255086019 Econometrie Probleme rezolvate si propuse pdf PDF

Preview

Summary

CAP. I. TESTARI DE IPOTEZE Problema 1 Patronul unei firme de prestări servicii doreşte să fluidizeze servirea clienţilor şi, până în prezent, el presupunea că timpul de servire a clienţilor este normal distribuit, de medie 130 de minute şi abatere medie pătratică 15 minute. El este de acord cu abate...

Description

CAP. I. TESTARI DE IPOTEZE

Problema 1 Patronul unei firme de prestări servicii doreşte să fluidizeze servirea clienţilor şi, până în prezent, el presupunea că timpul de servire a clienţilor este normal distribuit, de medie 130 de minute şi abatere medie pătratică 15 minute. El este de acord cu abaterea medie pătratică, dar se îndoieşte de faptul că durata medie de servire a unui client este 130 minute. Pentru a studia această problemă, înregistrează timpii de servire pentru 100 de clienţi. Timpul mediu obţinut în eşantion este 120 minute. Poate patronul să concluzioneze, la o probabilitate de 99%, că timpul mediu este diferit de 130 minute. În această problemă, parametrul ce ne interesează este timpul mediu în colectivitatea generală şi ipotezele de testat sunt:

H0 :   130, H1 :   130. Trebuie, aşadar, să răspundem la întrebarea: “Este media de 120 minute suficient de diferită de valoarea 130, pentru a ne permite să concluzionăm că media populaţiei nu este egală cu 130 minute?” Vom putea să respingem ipoteza nulă dacă media eşantionului este suficient de diferită, relativ la valoarea 130. Dar, interpretările nu sunt evidente. Dacă în eşantion obţineam media 1300 sau 1,3 atunci diferenţele erau clare. De asemenea, dacă media eşantionului era 130,1 atunci egalitatea era şi ea evidentă. Distribuţia de eşantionare a mediei x este normală sau aproximativ normală, cu media  şi abaterea

z

medie

pătratică

s/ n .

Ca

rezultat,

putem

standardiza

x

şi

calcula

x 130 x  130 .  1,5 15 / 100 Regiunea de respingere (critică) o putem specifica astfel: Se respinge H0, dacă z   z0.005 sau z  z0.005 . În exemplul nostru, z / 2  z0.005  2,575 z

120  130  6,67 . 1,5

Cum z  6,67  2,575  z0.005 , rezultă că sunt suficiente dovezi pentru a respinge ipoteza nulă H0 şi a accepta ipoteza alternativă, aceea că timpul mediu de servire a unui client este diferit de 130 minute.

Problema 2

Conducerea unei companii apelează la 5 experţi pentru a previziona profitul companiei în anul curent. Valorile previzionate sunt: 2,60; 3,32; 1,80; 3,43; 2,00 (miliarde lei, preţurile anului anterior).

Ştiind că profitul companiei în anul anterior a fost de 2,01 mld. lei, sunt suficiente dovezi pentru a concluziona că media previziunilor experţilor este semnificativ mai mare decât cifra anului anterior (pentru α = 0,05)? Media previziunilor experţilor este x  2,63 mld. lei, cu dispersia:

s

2 x

 x 

i



x

2

n 1



2,203  0,5507 şi abaterea medie pătratică: s x  s x2  0,74 mld. lei. 4

Elementele procesului de testare a ipotezei statistice sunt: H0: μ = 2,01, H1: μ > 2,01 (test unilateral dreapta).

t

2,63  2,01 x  x   1,874.   sx 0,74 / 5 sx n

În scopul folosirii statisticii t, vom face presupunerea că populaţia generală din care s-a extras eşantionul este normal distribuită. Cum tα,n-1 = t0,05;4 = 2,132, regiunea critică este dată de t>tα,n-1. Cum t=1,874< t0,05;4=2,132, nu putem trage concluzia că media profitului previzionată de cei 5 experţi pentru anul curent este semnificativ mai mare decât profitul anului trecut, de 2,01 mld. lei.

Problema 3 Presupunem că pentru 100 de observaţii asupra unei variabile aleatoare X s-a obţinut media x  110 şi abaterea standard 60. a) Testaţi ipoteza nulă că µ=100, cu alternativa µ >100, utilizând  = 0,05. b) Testaţi ipoteza nulă că µ = 100, cu alternativa µ  100, utilizând  = 0,05. Comparaţi rezultatele celor două teste. Rezolvare: a) n = 100;

x  110; sx = 60;  = 0,05. Considerăm: H0: µ = µ 0=100, H1: µ > µ 0=100. Se aplică testul z unilateral dreapta:

 x  0  P   z    1    sx / n  Regiunea critică va fi dată de:

x   0  z 

sx n

z 0,05  1,645

 0  z 

60 sx  100   1,645  109,870 n 100

Cum x  110 > 109,870, suntem în regiunea critică deci se respinge H0. b) H0: µ = 100; H1: µ  100. Se aplică testul z bilateral.

 x 0  z P   z  2  2 sx / n

   1  ;  

z 0,05  1,96. 2

Limitele intervalului de încredere sunt:

0  z  

sx

2

sx n

 z  2

n

 x  0  z  

sx

2

;

n

60  1,96  11,76 ; 100

100 11,76  x  100 11,76; 88,24  x  111,76. Întrucât ne aflăm în intervalul de încredere, se acceptă ipoteza H0. Problema 4 Un producător de detergenţi industriali preambalează produsul la cutii ce trebuie să aibă, în medie, 12 kg. El doreşte să verifice corectitudinea ambalării şi hotărăşte să organizeze un sondaj de n=100 observaţii (cutii), pentru care obţine greutatea medie x  11,85 kg, cu o abatere medie pătratică sx=0,5 kg. Să se testeze ipoteza conform căreia în medie cutiile au câte 12 kg, cu alternativa că greutatea este diferită de 12 kg. (12 kg), pentru o probabilitate de 95%. Rezolvare: H0:    0  12 kg; H1:   12 kg (   12 kg sau   12 kg).

Testul statistic: z 

x 0 x   0 11,85  12    3,0. sx s x/ n 0,5 / 10

Nivelul de încredere: 1 -  = 0,95. Pragul de semnificaţie:  = 0,05, din care rezultă /2 = 0,025 (deoarece avem test bilateral). z / 2  z0,025  1,96 .

Regiunea de respingere: z / 2  1,96 sau z  / 2  1,96 . Cum z calc  z / 2 , rezultă că ipoteza nulă este respinsă şi se acceptă ipoteza alternativă, aceea că în cutii se află o cantitate de detergenţi semnificativ diferită de 12 kg.

Problema 5 Într-o cercetare prin sondaj aleator privitoare la transportul în comun, au fost selectate 100 de persoane pentru care s-a calculat valoarea medie a biletelor cumpărate într -o lună pentru transport în comun urban de 110 u.m, cu o abatere medie pătratică de 60 u.m. a) Testaţi ipoteza nulă, aceea conform căreia valoarea medie a biletelor cumpărate într-o lună, în colectivitatea generală, este    0  100 u.m, cu ipoteza alternativă    0  100 u.m, utilizând un nivel de încredere 1 -  = 0,95 (probabilitatea (1-)100 = 95%). b) Testaţi ipoteza nulă    0  100 u.m, cu ipoteza alternativă    0  100 u.m, cu aceeaşi probabilitate. Interpretaţi rezultatele.

Rezolvare: a) H0:    0  100 u.m H1:    0  100 u.m. Testul statistic: z 

x 0 x   0 110 100    1,67 sx s x/ n 60 / 10

Nivelul de încredere: 1 -  = 0,95. Pragul de semnificaţie:  = 0,05 (test unilateral dreapta) z  z0,05  1,645

Cum z calc  z , rezultă că ipoteza nulă este respinsă (    0  100 u.m.) şi se acceptă ipoteza alternativă (    0  100 u.m.). b) H0:    0  100 u.m.;

H1:    0  100 u.m. Test statistic: z 

x 0 x   0 110 100  1,67 .   sx 60 / 10 sx / n

Nivelul de încredere 1 -  = 0,95. Pragul de semnificaţie  = 0,05, din care rezultă /2 = 0,025 (deoarece avem test bilateral). z / 2  z0,025  1,96

Cum z calc  z / 2 , (1,67 < 1,96), rezultă că se acceptă ipoteza nulă (valoarea medie a biletelor cumpărate nu este semnificativ diferită de 100 u.m.).

CAP. 2. METODA ANALIZEI DISPERSIONALE ANOVA Problema 1.

Un producător de sucuri de mere a realizat un nou produs: concentrat lichid. Acest nou produs are următoarele avantaje faţă de vechiul produs: este mai practic de utilizat, are o calitate cel puţin la fel de bună şi cost semnificativ mai mic. Pentru a decide pe care dintre cele trei avantaje să -şi axeze strategia de marketing, directorul acestui departament a realizat un studiu în trei oraşe. În oraşul A campania de publicitate s-a axat pe uşurinţa de utilizare a noului produs. În oraşul B campania de publicitate s-a axat pe calitatea noului produs. În oraşul C campania de publicitate s-a axat pe preţul mai mic al noului produs. În toate cele 3 oraşe s-a înregistrat numărul de bucăţi vândute în 20 de săptămâni. Directorul de marketing ar dori să ştie dacă există diferenţe semnificative între numărul de bucăţi vândute, în medie pe săptămână, în cele trei oraşe după terminarea campaniei de publicitate. In urma prelucrarii datelor si a aplicarii metodei analizei dispersionale, s-au obtinut urmatoarele rezultate: ANOVA Source of Variation Between Groups Within Groups

SS 57512.23 506983.5

df 2 57

Total

564495.7

59

MS 28756.12 8894.447

F 3.233

P-value 0.047

F crit 3.159

Identificarea metodei: Datele sunt cantitative şi problema revine la a compara mediile celor trei populaţii. Ipotezele ce trebuie testate sunt: H0: μ1 = μ2 = μ3 cu alternativa H1: cel puţin două medii sunt diferite. MSB=28756,12 SSW=506983,5 Completarea coloanei Df: r-1=3-1=2 n-r=60-3=57 n-1=60-1=59 Completarea coloanei SS: Stim ca MSB=SSB/(r-1), de unde derulta ca: SSB=MSB * (r-1) =28756,12 * 2 = 57512,23

SST=SSB+SSW=57512,23 + 506983,5 = 564495,7 Completarea coloanei MS: MSW=SSW/(n-r) = 506983,5 / 57 = 8894,447 Fcalc= MSB/MSW=28756,12 / 8894,447 = 3,233 Cum Fcalc (3,233) >Fcrit (3,159), rezulta ca se respinge H0, se accepta H1, deci exista diferente semnificative intre vanzarile medii din cele trei orase, asadar strategia de marketing aleasa a influentat semnificativ variatia vanzarilor. CAP. 3. REGRESIA LINIARA

Problema 1. O firmă de asigurări vrea să găsească o legătură între valoarea prejudiciului provocat de incediul unei locuinţe şi distanţa dintre locul incendiului şi cea mai apropiată staţie de pompieri. Pentru aceasta, realizează un studiu, întro anumită regiune, luând în considerare cele mai recente 15 incendii. Sunt înregistrate date referitoare la valoarea prejudiciului (mii Euro) şi distanţa dintre incendiu şi cea mai apropiată staţie de pompieri (zeci km). In urma prelucrarii datelor cu programul EXCEL, s-au obtinut urmatoarele rezultate: Regression Statistics Multiple R R = 0,9609 R Square R2 = 0,9234 Adjusted R Square 0,9175

raportul de corelaţie coeficientul de determinaţie

Se= MSE = 2,3163

Standard Error Observations

abaterea standard a erorilor n = 15 volumul eşantionului

ANOVA Regression Residual Total

df k=1 n-k-1 = 13 n-1 = 14

Coefficients Intercept Distanta (zeci km)

a = 10,2779 b = 4,9193

SS MS SSR = 841,7664 MSR = 841,7664 SSE = 69,7509 MSE = 5,3654 SST = 911,5173

Standard Error sa = 1,4202 sb = 0,3927

t Stat

F Fcalc = 156,8861

P-value

Significance F 0,000000012

Lower 95%

Upper 95%

tcalc(α) = 7,2365

0,000007

Lim_inf(α) = 7,2096

Lim_sup(α) = 13,3462

tcalc(β) = 12,5254

0,000000012

Lim_inf(β) = 4,0708

Lim_sup(β) = 5,7678

a) Determinaţi modelul de regresie liniara in esantion si interpretaţi valorile coeficienţilor modelului; b) Testaţi validitatea modelului de regresie liniară la un prag de semnificaţie (α’) de 5% (pentru o probabilitate de 95%, pentru care Fcritic=4,67); c) Testati ipo tezele referitoare la semnificaţia parametrilor modelului de regresie, la un nivel de semnificaţie de 5% (tcritic=2,16); d) Determinaţi intervalele de încredere 95% pentru parametrii modelului; e) Calculati coeficientul de determinaţie şi interpretaţi rezultatul obţinut; f) Măsuraţi intensitatea legăturii dintre cele două variabile folosind raportul de corelaţie; g) Estimaţi nivelul prejudiciului, dacă distanţa între locul incendiului şi staţ ia de pompieri ar fi de 6,5 zeci de kilometri. REZOLVARE a) Variabilele sunt:

X – variabila care arată distanţa dintre incendiu şi cea mai apropiată staţie de pompieri, exprimată în zeci de km (variabila independentă sau variabila explicativă sau variabila exogenă) Y – variabila care arată valoarea prejudiciului, exprimată în mii Euro (variabila dependent ă sau variabila explicată sau variabila endogenă) Există o funcţie f astfel încât variabila X explică variabila Y prin funcţia f,Y  f X , o func ţie liniară

 

f  x      x . Modelul liniar de regresie este Y    X   . Valorile coeficientilor sunt:

a  10, 2779

b  4,9193

(se preiau don coloana „Coefficients” a ultimului tabel), sau cu functiile Excel: intercept(valorile lui Y; valorile lui X), ce returneaza valoarea lui „a”. slope(valorile lui Y; valorile lui X) ce returneaza valoarea lui „b”. ˆ  a  b  x  10,2779  4,9193 x , prin urmare dreapta de regresie este de ecuaţie y ecuaţia de regresie liniar ă în eşantion este y i iar valorile ajustate ale observaţiilor

 a  b  x i  ei  10, 2779  4,9193 x i  ei ,i  1,15 ,

yi , i  1,15 prin regresie sunt

yˆi  a  b  xi  10,2779  4,9193  xi , i 1,15 . Interpretarea valorilor coeficienţilor  b arată că valoarea prejudiciului creşte cu 4,9193 mii euro dacă distanţa dintre incediu şi staţia de pompieri creşte cu o unitate, adică 10 km. In plus, pt. ca b>0, rezulta ca legatura dintre cele odua variabile este directa. Daca b ar fi fost negativ (b...