3 - Transformaciones Geométricas PDF

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Didáctica de la matemática Universidad de Alicante

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS Los movimientos (o isometrías) del plano son las transformaciones geométricas planas que conservan el tamaño (distancias) y la forma (ángulos). (Traslaciones, giros y simetrías). Las coordenadas o componentes de un vector ū=AB son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen

Suma /resta de vectores

Las traslaciones son transformaciones que quedan determinadas por un vector. Una traslación de vector ū es una transformación que asigna a cualquier punto P del plano otro punto P’ de manera que PP’ = ū. Se dice que P’ es la imagen de P por la traslación de vector ū, lo que se denota por

En la figura siguiente el triángulo E’F’G’ es el trasladado del triángulo EFG

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Observamos que la coordenada de E es (2,2) y que la de E’, su imagen, es (5,4). Entonces concluimos que E se desplazó 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba. Comprueba que ocurre lo mismo con F y G, con respecto a F’ y G’. Entonces el vector de traslación del triángulo EFG es (3,2). http://roble.pntic.mec.es/~rsoto1/descartes/vectores.htm

Los giros (o rotaciones) son transformaciones que quedan determinadas por un punto (centro de la rotación) y un ángulo orientado. Un giro de centro O y ángulo a es una transformación que asigna a cualquier punto P del plano otro punto P’ de forma que

Se escribe

Por convenio el ángulo es negativo si el avance de P a P’ se produce en el sentido de las agujas del reloj.

Las simetrías (axiales) o reflexiones son transformaciones que quedan determinadas por una recta (eje de simetría). Una simetría de eje r es una transformación que asigna a cualquier punto P del plano otro punto P’, de manera que PP’ es perpendicular a r y

En otras palabras: se dice que P’ es la imagen de P respecto de r si r es la mediatriz del segmento PP’. Se escribe:

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Los giros de 180 grados también recibe el nombre de simetrías centrales. Hay que precisar que estas simetrías, por su definición, no poseen eje, sino centro de simetría. De esta forma una simetría central de centro O es una transformación que asigna a cualquier punto P del plano otro punto P’, de manera que O pertenece a la recta que pasa por P y P’ y

Así, en el siguiente ejemplo, O es el centro de la simetría. Se observa que d(A,O) = d(A’,O), d(B,O) = d(B’,O), d(C,O) = d(C’,O), d(D,O) = d(D’,O).

Hay figuras que coinciden con ellas mismas cuando se aplica una simetría axial, son las figuras simétricas. Al eje se le llama eje de simetría de la figura. Una figura simétrica puede tener más de un eje. El centro de simetría es el punto intersección de los ejes de simetría.

En la práctica no suele darse un movimiento simple, sino como composición de varios movimientos. Por ejemplo, si alguien dice ‘date la vuelta y ven hacia mí’, se ha de efectuar un giro de 180 grados y una traslación. La realización consecutiva de dos movimientos se denomina composición o producto de movimientos

Referencia: Carrillo, J., Contreras, L.C. Transformaciones geométricas. En E. Castro (Editor) (2002) Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria. Madrid: Síntesis.

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Traslaciones Link de ayuda: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Movimientos_en_el _plano/Movi2.htm 1. ¿Cuál es el transformado del cuadrilátero ABCD mediante la traslación definida por el vector dado en la figura? ¿Cuál es el vector de la traslación?

2. Usando la cuadricula y los ejes cartesianos a) Una traslación en el plano viene definida por el vector v= (2, 3) • Hallar la imagen por dicha traslación de los puntos A(2, 3), B(-2, -1), C(2, -3) b) Una traslación en el plano viene definida por el vector u= (2, -3) • Hallar la imagen por dicha traslación del punto A(2,3), B(-2, -1), C(2, -3)

c) Si el punto A (2,1) tiene como trasladado al punto A’ (4,0). Indica cuál es el vector de la traslación v

3. a) Considera la figura F (en negro). Indica en cada caso el vector de la traslación que transforma la figura F en las figuras 1,2,…6. b) Aplica una traslación de vector v = (-8,-3) a la figura 1.

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4. En una traslación mediante el vector v, el punto A (2,3) se transforma en A’ (1,2), Dibuja en los ejes de coordenadas los transformados de las siguientes figuras • Circunferencia de centro (0,0) y radio r=2 • Triangulo ABC cuyos vértices son los puntos A(-1, -1), B(4, 0) y C(1,2) • Cuadrilátero de vértices A(-1,2), B(1,4), C(4,1) y D(2,0) 5. Indica cuál es el vector de traslación en los siguientes casos a) si el triángulo original es ABC b) si el triángulo original es A'B'C'

a) si el circulo original es el que tiene centro A b) si el círculo original es el que tiene centro C

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Simetrías 6. Señala los ejes de simetría en cada una de las figuras siguientes. 1

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7. En la cuadrícula de abajo hay una figura que llamamos F y tres rectas remarcadas (1, 2 y 3) que servirán como ejes de simetría: a) Aplica la simetría de eje 1 a la figura F, obtienes así la figura F1. Dibújala en la cuadrícula. b) Aplica a la nueva figura F1 una simetría de eje 3, obtienes otra figura, F2. Dibújala en la cuadrícula. c) Aplica a la figura F2 una simetría de eje 2, obtienes la figura F3. Dibújala en la cuadrícula. d) ¿Podrías transformar F en F2 utilizando una sola isometría? Si es así, indica de qué tipo es y los elementos que la definen. e) ¿Hay alguna isometría para transformar directamente la figura F1 en la figura F3? Indica de qué tipo es y los elementos que la definen.

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8. Razona en qué casos una composición de simetrías axiales es una simetría central.

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Giros 9. Usando la cuadricula y los ejes cartesianos a) Un giro en el plano viene definido por el punto O (2,3) y el ángulo de giro α = 90º • Hallar la imagen por dicho giro de los puntos A(2,4), B(-2, -1), C(2, -3) b) Un giro en el plano viene definida por el punto O(2,-3) y el ángulo de giro α = 90º • Hallar la imagen por dicho giro de los puntos A(2,3), B(-2, -1), C(2, -3)

c) Si el punto A (2,0) tiene como imagen por un giro al punto A’ (0,2). Indica cuál es el centro y el ángulo de dicho giro

10. La figura F se ha transformado en las figuras 1 y 2 mediante giros de centro O. a) Averigua los correspondientes ángulos de giro, explicando el procedimiento seguido. b) Aplica a la figura F un giro de centro O y ángulo 180º.

11. En un giro de centro O y ángulo α, el punto A(3,3) se transforma en A’(1,3). Dibuja en los ejes de coordenadas los transformados de las siguientes figuras • Circunferencia de centro (0,0) y radio r=2 • Triangulo ABC cuyos vértices son los puntos A(-1, -1), B(4, 0) y C(1,2) • Cuadrilátero de vértices A(-1,2), B(1,4), C(4,1) y D(2,0)

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12. En las siguientes figuras, indicar el centro y los ángulos de giro α que transforman a cada una de ellas en sí mismas.

Traslaciones, Simetrías y Giros 13. La figura 1 se transforma en cada una de las figuras 2, 3 y 4 por una isometría. Indica qué tipo de transformación corresponde a cada una de ellas indicando además los elementos que la definen.

Y 1 3 4 2

X

14. Partiendo de la figura que aparece sobre la trama, dibuja las figuras que se irían obteniendo al aplicar sucesivamente cada una de las transformaciones geométricas que se indican. 1º Una simetría axial de eje e. 2º Un giro de 180º con centro en A. 3º Una traslación de vector (–1, 3).

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15. Dado un cuadrado, llama O a su centro. ¿Qué giros con centro en O dejan invariante el cuadrado? ¿Qué simetrías axiales dejan invariante la figura? 16. Se dice que una transformación T’ es inversa de otra T cuando compuesta con ella da lugar a la identidad. Encuentra la transformación inversa en cada uno de los siguientes apartados: a) Una traslación de vector t (-6,2) b) Un giro de centro O (0,0) y ángulo α=-60º c) Una simetría de eje la recta y=x. 17. La composición de transformaciones no cumple la propiedad conmutativa. Sin embargo si las transformaciones son de ciertos tipos, sí se cumple la propiedad conmutativa. Justifica en cuáles de los siguientes casos es así y en cuáles no: a) Composición de dos traslaciones. b) Composición de dos giros del mismo centro. c) Composición de dos simetrías axiales. http://www.acorral.es/geogebra/prac2simetri.html d) Composición de una traslación y un giro. http://galeon.com/jjisach/geometria/girotraslacion.html

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Isometrías: Traslaciones, giros y simetrías 1. ¿Cuál de las siguientes letras de nuestro abecedario no tiene ningún eje de simetría? a) C

b) M

c) A

d) R

e) X

2. Los triángulos 2, 3, 4 y 5 han sido obtenidos a partir del triángulo 1. ¿Cuál de ellos corresponde al simétrico del triángulo 1? a) triángulo 2

b) triángulo 3

c) triángulo 4

d) triángulo 5

e) Ninguno

d) 3

e) 4

3. ¿Cuántos ejes de simetría tiene la figura siguiente?

a) 0

b) 1

c) 2

4. ¿Qué figura muestra todo los ejes de simetrías de un rectángulo?: a)

b)

c)

d)

e) Ninguna de las anteriores

5. Al trasladar el triángulo de vértices A (-1,5), B(2,0) y C(3,1), según el vector de traslación (4,1), el vértice homólogo correspondiente a B’ es: a) (3,6)

b) (2,1)

c) (6,0)

d) (6,1)

e) (7,2)

6. Una circunferencia tiene como centro el punto (3,5). Si el vector de traslación de este punto es (-5, 1), ¿Cuál es el centro de la circunferencia trasladada? a) (-2,6)

b) (8,6)

c) (-2,4)

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d) (-15,5)

e) (8,4)

Didáctica de la Matemática Universidad de Alicante Cubrimientos del plano Un cubrimiento del plano (embaldosar o teselar) significa recubrir el plano con figuras que se repiten de modo que al unir las figuras se recubre completamente el plano y la intersección de dos figuras es vacía (sin huecos). Entre los tipos de cubrimientos destacamos los frisos y mosaicos. Un friso es un cubrimiento de la región del plano limitada por dos rectas paralelas. Un mosaico es un cubrimiento de todo el plano. 1. ¿Qué isometrías dan lugar a los siguientes frisos y mosaicos?

Lámina de Escher

Lámina de Escher

Lámina de Escher

Lámina de Escher

2. ¿Se puede cubrir el plano con cualquier polígono regular? Justifica tu respuesta....