שבוע 3 - חיבור וכפל בסקלר של מטריצות, כפל מטריצות, שחלוף וסימטריה PDF

Preview

Summary

לינארית 2019 תרגול 3...

Description

‫אלגברה לינארית ‪ 1‬א' ־ תרגולים שבוע ‪3‬‬

‫נושאים‬ ‫‪ .1‬עוד דירוג ומערכת משוואות‪.‬‬ ‫‪ .2‬אלגברה של מטריצות‪:‬‬ ‫)א( חיבור מטריצות‪.‬‬ ‫)ב( כפל מטריצות בסקלר‪.‬‬ ‫)ג( כפל מטריצות‪.‬‬ ‫‪ .3‬שיחלוף מטריצה‪.‬‬ ‫‪ .4‬מטריצות סימטריות )ואנטי־סימטריות(‪.‬‬

‫‪ 1‬עוד דירוג ומערכת משוואות‪.‬‬ ‫תרגיל‪ :‬מצאו מערכת משוואות הומוגונית אשר קבוצת הפתרונות שלה נתונה על ידי‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪V = s 1 + t 1 |s, t ∈ R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫פתרון‪ :‬עבור ‪ (x, y, z) ∈ R3‬מתקיים‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y ∈ V ⇐⇒ ∃s, t ∈ R : y = s 1 + t 1‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬

‫וזאת אמ"מ קיימים ‪ s, t ∈ R‬כך ש־‬

‫‪x‬‬

‫=‬

‫‪s‬‬

‫‪y‬‬

‫=‬

‫‪s+t‬‬

‫‪z‬‬

‫=‬

‫‪t‬‬

‫וזאת אמ"מ למערכת הנתונה בכתיב מטריצות‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 | x‬‬ ‫‪1 | y‬‬ ‫‪1 | z‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫קיים פתרון וזאת אמ"מ ל־‬ ‫‪‬‬

‫|‬ ‫‪x‬‬ ‫|‬ ‫‪y−x ‬‬ ‫‪| z−y+x‬‬

‫קיים פתרון וזאת אמ"מ ‪.z − y + x = 0‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪ 2‬אלגברה של מטריצות ־ חיבור‪ ,‬כפל בסקלר‪ ,‬כפל מטריצות‪.‬‬ ‫עד עתה דיברנו על מטריצות בתור כלי עזר לפתרון מערכת משוואות‪ .‬כעת נדבר עליהן‬ ‫בתור אובייקטים בפני עצמם‪ .‬קבוצת המטריצות מסדר ‪ ,n × m‬מעל ‪) F‬שדה כלשהו‪ ,‬כרגע‬ ‫אפשר לחשוב על המספרים הממשיים או המרוכבים בתור דוגמה(‪ ,‬תסומן ע"י )‪.Mn×m (F‬‬ ‫מטריצה בקבוצה זו )‪ A ∈ Mn×m (F‬נראית כך‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a11 a12 . . a1n‬‬ ‫‪ a21 a22 . . a2n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A=‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪. .‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪am1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪. . amn‬‬

‫האיבר ה־‪) ij‬המופיעה בשורה ‪ i‬ובעמודה ‪ ( j‬נקרא הרכיב ה־‪ ,ij‬ומסומן ‪ .aij‬המטריצה‬ ‫לעיל תסומן ב־ ‪.A = (aij ), (A)ij = aij‬‬

‫‪ 2.1‬פעולות‬ ‫‪ 2.1.1‬חיבור‬ ‫תהיינה ) ‪ A = (aij ) , B = (bij‬מטריצות מאותו הסדר ‪) n × m‬בעלות אותו המספר של‬ ‫שורות ועמודות( ‪ ,‬אזי ) ‪ ,A + B = (aij + bij‬מטריצה מסדר ‪.n × m‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3 4 + 7 8  = 10 12‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪9 10‬‬ ‫‪14 16‬‬ ‫שימו לב כי לא ניתן לחבר מטריצות מסדר שונה‪.‬‬ ‫‪2.1.2‬‬

‫כפל בסקלר‬

‫יהי ‪ α ∈ F‬סקלר‪ ,A = (aij ) ,‬אזי ) ‪.α · A = (α · aij‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫=‬ ‫·‪2‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪6 8‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2.1.3‬‬

‫כפל מטריצות‬

‫מערכת המשוואות‬ ‫מטריצות‪.‬‬ ‫מוטיבציה‪ :‬הצגה של מערכת משוואות לינארית בעזרת כפל‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x = ‬וקטור‬ ‫‪A | b‬‬ ‫ניתנת לכתיבה באמצעות ‪ Ax = b‬כאשר ‪‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫הנעלמים‪.‬‬ ‫תהיינה ) ‪ A = (aij ) , B = (bij‬מטריצות כך ש־ ‪ A‬מסדר ‪ ,m × p‬ו־‪ B‬מסדר ‪p × n‬‬ ‫)מספר העמודות של המטריצה ‪ A‬שווה למספר השורות של המטריצה ‪ ,((∗)B‬אזי המכפלה‬ ‫) ‪ AB = (cij‬הינה מטריצה מסדר ‪ m × n‬אשר הרכיב ה־‪ ij‬שלה מתקבל מהכפלת השורה‬ ‫ה־‪ i‬של ‪ A‬בעמודה ה־‪ j‬של ‪: B‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪b1j‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪b2j  X‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪aik bkj‬‬ ‫= ‪cij = (ai1 , ai2 , . . . , , aip)  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫‪bpj‬‬ ‫שימו לב! כפל מטריצות אינו מוגדר כאשר התכונה )∗( אינה מתקיימת‪.‬‬

‫הערה‪ :‬כעת נוכל להגדיר חזקות טבעיות של מטריצות ריבועיות ככפל של מטריצה בעצמה‬ ‫לפי המספר הכתוב בחזקה‪ .‬בפרט נגדיר חזקה ‪ 0‬להיות מטריצת היחידה‪ .‬כמו כן‪,‬‬ ‫נוכל להשתמש בהגדרות אלו להגדרת פולינומים של מטריצות‪.‬‬ ‫דוגמה‪ :‬נסמן‬ ‫‪‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪3 6‬‬

‫‪‬‬

‫=‪B‬‬

‫‪,‬‬

‫‪‬‬

‫‪1 5‬‬ ‫‪2 3‬‬

‫‪‬‬

‫=‪A‬‬

‫נחשב את‪:‬‬ ‫• ‪AB‬‬ ‫• ‪BA‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫• מתקיים‬ ‫‪ ‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫·‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪20‬‬ ‫·‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫·‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪1 + 30‬‬ ‫=‬ ‫‪2 + 18‬‬ ‫‪11‬‬ ‫·‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ 1 5‬‬ ‫‪= ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 + 15‬‬ ‫=‬ ‫‪2+9‬‬

‫‪AB‬‬

‫• מתקיים‬ ‫‪‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫· ‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪15 33‬‬ ‫·‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫· ‪ 1 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪BA = ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫· ‪3 6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1+2‬‬ ‫‪5+3‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪3 + 12 15 + 18‬‬

‫הערה‪ :‬כפל מטריצות אינו חילופי )קומוטטיבי(‪ .‬בפרט‪ ,‬לא נכון להסיק משהו כמו‬ ‫‪2‬‬

‫‪(A + B) = A2 + 2AB + B 2‬‬ ‫למשל‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫=‬ ‫=‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫שאלה מעניינת )שנענה עליה בהמשך( היא אילו מטריצות מתחלפות בכפל עם מטריצות‬ ‫אחרות‪.‬‬ ‫הגדרה‪ :‬עקבה )‬ ‫הראשי‪ ,‬כלומר‬

‫( של מטריצה ריבועית מסדר ‪ ,n‬מוגדרת להיות סכום איברי האלכסון‬

‫‪aii .‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬

‫= )‪tr(A‬‬

‫‪i=1‬‬

‫תרגיל‪ :‬יהיו ‪ A, B‬מטריצות ריבועיות מסדר ‪ .n‬הראו ש־ )‪.tr(A + B) = tr(A) + tr(B‬‬ ‫פתרון‪ :‬נראה זאת באופן ישיר‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= )‪(aii +bii‬‬ ‫‪aii +‬‬ ‫)‪bii = tr(A)+ tr(B‬‬ ‫‪i=1‬‬

‫‪i=1‬‬

‫‪i=1‬‬

‫= ‪[A+B]ii‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬

‫= )‪tr(A+B‬‬

‫‪i=1‬‬

‫בבית תראו שכאשר הכפל בין המטריצות ‪ A, B‬מוגדר עבור ‪ AB‬וגם עבור ‪ BA‬אז מתקיים‬ ‫)‪.tr(AB ) = tr(BA‬‬ ‫תרגילים בנושא כפל מטריצות‬ ‫תרגיל‪ :‬הוכיחו כי אם ל־ ‪ Am×n‬שורת אפסים‪ ,‬אז גם ל־ ‪ (AB)m×r‬שורת אפסים‪.‬‬ ‫פתרון‪ :‬יהי ‪ 1 ≤ i ≤ m‬כך ש־)‪ .Ri (A) = (0 · · · 0‬אז לכל ‪[AB]ij = :1 ≤ j ≤ r‬‬ ‫‪Pn‬‬ ‫‪Pn‬‬ ‫‪ . k=1 aik bkj = k=1 0 · bkj = 0‬כלומר השורה ה־ ‪ i‬שורת אפסים‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫תרגיל‪ :‬הוכיחו כי אם ל־ ‪ Bn×r‬עמודת אפסים‪ ,‬אז גם ל־ ‪ (AB)m×r‬עמודת אפסים‪.‬‬ ‫פתרון‪ :‬יהי ‪ 1 ≤ j ≤ r‬כך ש־‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪Cj (B) =  ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫אז לכל ‪aik · 0 = 0 :1 ≤ i ≤ m‬‬ ‫ה־ ‪ j‬עמודת אפסים‪.‬‬

‫‪Pn‬‬

‫‪k=1‬‬

‫= ‪aik bkj‬‬

‫‪Pn‬‬

‫‪k=1‬‬

‫= ‪ .[AB]ij‬כלומר העמודה‬

‫הערה‪ :‬אם נשנה את סדר ההכפלות בתרגילים הקודמים‪ ,‬הטענות לא בהכרח נכונות‪ .‬נסתכל‬ ‫על המטריצה ‪ ,BA‬עבור‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫= ‪,B‬‬ ‫= ‪A‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫= ‪AB‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫= ‪BA‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫ואכן קיבלנו גם שורה וגם עמודת אפסים במטריצה ‪ .BA‬אך עבור‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫= ‪,B‬‬ ‫= ‪A‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫= ‪AB‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫= ‪BA‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫אין כלל שורות או עמודות אפסים במטריצה ‪.BA‬‬ ‫תרגיל‪ :‬הוכיחו או הפריכו את הטענות הבאות ‪:‬‬ ‫‪.AB = 0 =⇒ A = 0 ∨ B = 0 .1‬‬ ‫לא נכון‪ ,‬נראה דוגמא נגדית ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪AB = 0‬‬ ‫‪−2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫=‪A‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪−2‬‬

‫‪A2 = 0 =⇒ A = 0 .2‬‬ ‫לא נכון‪ .‬נראה דוגמא נגדית ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪0 0‬‬

‫‪) AB = BA = B, B 6= 0 =⇒ A = I .3‬כאשר ‪ A, B‬ריבועיות(‪.‬‬ ‫לא נכון‪,‬‬ ‫‪AB = B =⇒ AB − B = 0 =⇒ (A − I)B = 0‬‬ ‫אך ראינו בסעיף ראשון כי מכך לא בהכרח נובע כי ‪ ,A − I = 0‬כלומר לא בהכרח‬ ‫‪ .A = I‬דוגמה נגדית )נשתמש בדוגמה מסעיף קודם(‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫=‪, B‬‬ ‫=‪A‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫= ‪AB‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪=B‬‬ ‫=‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫= ‪BA‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫=‬ ‫‪=B‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫אבל‪ ,‬אם ניקח למשל‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪B‬‬ ‫‪−2 −2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫=‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪−2 −2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪=B‬‬ ‫=‬ ‫‪−2 −2‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫=‪A‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪AB‬‬

‫זו דוגמה נגדית לטענה ‪ AB = B, B 6= 0 ⇒ A = I‬אבל ללא התנאי ‪.BA = B‬‬ ‫תרגיל )בונוס( ֲֲ ֹֹֹ‪ :‬שימוש בכפל מטריצות לחישוב סדרת פיבונאצ'י‪ :‬סדרת פיבונאצ'י היא סדרת‬ ‫מספרים המוגדרת באופן אינדוקטיבי באופן הבאה‪:‬‬ ‫‪F1 = 1, F2 = 1, Fn = Fn−1 + Fn−2 , n ≥ 3‬‬ ‫כלומר‪.1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... ,‬‬ ‫טענה‪ :‬עבור ‪ n ≥ 2‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n−2  ‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 0‬‬

‫=‬

‫‪‬‬

‫‪Fn‬‬ ‫‪Fn−1‬‬

‫‪‬‬

‫נוכיח באינדוקציה‪ :‬עבור ‪ n = 2‬נכון‪ .‬נניח כי נכון עבור ‪ n‬ונוכיח ‪:n 7→ n + 1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n−2   ‬‬ ‫‪n−1  ‬‬ ‫‪Fn + Fn−1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪Fn‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪Fn+1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪Fn‬‬ ‫‪Fn‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪Fn−1‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪1 0‬‬

‫כנדרש‪.‬‬ ‫כעת נוכל לחשב בנוחות יחסית את ‪ F18‬בסדרה‪:‬‬ ‫‪16   ‬‬ ‫‪8   ‬‬ ‫‪4  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪5 3‬‬ ‫‪F18‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪F17‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2584‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1597‬‬

‫‪987‬‬ ‫‪610‬‬

‫‪‬‬ ‫‪2   ‬‬ ‫‪1597‬‬ ‫‪34 21‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪987‬‬ ‫‪21 13‬‬

‫ולכן ‪.F18 = 2584‬‬ ‫כפל ומטריצות אלכסוניות‬ ‫= ‪ D‬הנה המטריצה הריבועית מהצורה הבאה‪:‬‬ ‫הגדרה מטריצה אלכסונית ) ‪(d 1 , . . . d n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪dn‬‬ ‫כלומר‪ ,‬האיברים שאינם על האלכסון הראשי כולם ‪.0‬‬

‫תרגיל‪ :‬הוכיחו כי סכום ומכפלה של מטריצות אלכסוניות הינם מטריצות אלכסונית‪.‬‬ ‫פתרון‪ :‬יהיו ) ‪ A = (aij‬ו־) ‪ B = (bij‬מטריצות אלכסוניות מסדר ‪.n‬‬ ‫עבור חיבור‪ :‬יהיו ‪ .1 ≤ i, j ≤ n‬אז‬ ‫(‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪i 6= j‬‬ ‫= ‪[A + B]ij = aij + bij‬‬ ‫‪aij + bij , i = j‬‬ ‫כלומר ‪ A + B‬אלכסונית‪.‬‬ ‫עבור כפל‪ :‬יהיו ‪ .1 ≤ i, j ≤ n‬אז‬ ‫‪aik bkj = ai1 b1j + ... + aiibij + ... + aij bj j + ... + ain bnj‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬

‫= ‪[AB ]ij‬‬

‫‪k=1‬‬

‫אבל לכל ‪ .aij = bij = 0 :i 6= j‬לכן אם ‪ i 6= j‬לכל ‪ 1 ≤ k ≤ n‬מתקיים‪aik = 0 :‬‬ ‫או ‪ .bkj = 0‬לכן ‪ .[AB]ij = 0‬נניח כעת ‪ .i = j‬אז‬ ‫‪aik bki = aiibii‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬

‫= ‪[AB ]ii‬‬

‫‪k=1‬‬

‫מסקנה‪ :‬כל שתי מטריצות אלכסניות מתחלפות‪ .‬כלומר‪ ,‬לכל שתי מטריצות אלכסניות ‪A, B‬‬ ‫מתקיים ‪.AB = BA‬‬

‫‪7‬‬

‫הוכחה‪ :‬ראינו בתרגיל הקודם‪ ,‬שאם ) ‪(a1 , . . . , an‬‬ ‫) ‪(a1 b1 , . . . , an bn‬‬

‫= ‪ A‬ו־) ‪(b1 , . . . , bn‬‬

‫= ‪ B‬אז‬

‫= ‪AB‬‬

‫ומחילופיות הסקלרים ‪ ai , bi‬נקבל‪:‬‬ ‫‪(b1 a1 , . . . , bn an ) = BA‬‬

‫= ) ‪(a1 b1 , . . . , an bn‬‬

‫סימון לכל סקלר ‪ ,λ‬מטריצה מהצורה )‪(λ, . . . , λ‬‬

‫= ‪AB‬‬

‫= ‪ λI‬נקראת מטריצה סקלרית‪.‬‬

‫משפט‪ :‬תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית מסדר ‪ .n‬אז ‪ A‬מתחלפת עם כל מטריצה ריבועית מסדר‬ ‫‪ n‬אמ"מ ‪ A‬הינה מטריצה סקלרית‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬כיוון אחד טריוויאלי‪ :‬נניח כי ‪) A = λI‬מטריצה סקלרית( ו־‪ B‬מטריצה ריבועית‬ ‫מסדר ‪ .n‬אז ‪ .AB = (λI )B = λ(IB ) = λ(BI ) = B(λI ) = BA‬כלומר ‪A‬‬ ‫מתחלפת עם כל מטריצה ריבועית מסדר ‪.n‬‬ ‫בכיוון השני נניח ש־ ‪ A‬מתחלפת עם כל כל מטריצה ריבועית מסדר ‪ .n‬נסמן לכל‬ ‫‪1 ≤ i, j ≤ n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 ··· 0 ··· 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪E(i, j) = 0 · · · 1 · · · 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 ··· 0 ··· 0‬‬ ‫כלומר זו מטריצה שבמיקום ה־‪ i, j‬שלה מופיע ‪ ,1‬ו־‪ 0‬בכל מקום אחר )מטריצות אלו‬ ‫הן כמו אבני בניין למטריצות עם הפעולות האלמנטריות שלמדנו(‪.‬‬ ‫נשים לב כי‪:‬‬ ‫המכפלה )‪ AE(i, j‬מחזירה את העמודה ה־‪ i‬של ‪ A‬בתור העמודה ה־‪ j‬במטריצה‬ ‫החדשה‪.‬‬ ‫המכפלה ‪ E(i, j)A‬מחזירה את השורה ה־‪ j‬של ‪ A‬בתור השורה ה־‪ i‬במטריצה החדשה‪.‬‬ ‫כעת‪ ,‬עבור ‪ 1 ≤ i ≤ n‬מתקיים‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫··· ‪0‬‬ ‫‪a1i‬‬ ‫‪··· 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a2i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫· · · ‪AE(i, i) = 0‬‬ ‫‪· · · 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an−1i‬‬ ‫··· ‪0‬‬ ‫‪ani‬‬ ‫‪··· 0‬‬

‫)כל העמודות ששונות מהעמודה ה־ ‪ i‬הן עמודות אפסים(‪ .‬באופן דומה‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫··· ‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫···‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪E(i, i)A = ai1 ai2 · · · ain−1 ain ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫··· ‪0‬‬ ‫···‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫)כל השורות ששונות מהשורה ה־ ‪ i‬הן שורות אפסים(‪ .‬מההנחה ש־ ‪ A‬מתחלפת‬ ‫עם כל מטריצה ריבועית‪ .AE(i, i) = E(i, i)A ,‬לכן‪ ,‬בהכרח‪ ,‬לכל ‪ j 6= i‬מתקיים‬ ‫‪ .aij = aji = 0‬קיבלנו ש־ ‪ A‬אלכסונית‪ .‬נותר להוכיח כי‬ ‫‪a11 = a22 = · · · = ann‬‬ ‫כלומר ‪ A‬מטריצה סקלרית‪ .‬לשם כך יהי‬ ‫‪‬‬ ‫‪··· 0 ··· 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪· · · 0 · · · 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪··· 0 ··· 0‬‬

‫‪ .1 ≤ i ≤ n‬נוכיח כי ‪ .aii = a11‬מתקיים‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a2i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪AE(i, 1) = ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an−1i‬‬ ‫‪ani‬‬

‫)כל העמודות השונות מ־ ‪ 1‬הן עמודות אפסים(‪ .‬ו־‬ ‫‪‬‬ ‫···‬ ‫‪0‬‬ ‫···‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪E(i, 1)A = a11 a12 · · · a1n−1 a1n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫··· ‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫···‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫)כל השורות השונות מ־ ‪ i‬הן שורות אפסים(‪ .‬שוב‪ ,‬מההנחה‪AE(i, 1) = E(i, 1)A ,‬‬ ‫ולכן ‪ .aii = a11‬לכן‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a11‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A=‬‬ ‫‪ = a11 I‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a11‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a11‬‬ ‫כנדרש‪.‬‬

‫‪ 3‬המטריצה המשוחלפת‬ ‫עבור מטריצה ‪ A‬מסדר ‪ ,m × n‬המטריצה המשוחלפת המסומנת ‪ ,At‬הינה מטריצה מסדר‬ ‫‪ n × m‬המתקבלת מהחלפת השורות והעמודות במטריצה ‪:A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a11 a21 . . am1‬‬ ‫‪a11 a12 . . a1n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a21 a22 . . a2n ‬‬ ‫‪ , At =  a12 a22 . . am2 ‬‬ ‫‪A=‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪. .‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪. .‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪a1n a2n . . amn‬‬ ‫‪am1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪. . amn‬‬ ‫כלומר אם ‪ (A)ij = aij‬אז ‪.(AT )ij = (A)ji = aji‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪1 4‬‬ ‫‪1 2 3‬‬ ‫‪= 2 5 ‬‬ ‫‪4 5 6‬‬ ‫‪3 6‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪3.0.1‬‬

‫תכונות‬ ‫‪t t‬‬

‫‪. (A ) = A .1‬‬ ‫‪ .2‬יהי ‪.(αA)t = αAt ,α ∈ F‬‬ ‫‪.(A ± B)t = At ± B t .3‬‬ ‫‪t‬‬

‫‪ (A · B) = B t · At .4‬כאשר ‪ A‬מסדר ‪ m × n‬ו־ ‪ B‬מטריצה ‪.n × r‬‬ ‫דוגמה‪ :‬נסמן‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫= ‪,B‬‬ ‫= ‪A‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0 2‬‬ ‫= ‪At‬‬ ‫= ‪, Bt‬‬ ‫‪1 4‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪4 9‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫=‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪8 19‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4 8‬‬ ‫‪0 2 1 3‬‬ ‫‪4 8‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫=‬ ‫= ‪,B · A‬‬ ‫=‬ ‫‪9 19‬‬ ‫‪1 4‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪9 19‬‬

‫‪A·B‬‬

‫=‬

‫‪t‬‬

‫) ‪(A · B‬‬

‫הוכחה של ‪ :4‬לפי הגדרת השחלוף והכפל‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ T  T‬‬ ‫‪A kj B ik‬‬

‫= ‪(A)jk (B )ki‬‬

‫‪k=1‬‬

‫‪k=1‬‬

‫‪ij‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬

‫= ‪(AB)ji‬‬

‫=‬

‫‪n‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ T  T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫=‬ ‫)‪B ik A kj = (B ) (A‬‬

‫‪ij‬‬

‫‪i‬‬

‫‪T‬‬

‫) ‪(AB‬‬

‫‪h‬‬

‫‪k=1‬‬

‫תרגיל תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית מעל הממשיים‪ .‬נתון כי סכום איברי האלכסון הראשי של‬ ‫המטריצה ‪ A · At‬הוא אפס‪ .‬האם בהכרח ‪?A = 0‬‬ ‫פתרון נסמן‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪a11 a21 . . . an1‬‬ ‫‪a11 a12 . . . a1n‬‬ ‫‪ a21 a22 · · · a2n  a12 a22 · · · an2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ·‬‬ ‫‪A · At = ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪a1n a2n · · · ann‬‬ ‫‪an1 an2 · · · ann‬‬ ‫האיבר ה־‪ jj‬במטריצה נראה כך )למעשה הכפלה של השורה ה־ ‪ j‬של ‪ A‬בעצמה ולכן נקבל‬ ‫סכום ריבועים(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪aji‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬

‫‪10‬‬

‫ע"פ הנתון‪ ,‬הסכום הבא שווה אפס‪:‬‬ ‫‪=0‬‬

‫!‬

‫‪a2ji‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬

‫‪j=1‬‬

‫אולם‪ ,‬הסכום הנ"ל הינו סכום של ריבועים מעל ‪ R‬ולכן מתאפס רק כאשר ‪ aij = 0‬לכל‬ ‫‪ .i, j‬ולכן בהכרח ‪.A = 0‬‬

‫‪ 4‬מטריצות סימטריות ואנטי־סימטריות‬ ‫הגדרה‪ :‬נאמר שמטריצה ‪ A‬היא סימטרית אם ‪ ,AT = A‬נאמר שמטריצה ‪ A‬אנטי־סימטרית‬ ‫אם ‪.AT = −A‬‬ ‫הערה‪ :‬כל מטריצה אלכסונית הנה סימטרית )ובפרט‪ ,‬כל מטריצה סקלרית‪ ,‬ובפרט‪.(I ,‬‬ ‫תרגיל‪ :‬הוכיחו כי אם ‪ A, B‬סימטריות‪ ,‬אז ‪ A + B‬סימטרית‪.‬‬ ‫פתרון‪ :‬מתכונות השחלוף‬ ‫‪T‬‬

‫‪(A + B) = AT + B T = A + B‬‬

‫בבית תראו שכפל של מטריצות סימטריות הוא סימטרי אם ורק אם המטריצות מתחלפות‪.‬‬ ‫תרגיל‪ :‬נניח כי ‪ A‬מטריצה סימטרית‪ λ ,‬סקלר‪ .‬הוכיחו כי ‪ λA‬סימטרית‪.‬‬ ‫פתרון‪ :‬מתכונות השחלוף‬ ‫‪T‬‬

‫‪(λA) = λAT = λA‬‬

‫תרגיל‪ :‬הוכיחו שעבור כל מטריצה ‪ ,A‬המטריצה ‪ AAT‬היא מטריצה סימטרית‪.‬‬ ‫פתרון‪ :‬מתכונות השחלוף‬ ‫‪ T T‬‬ ‫‪= (AT )T AT = AAT‬‬ ‫‪AA‬‬ ‫תרגיל‪ :‬נניח כי ‪ A‬מטריצה ריבועית כלשהי‪ .‬הוכיחו כי ‪ A + AT‬הנה סימטרית‪.‬‬ ‫פתרון‪ :‬מתכונות השחלוף‬ ‫‪‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ T‬‬ ‫‪A + AT‬‬ ‫‪= AT + AT‬‬ ‫‪= AT + A = A + AT‬‬ ‫תרגיל‪ :‬נניח כי ‪ A‬מטריצה ריבועית כלשהי‪ .‬הוכיחו כי ‪ A − AT‬הנה אנטי־סימטרית‪.‬‬ ‫‪11‬‬

‫פתרון‪ :‬מתכונות השחלוף‬ ‫‪‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ T‬‬ ‫) ‪= AT − A = −(A − AT‬‬ ‫‪A − AT‬‬ ‫‪= AT − AT‬‬ ‫תרגיל‪ :‬הראו כי כל מטריצה ריבועית ניתנת לרישום כסכום של מטריצה סימטרית ומטריצה‬ ‫אנטי־סימטרית‪.‬‬ ‫פתרון‪ :‬מתקיים‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A + AT + A − AT‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A − AT‬‬ ‫‪A + AT +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪2A‬‬ ‫= ‪A‬‬

‫תרגיל תהי ‪ A‬מטריצה אנטי־סימטרית ממשית‪ .‬הוכיחו כי כל האיברים על האלכסון הראשי‬ ‫שווים ל־‪.0‬‬ ‫פתרון ‪ ,AT = −A‬ולכן לכל ‪ j‬מתקיים‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪(A)jj = AT jj = (−A)jj = − (A)jj‬‬

‫נעביר אגפים ומכאן ‪.(A)jj = 0‬‬

‫‪12‬‬...