) 𝑏 𝑑

Demuestre que 𝐴 es invertible si y solo si 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0

Solución:

Así tenemos ejemplo 3. un método sencillo para determinar si una matriz 2 × 2 tiene inversa. Ver Ejemplo 5: Calcule la matriz inversa de las siguientes matrices 2 𝐴 = (6

Solución:

5

5 3

−2

7 4

−3

)

y

11 1 𝐵 = (1

11 −1 −1

−1 1 1−1 1 −1) −1 1

Teorema: Sean 𝐴 y 𝐵 matrices de orden 𝑛 e invertibles. Entonces: 1. 𝐴−1 tambien es invertible y (𝐴−1 )−1 = 𝐴 2. 𝐴𝐵 es invertible y (𝐴𝐵)−1 = 𝐵−1 𝐴−1

Observación: 1. Una matriz 𝐴 de orden 𝑛 es invertible si 𝑅𝑛𝑔(𝐴) = 𝑛 2. En un sistema de solución única se tendría que 𝐴𝑥 = 𝐵 ⇒ 𝑥 = 𝐴−1 𝐵

Teorema: Si 𝐴 es invertible, entonces 𝐴𝑡 también y se tiene que (𝐴𝑡 )−1 = (𝐴−1 )𝑡

1 Ejemplo 6: Sea 𝐴 = ( ). Use las propiedades de las matrices para determinar una matriz 𝑋 1 tal que 𝐴𝐴𝑡 𝑋 = 𝑋 + 𝐼2

Solución:

Ejemplo 7: Sean 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝑋, 𝐼 ∈ 𝑀(𝑛, ℝ) y suponga que (𝐴𝑡 + 2𝐶) y 𝐵 son invertibles. Si a) Despeje 𝑋

𝐴𝑋𝐵𝑡 + 𝐶 = (𝐼 − 2𝐵𝑋𝐶 )𝑡

b) Según la parte a), determine 𝑋 si 0 3 ), 𝐴=( 1 4

2 −1 𝐵=( ) 3 −1

y

1 0 𝐶=( ) 1 −1

Solución:

Ejemplo 8: Sea 𝐴 una matriz cuadrada. Demuestre que 𝐴 + 𝐴𝑡 es simétrica, mientras que 𝐴 − 𝐴𝑡 no lo es. Solución:

Ejemplo 9: Sea 𝑋 un vector columna, tal que 𝑋 𝑡 𝑋 = 1 y sea 𝐴 una matriz tal que a) Demuestre que 𝐴 es simétrica b) Demuestre que 𝐴2 = 𝐼𝑛

𝐴 = 𝐼𝑛 − 2𝑋𝑋 𝑡

Solución:

2. Factorización LU

Teorema: Factorización LU

Sea 𝐴 una matriz cuadrada de 𝑛 × 𝑛. Supongamos que 𝐴 se puede reducir por filas a una matriz triangular superior 𝑈, aplicando operaciones elementales (sin intercambio de filas). Entonces existe un matriz triangular inferior 𝐿 que es invertible, tal que 𝐴 = 𝐿𝑈

Si 𝐴 es invertible, entonces esta descomposición es única.

Observación: Si 𝑈 existe, entonces existen matrices elementales tales que: 𝐸𝑘 𝐸𝑘−1 ⋯ 𝐸2 𝐸1 𝐴 = 𝑈 −1 𝐸 −1 𝑈 ⇒ 𝐴 = 𝐸1−1 𝐸2−1 ⋯ 𝐸𝑘−1 𝑘 −1 −1 Tome 𝐿 = 𝐸1−1 𝐸2−1 ⋯ 𝐸𝑘−1 𝐸𝑘

Ejemplo 10: Halle la factorización LU de la siguiente matriz

Solución:

3 6 9 𝐴 = ( 2 5 1) 1 1 8

Ejemplo 11: Halle la factorización LU de la siguiente matriz

Solución:

2 𝐴=( 4 −2

1 1 1 0) 2 1

2.1 Factorización LU en la solución de sistemas Si 𝐴 = 𝐿𝑈 sonde 𝐿 es una matriz triangular inferior y 𝑈 una superior, entonces el sistema 𝐴𝑥 = 𝑏

Se puede escribir como: Si se toma 𝑦 = 𝑈𝑥 , entonces se tiene

𝐿(𝑈𝑥) = 𝑏 𝐿𝑦 = 𝑏

Que es un sistema fácil de resolver utilizando el método de sustitución (hacia adelante), y una vez que se conoce 𝑦, se resuelve el sistema 𝑈𝑥 = 𝑦 mediante sustitución (hacia atrás).

Ejemplo 12: Considere la matriz

1 4 7 𝐴 = (2 5 8 ) 3 6 12

a) Determine la factorización LU de la matriz

1 b) Utilice dicha factorización para resolver el sistema 𝐴𝑥 = 𝑏 , donde 𝑏 = ( 2) 4

Solución:...