Tema 3: Dinámica del espacio de fases. Transformaciones canónicas PDF

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Apuntes del Tema 3 de Mecánica Teórica, del profesor Petero. Los apuntes son antiguos pero contienen el temario actual y el profesor los sigue en muchas ocasiones....

Description

´ 1 TRANSFORMACIONES CAN ONICAS

1

Mec´anica Te´orica Curso 2008-2009 Din´ amica en el espacio de las fases. Transformaciones can´ onicas. Formulaci´ on simpl´ ectica. Invariantes can´ onicos. Teorema de Liouville para flujos hamiltonianos y no hamiltonianos.

1.

Transformaciones can´ onicas

Una gran ventaja de la formulaci´on hamiltoniana frente a la lagrangiana es el hecho de que dispongamos de dos familias independientes de funciones, las posiciones y los momentos, para describir la din´amica del sistema. La elecci´on de esta pareja condiciona la dificultad que vamos a encontrar al resolver el problema. As´ı si H es una constante del movimiento y todas las coordenadas son c´ıclicas, los momentos, αi , son constantes y el hamiltoniano es funci´on exclusivamente de estas constantes H(α1 , . . . , αn ) La ecuaci´on de Hamilton lleva a que q˙i =

∂H = ωi (α1 , . . . , αn ) ∂αi

de modo que qi = ωi t + βi donde las βi son constantes de integraci´on que se determinan por las condiciones iniciales. La idea de las transformaciones can´onicas es escoger unas coordenas y momentos que faciliten la resoluci´on del problema. Supongamos unas variables Qi , Pi definidas como funciones de las variables qi pi , mediante las relaciones de transformaci´on Qi = Qi (q, p, t), Pi = Pi (q, p, t),

(i = 1, . . . , n)

(1)

La matriz de la transformaci´on M es la matriz cuadrada 2n × 2n M=

 ∂Q1 ∂q  .1  .  . ∂P1 ∂q1

... .. .

∂Q1 ∂pn

...

∂P1 ∂pn

.. .

   

El determinante de esta matriz es el Jacobiano de la transformaci´on J = det M y se supone que no se anula en ning´ un punto de inter´es, de modo que la transformaci´on es invertible y permite escribir tambi´en las (q, p) en funci´on de las (Q, P, t).

´ 1 TRANSFORMACIONES CAN ONICAS

2

Diremos que una transformaci´on del tipo anterior es can´ onica si para todo sistema hamiltoniano, la estructura de las ecuaciones hamiltonianas se mantiene al cambiar de variables. N´otese que no estamos diciendo que el hamiltoniano se mantenga invariante en la transformaci´on, ni tampoco que la estructura de las ecuaciones de Hamilton se mantenga s´olo para un Hamiltoniano en particular. Lo que decimos es que dado un Hamiltoniano arbitrario, H(q, p, t) tal que ∂H(q, p, t) ∂H(q, p, t) , q˙i (t) = , p˙ i (t) = − ∂pi ∂qi exista un K(Q; P ; t) tal que podamos escribir ∂K(Q, P, t) ˙ ∂K(Q, P t) , Pi (t) = − Q˙ i (t) = ∂Pi ∂Qi siendo K una funci´on en general diferente de la H. Las nuevas coordenadas (Q, P ) son v´ alidas para cualquier problema que tenga los mismos grados de libertad, no estando ligadas al viejo hamiltoniano H . Puesto que el principio de Hamilton para los sistemas hol´onomos establece que la trayectoria real que el sistema sigue desde la posici´ on que ocupa en instante t1 a la posici´on en el instante t2 satisface la condici´on δ

Z t2

ds L(q, q; ˙ t) = δ

Z t2

ds

t1

t1

" n X i=1

#

pi q˙i − H = 0

si una transformaci´on es can´onica debe satisfacerse el principio de Hamilton para ambas familias de variables. Es decir, debe verificarse simult´ aneamente que δ

δ

Z t2 t1

Z t2 t1

dt

dt

"

"

X i

X i

#

pi q˙i − H(q, p, t) = 0; #

Pi Q˙ i − K(Q, P, t) = 0;

Las mismas relaciones se satisfacen si se les multiplica por constantes. De ambas relaciones se obtinene que δ

Z t2 t1

( "

dt c

X i

#

pi q˙i − H(q, p, t) −

"

X i

Pi Q˙ i − K(Q, P, t)

#)

=0

pero para que esta integral se cancele es suficiente con que el integrando sea la derivada de una funci´on de las variables can´ onicas. Estos es que 1 c 1

N´otese que δ mismos puntos.

R t2 t1

"

X i

#

pi q˙i − H −

"

X i

#

˙ i − K = dF Pi Q dt

(2)

t = δF |t12 = 0 ya que todas las trayectorias, en los extremos, coinciden en los ds dF ds

´ 1 TRANSFORMACIONES CAN ONICAS

3

siendo F una funci´on de las coordenadas can´onicas y t con segundas derivadas continuas y c una constante. En forma diferencial, c

"

X i

#

pi dqi − Hdt =

"

X i

#

Pi dQi − Kdt + dF

(3)

Como afirma Gantmacher (ver Bibliograf´ıa, p. 131) : “Una condici´on necesaria y suficiente para que la transformaci´on sea can´onica es que exista una funci´ on F (la funci´on generatriz) y una constante c 6= 0 tal que la condici´ on (3) se satisfaga id´enticamente en virtud de dicha transformaci´on”. Por ejemplo, si consideramos la transformaci´on de escala definida por Qi = µqi , Pi = νpi , es f´acil ver que esta transformaci´on es can´onica con K = µνH. Pero en esta caso, c = µν y F = cte.. Esta transformaci´on de escala es, como afirma Goldstein, trivial (ver Bibliograf´ıa, p.465). En lo que sigue, vamos a excluir este tipo de transformaciones. As´ı mismo, s´ olo consideraremos transformaciones en las que c = 1. La funci´on generatriz debe ser una funci´on tanto de las variables nuevas como de las viejas, de modo que permita obtener unas en funci´on de las otras. Pero de las 4n variables en juego, q, p, Q, P , s´olo 2n son linealmente independientes ya que entre la nuevas y las viejas existen 2n relaciones. Si los momentos pueden expresarse en funci´on de las coordenadas la funci´on generatriz ser´ıa funci´ on s´olo de las coordenadas, esto es F = F1 (q, Q, t). Caso de no ser as´ı, pero pi = pi (q, P, t) y Qi = Qi (q, P, t), la funci´on geratriz ser´ıa entonces F = F2 (q, P, t). Las dependencias funcionales mas frecuentes de la funci´on generatriz son F = F1 (q, Q; t),

F = F2 (q, P ; t),

F = F3 (p, Q; t),

F = F4 (p, P ; t)

seg´ un las parejas de variables que sean independientes. Si en (3) F = F1 (q, Q, t). La diferencial de esta funci´on es dF1 =

X i

"

#

∂F1 ∂F1 ∂F1 dqi + dt dQi + ∂t ∂qi ∂Qi

Comparando con (3) y ya que q y Q son linealmente independientes tenemos que pi =

∂F1 ; ∂qi

Pi = −

∂F1 ; ∂Qi

K=H+

∂F1 ∂t

(4)

Como nuestro objetivo es obtener (Q, P ) en funci´ on de las (q, p), debemos despejar convenientemente en las dos primeras ecuaciones en (4). Para que esto sea posible, hay que admitir que det(∂ 2 F1 /∂Qi ∂qj ) = 6 0. Es conveniente tambi´en se˜ nalar que en la tercera de las ecuaciones de (4) hay que hacer varias cosas: sustituir en la H(q, p, t) dada las q y p por las nuevas Q y P , sustituir en F1 la q por Q, P , tomar la derivada parcial con respecto a t y luego sumar ambas expresiones. Por u ´ltimo, hay tambi´en que se˜ nalar que si F1 no depende expl´ıcitamente de t, entonces K se obtiene sin m´as que cambiar de variables en H(q, p, t).De este modo vemos c´omo obtener las ecuaciones de transformaci´on (1) a partir de la funci´ on generatriz. Lo inverso tambi´en es posible, invirtiendo (1) podemos expresar pi t Pi en funci´ on de qi y Qi .

´ 1 TRANSFORMACIONES CAN ONICAS

4

Integrando las dos primeras ecuaciones de (4) obtendr´ıamos F1 que estar´ıa indeterminada por la adici´on de una funci´on exclusivamente de t. Si la funci´on generatriz es funci´on de las variables q y P , sumando a (3) la igualdad d(

X

Qi Pi ) =

i

tenemos2

Qi Pi ) =

i

de donde se obtienen

∂F2 ; ∂qi

pi =

Qi dPi +

X

[pi dqi + Qi dPi ] + (K − H )dt

i

X

dF2 = d(F1 +

X

i

Qi =

X

Pi dqi

i

∂F2 ; ∂Pi

K=H+

∂F2 ∂t

(5)

con las mismas anotaciones que las hechas tras (4). Si tomamos F3 (p, Q, t) = F1 (q, Q; t) − hacerlos como ejercicio) se llega a qi = −

∂F3 ; ∂pi

P

i qi p i ,

Pi = −

procediendo como antes (los c´ alculos conviene ∂F3 ; ∂Qi

K=H+

∂F3 ∂t

(6)

P

Por u ´ltimo, si tomamos F4 (p, P, t) = F1 (q, Q; t) − i (qi pi − Qi Pi ) = F2 (q, P ; t) − llega a ∂F4 ∂F4 ∂F4 qi = − ; Qi = ; K=H+ ∂t ∂pi ∂Pi

P

i qi p i

se

(7)

P

Un caso trivial de transformaci´on del tipo F2 es aquella en la que F2 = i qi Pi . Es f´acil comprobar usando las f´ormulas en (5) que esta transformaci´on lleva a que pi = Pi , qi = Qi , K = H, por lo que se le llama la transformaci´on identidad. Como ejercicio puede comprobarse que las transformaciones equivalentes para las otras funciones generatrices son F1 =

X

qi Qi ,

i

F3 =

X

pi Qi ,

i

F4 =

X

pi Pi ,

i

2

Es evidente que F1 +

P

i Qi Pi

⇒

pi = Qi ,

⇒

qi = −Qi ,

⇒

Qi = pi ,

Pi = −qi Pi = −pi qi = −Pi

es una funci´on de las variables qi , Pi , t. Efectivamente  X X  ∂F1 X ∂F1 ∂F1 d(F1 + Qi Pi ) = dqi + (Pi dQi + Qi dPi ) dQi + dt + ∂qi ∂Qi ∂t i i i   X ∂F1 ∂F1 dqi + Qi dPi + dt = dF2 (q, P, t) = ∂qi ∂t i

donde hemos usado que Pi = −∂F1 /∂Qi .

´ MATRICIAL DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON 2 LA NOTACION

5

Consideremos como ejemplo un oscilador arm´onico monodimensional cuyo hamiltoniano es H=

p2 mω 2 q 2 + 2 2m

Apliquemosle una transformaci´on con funci´on generatriz F1 = p=

∂F1 = mωq cot Q, ∂q

P =−

mωq 2 cot Q, 2

tenemos que

∂F1 1 1 = mωq 2 2 sen Q ∂Q 2

Observemos que aqu´ı Q es adimensional y P tiene dimensiones de “energ´ıa × tiempo”. Es decir, las transformaciones can´onicas nos llevar´ a n en general a nuevas variables que son tan can´onicas como las originales, pero cuyo significado no est´ a ligado a “posiciones” o “cantidades de movimiento”. El hamiltoniano en las cuevas variables es K = H(Q, P ) = ωP cos2 Q + ωP sen2 Q = ωP las ecuaciones can´onicas en las nuevas variables son ∂K Q˙ = = ω, ∂P

∂k P˙ = − =0 ∂Q

es decir P = K/ω =conste. y Q = ωt + α. Deshaciendo el cambio tenemos s

q=

2K sen(ωt + α) mω 2

De modo an´alogo se obtiene p = mωq cot Q = mω

2.

s

√ 2K sen Q cot Q = 2mK cos(ωt + α) mω 2

La notaci´ on matricial de las ecuaciones de Hamilton

Consideremos un vector columna de 2n componentes η = (q1 , . . . , qn , p1 . . . , pn )T donde indica que es un vector columna. Sea la matriz cuadrada 2n × 2n J=

0 1 −1 0

!

T

(8)

donde con 0 indicamos una matriz de dimensi´on n × n con todos sus elementos nulos y con 1 la matriz identidad de igual dimensi´on que la anterior. Esta matriz tiene las siguientes propiedades: e = −J, det(J) = 1; JJ e 2 = J; J e = J−1 (9) J2 = −1; J

´ MATRICIAL DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON 2 LA NOTACION

6

donde la tilde indica la matriz traspuesta. Con esta notaci´ on, las ecuaciones de Hamilton las escribiremos como ∂H η˙ = J (10) ∂η

Consideremos una transformaci´on can´onica independiente del tiempo que nos lleva de η a unas nuevas variables ξ, esto es ξi = ξi (η1 , · · · , η2n ), i = 1, · · · , 2n. Los elementos de la matriz de transformaci´on son ∂ξi , (i, j = 1, . . . , 2n) Mij = ∂ηj Se sigue que ξ˙i =

X j

X ∂ξi Mij η˙ j η˙ j = ∂ηj j

⇒

∂H ξ˙ = Mη˙ = MJ ∂η

(11)

donde hemos utilizado (10). Expresemos el u ´ltimo vector de esta expresi´on en funci´on de las nuevas variables X ∂H ∂ξj X ∂H ∂H = = Mji ∂ηi j ∂ξj ∂ηi j ∂ξj

⇒

∂H f ∂H =M ∂η ∂ξ

donde H es la funci´on que resulta de sustituir en H(η, t), las variables η por las ξ dadas por la inversa de la transformaci´on can´onica. Sustituyendo esta expresi´ on en (11) tenemos f ∂H ˙ξ = M J M ∂ξ

(12)

Si la transformaci´on es can´onica e independiente del tiempo se tiene que cumplir que ˙ξ = J ∂H ∂ξ

(13)

Por tanto se cumple la condici´on simpl´ectica f =J MJM

(14)

La rec´ıproca tambi´en es cierta. Si M cumple la relaci´ on (14), la transformaci´on es can´onica. La condici´on simpl´ectica sigue siendo condici´ on necesaria y suficiente aunque la transformaci´on de coordenadas contenga expl´ıcitamente el tiempo. Vamos a considerar ahora el caso de que la transformaci´on sea expl´ıcitamente dependiente del tiempo. Seguiremos la linea argumental de Pars (ver Bibliograf´ıa, pp. 514-515). Consideremos la transformaci´on con ξi = ξi (η, t) caracterizada por Mij igual que antes, pero ahora estos elementos de matriz dependen expl´ıcitamente de t. Consideremos tambi´en la transformaci´on inversa con elementos de matriz mij =

∂ηi , ∂ξj

(i, j = 1, . . . , 2n)

´ MATRICIAL DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON 2 LA NOTACION

7

Observemos que M m = 13 . En las variables originales se cumple η˙ = J

∂H ∂η

(15)

Como en el caso de transformaciones independientes del tiempo se cumple ∂H f ∂H =M ∂η ∂ξ

(16)

y derivando la relaci´on ηi = ηi (ξ, t) con respecto al tiempo, obtenemos dηi X dξj ∂ηi = mij + ∂t dt dt j

(17)

que en notaci´on matricial escribimos como η˙ =

∂η + m ξ˙ ∂t

(18)

De (15),(16) y (18), se sigue que η˙ − J

∂η ∂H f ∂H = 0 + m ξ˙ − JM = ∂t ∂ξ ∂η

(19)

Multiplicando por la izquierda por la matriz M llegamos a ∂H M η˙ − J ∂η

!

=M

∂η f ∂H = 0 + ξ˙ − M J M ∂t ∂ξ

(20)

de donde se obtiene inmediatamente la ecuaci´on del movimiento para ξi , esto es, ∂η ∂η f ∂H + m f ∂H − M ˙ξ = M J M fJ = M JM ∂t ∂ξ ∂ξ ∂t

!

(21)

fm f = J y f J = M J J = −M. Pero si la transformaci´ ya que M J M on es can´onica M J M deber´ıa de existir una funci´on K tal que

˙ξ = J ∂K ∂ξ

(22)

Pero esto ser´a as´ı si K = H + L(ξ), tal que L(ξ), seg´ un (21), satisfaga f mJ

∂η ∂L = ∂ξ ∂t

pero al ser L(ξ) una diferencial exacta se debe cumplir ∂ 2L ∂ 2L = ∂ξr ∂ξs ∂ξs ∂ξr 3

Los elementos de matriz del producto M m es aij =

P

k

Mik mkj =

(23) P

∂ξi ∂ηk k ∂ηk ∂ξj

= δij .

´ MATRICIAL DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON 2 LA NOTACION

8

para comprobar esta sigualdad definimos el vector u u=J de modo que

El primer miembro de (23) es

∂η ∂t

X X ∂L f = msi ui = mis ui ∂ξs i i !

X ∂ηi ∂ui X ∂ 2 ηi ∂ 2L ∂ X ∂ηi ui + ui = = ∂ξr ∂ξr ∂ξs i ∂ξs i ∂ξs ∂ξr i ∂ξs ∂ξr

de modo an´alogo para el segundo miembro se obtiene la expresi´on !

X ∂ηi ∂ui X ∂ 2 ηi ∂ 2L ∂ X ∂ηi ui + ui = = ∂ξs i ∂ξr ∂ξs ∂ξr i ∂ξs ∂ξr i ∂ξr ∂ξs

la condici´on de diferencial exacta se expresa como X i

∂ηi ∂ui X ∂ηi ∂ui = ∂ξs ∂ξr i ∂ξr ∂ξs

(24)

Ahora bien seg´ un la definici´ on del vector u, ui =

X j

Jij

∂ηj ∂t

por lo que el primer miembro de (24) lo podemos expresar X

mis

i

X j

X ∂mjr X ∂mjr ∂m ∂ 2 ηj fsi Jij fJ mis Jij Jij m = = = m ∂ξr ∂t ∂t ∂t ∂t i,j i,j

!

sr

con la u ´ltima expresi´on indicamos el elemento de matriz rs del producto que aparece entre par´entesis. An´alogamente el segundo miembro de (24) X i

X ∂mjs X ∂ f ∂ηi ∂ui msj e Jji mir = = = mir Jij ∂t ∂t ∂ξr ∂ξs i,j i,j

f ∂m e Jm ∂t

!

sr

Por tanto concluimos que para que se cumpla (22) debe cumplirse la igualdad matricial f mJ

∂m = ∂t

f ∂m ∂t

!

Je m

e = −J y por tanto debe satisfacerse la condici´ on que Pero J f ∂m ∂m fJ + m ∂t ∂t

!

Jm =

∂ f J m) = 0 (m ∂t

(25)

´ MATRICIAL DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON 2 LA NOTACION

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pero si se cumple la condici´ on simpl´ectica, se verifica que f =J⇒m e =J e ⇒ mJm f Jm f =J MJM

donde hemos usado que J−1 = eJ = −J, esta relaci´on muestra que (25) se cumple efectivamente. As´ı pues, si se cumple la condici´on simpl´ectica, a´ un cuando la transformaci´on sea dependiente del tiempo es posible escribir   f ∂ H + L = J ∂K ξ˙ = MJ M ∂ξ ∂ξ

(26)

Esta larga demostraci´on tiene algunos pasos muy u ´tiles. Por ejemplo, supongamos que queremos averiguar las trayectorias de un sistema con H = ω 2 p(q + t)2 Resolver directamente las ecuaciones de Hamilton es farragoso. Es mejor introducir la transformaci´on Q = q + t, P = p ⇒ M = m = 1 Con la transformaci´on

H = ω 2 P Q2

Podemos evitar el c´alculo de K si usamos (21)  

 Q˙ 

P˙



= 



=  de donde

0

1

−1 0 0

1

−1 0

 



 

2ω 2 P Q ω 2 Q2

Z

dt,

 + 



ω 2 Q2 + 1

La integral de la primera es dQ = 2 ω Q2 + 1



2ω 2 P Q + 0

Q˙ = ω 2 Q2 + 1, Z



⇒

0

1

−1 0 

=

  ∂q    ∂t  ∂p ∂t

ω 2 Q2 + 1 −2ω 2 P Q





P˙ = −2ω 2 P Q Z

d(ωQ) =ω 1 + (ωQ)2

Z

dt

de donde se obtiene arctan(ωQ) = ωt + C, ⇒ Q =

1 tan(ωt + C) ω R

la integral de la segunda ecuaci´on tamb´ıen es f´acil si recordamos que dx tan(x) = − ln[cos(y )], dP = −2ω tan(ωt + C )dt, P

⇒

P = D cos2 (ωt + C )

´ MATRICIAL DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON 2 LA NOTACION

10

tanto C c´omo D son constantes de integraci´on. Sin m´as que deshacer el cambio, se obtienen las variable q(t), p(t). De este modo hemos obtenido las ecuaciones del movimiento sin hallar el hamiltoniano en las nuevas variables. Si queremos hallarlo podemos proceder del siguiente modo. utilizando los resultados obtenidos, tenemos ∂K Q˙ = 1 + ω 2 Q2 = , ∂P

∂K P˙ = −2ω 2 P Q = − ∂Q

integrando ambas ecuaciones K=

Z

(1 + ω 2 Q2 ) dP + f1 (Q),

K=

Z

2ω 2 P Q dQ + f2 (P )

y por tanto K = (1 + ω 2 Q2 )P + f1 (Q),

K = ω 2 P Q2 + f2 (P )

igualando ambas expresiones tenemos P + f1 (Q) = f2 (P ),

⇒

f1 (Q) = 0,

f2 (P ) = P

con lo que K = P (1 + ω 2 Q2 ) Otra forma de proceder ser´ıa a partir de una funci´on generatriz. Vamos a utilizar la funci´ on F2 (q, P, t). Sabe...