3.3.-diseño completamente aleatorizado y Anova PDF

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Ejercicio de Estadista inferencia 2 unidad 3 ...

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3.3. – DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIO Y ANOVA En esta unidad se presentarán los principios del diseño experimental relacionados con las metas establecidas por la hipótesis de investigación (la exactitud y precisión de las observaciones y la validez de los resultados del análisis). Construcción del diseño de investigación La hipótesis de investigación, el diseño del tratamiento y el diseño del estudio experimental o por observación, constituyen el diseño de investigación para el estudio. Los tratamientos se diseñan para resolver preguntas e hipótesis específicas que surgen en los programas de investigación. Por ejemplo, si un microbiólogo plantea la hipótesis de que la actividad de los microbios del suelo depende de las condiciones de humedad, se establecen tratamientos con distintos niveles de humedad para medir la actividad de los microbios y evaluar la hipótesis. Si un ingeniero de tránsito plantea la hipótesis de que la velocidad del tránsito se relaciona con el ancho de los carriles de las calles, para evaluar la hipótesis se seleccionan carriles con diferente anchura y se mide la velocidad de los automóviles en cada uno. El diseño de tratamiento debe encontrarse dentro del diseño del experimento. El investigador debe decidir que constituye una unidad experimental, cuántas réplicas de unidades experimentales exige cada tratamiento y que tratamiento asignar a cada una de ellas. ANÁLISIS DE VARIANZA (ANOVA) En muchos campos de aplicación se requiere comparar métodos, tratamientos o materiales, de acuerdo con algunos criterios predeterminados. Por ejemplo una organización de consumidores quizá desee determinar que marca de llantas dura más, en autopista; un investigador agrícola querría saber qué tipo de ejotes dan un rendimiento más alto; un investigador médico le interesa evaluar el efecto de diferentes medicamentos de patente para reducir la presión sanguínea. En esta unidad se examinarán técnicas desarrolladas para probar las diferencias en las medias de varios grupos. Esta metodología se clasifica bajo el título general de análisis de varianza o ANOVA. Primero se considerará un modelo ANOVA completamente aleatorizado o en un sentido que solo tiene un factor con varios grupos (como pueden ser el tipo de llanta, la variedad de ejotes, la medicina de patente). Sin embargo, el análisis de varianza se puede ampliar fácilmente para manejar casos donde se estudie más de un factor en un experimento.

PROBLEMA DE “ANOVA” 1.- En un experimento para determinar el efecto de la nutrición sobre los intervalos de atención de los estudiantes de las escuelas básicas, un grupo de 15 estudiantes se asignó al azar uno de tres planes de comidas: sin desayuno, desayuno ligero y desayuno completo. Sus intervalos de atención (en minutos) se registraron durante un periodo de lectura por la mañana y se muestran en la siguiente tabla. Intervalos de atención de los estudiantes después de tres planes de comida.

Plan # 1

Plan # 2

Plan # 3

Sin desayuno

Desayuno ligero

Desayuno completo

ΣY

8

14

10

32

7

16

12

35

9

12

16

37

13

17

15

45

10

11

12

33

Σ T3 = 65

ΣYTOTAL = 182

Σ T1= 47 (ΣT1)2 = (47)2 = 2209

Σ T2= 70 (ΣT2)2 = (70)2 = 4900

Sumatoria de Y

(ΣT3)2 = (65)2 = 4225

Y = es el valor de cada celda ΣY2 = 82+72+92+132+102+142+162+122+172+112+102+122+162+152+122 =2338 K = # de tratamientos, n = # total de elementos

k = 3, n = 15

nj = # de elementos de cada tratamiento,

● CM = coeficiente de corrección para la media CM = (ΣY)2/n CM = (182)2/15,

CM = 2208.266

● SUMA TOTAL DE CUADRADOS = TSS TSS = ΣY2 – CM = 2338 – 2208.266 TSS = 129.734

nj = 5

● SUMA DE CUADRADOS PARA TRATAMIENTOS = SST Ti = valor de cada tratamiento

2209 + 4900 + 4225 5

SST = ΣTt2/nj – CM =

– 2208.266

SST = 2266.8 – 2208.266 = 58.534 SST 58.534 Suma de cuadrados del error = SSE SSE = TSS – SST SSE = 129.734 – 58.534 SSE = 71.2 CÁLCULO DE LA MADIA CUADRÁTICA PARA TRATAMIENTOS MCT = MEDIA CUADRÁTICA DEL TRATAMIENTO MCT =

SST k−1

58.534 3−1

=

=

58.534 2

= 29.267

MCT = 29.267 CÁLCULO DE LA MEDIA CUADRÁTICA PARA EL ERROR MCE = MEDIA CUADRÁTICA DEL ERROR MCE =

SSE n−k

71.2

= 15 −3 =

71.2 12

= 5.93

MCE = 5.93 CÁLCULO DEL ESTADÍSTICO DE PRUEBA “F” PARA TRATAMIENTOS Fcal = =

MCT MCE

=

29.267 5.93

= 4.93

Fcal = 4.93 CÁLCULO DE LA HIPÓTESIS (como tenemos 3 tratamientos k =3, tenemos 3u) Ho: u1 = u2 = u3 = 0 Ha : u1 ≠

u2

≠ u3

≠ 0

Si α = 0.05, V1 = 2,

V1 = k – 1 = 3 – 1 = 2,

V2 = n – k = 15 – 3 = 12

V2 = 12, el punto crítico Fα = 3.89 de la tabla de Fisher

Ho: u1 = u2 = u3 = 0

Área de aceptación

0

Ha: u1

≠ u2

≠ u3

≠ 0

Área de rechazo

Fα= 3.89

Punto crítico

Fcal = 4.93 El estadístico de prueba Fcal = 4.93 cae en el área de rechazo por lo tanto la hipótesis nula se rechaza y se acepta la hipótesis alternativa. Lo que indica que hay variación en la atención de los estudiantes, depende del tipo de desayuno. TABLA DE ANOVA fuente

Grados de

Suma de

Media cuadrada

Estadístico

libertad

cuadrados

de prueba

Tratamiento k – 1= 3 -1 = 2 = V1

SST =58.534

MCT = 29.267

error

SSE = 71.2

MCE = 5.93

n – k=15-3 = 12 = V2

Fcal = 4.93

2.Los automóviles medianos más comunes, fabricados en Estados Unidos, se probaron en carretera y se compararon con base en distintos criterios, de acuerdo con una famosa revista automotriz. Respecto al rendimiento de combustible, se probaron cuatro automóviles de cada marca durante 500 millas. En la tabla siguiente se muestran los rendimientos obtenidos, en millas por galón. Aplique el procedimiento de análisis de varianza, con α=0.05, para determinar si hay una diferencia significativa entre la media de la cantidad de millas por galón para los tres tipo de automóviles. AUTOMOVIL

AUTOMOVIL

AUTOMOVIL

A

B

C

ΣY

9

6

5

20

2

2

2

6

4

8

3

15

9

2

4

15

Σ T3 = 14

ΣYTOTAL = 56

Σ T1= 24 (ΣT1)2 = (24)2 = 576

Σ T2 = 18 (ΣT2)2 = (18)2 = 324

Sumatoria de Y

(ΣT3)2 = (14)2 = 196

Y = es el valor de cada celda ΣY2 = 92+22+42+92+62+22+82+22+52+22+32+42 = 81+4+16+81+36+4+61+4+25+4+9+16 = 344 ΣY2 = 344 K = # de tratamientos, n = # total de elementos

k = 3, n = 12

nj = # de elementos de cada tratamiento,

● CM = coeficiente de corrección para la media

nj = 4

CM = (ΣY)2/n CM = (56)2/12,

CM = 261.333

● SUMA TOTAL DE CUADRADOS = TSS TSS = ΣY2 – CM = 344 – 261.333 TSS = 82.667 ● SUMA DE CUADRADOS PARA TRATAMIENTOS = SST Ti = valor de cada tratamiento SST = ΣTt2/nj – CM =

576 + 324 + 196 4

– 261.333 = 274 – 261.333 = 12.667

SST = 12.667 Suma de cuadrados del error = SSE SSE = TSS – SST SSE = 82.667 – 12.667 SSE = 70 CÁLCULO DE LA MADIA CUADRÁTICA PARA TRATAMIENTOS MCT = MEDIA CUADRÁTICA DEL TRATAMIENTO MCT =

SST k−1

=

12.667 3−1

=

12.667 2

= 6.333

MCT = 6.333 CÁLCULO DE LA MEDIA CUADRÁTICA PARA EL ERROR MCE = MEDIA CUADRÁTICA DEL ERROR MCE =

SSE n−k

70 12 −3

=

=

70 9

= 7.777

MCE = 7.777 CÁLCULO DEL ESTADÍSTICO DE PRUEBA “F” PARA TRATAMIENTOS Fcal = =

MCT MCE

=

6.333 7.777

= 0.814

Fcal = 0.814 CÁLCULO DE LA HIPÓTESIS (como tenemos 3 tratamientos k =3, tenemos 3u) Ho: u1 = u2 = u3 = 0 Ha : u1 ≠

u2

Si α = 0.05, V1 = 2,

≠ u3

≠ 0

V1 = k – 1 = 3 – 1 = 2,

V2 = n – k = 12 – 3 = 9

V2 = 9, el punto crítico Fα = 4.26 de la tabla de Fisher

Ho: u1 = u2 = u3 = 0

Área de aceptación

0

Ha: u1

≠ u2

≠ u3

≠ 0

Área de rechazo

Fα= 4.26 Fcal = 0.814 Punto crítico

El estadístico de prueba Fcal = 0.814 cae en el área de aceptación por lo tanto la hipótesis nula se acepta y se rechaza la hipótesis alternativa. Lo que indica que

no hay diferencia en la cantidad de millas por galón par para a los tres tipo de automóviles por lo tanto Ho Ho:: : u1 = u2 = u3 = 0 . . TABLA DE ANOVA fuente

Grados de libertad

Suma de cuadrados

Media cuadrada

Estadístico de prueba

Tratamiento k – 1= 3 -1 = 2 = V1

SST =12.667

MCT = 6.333

Fcal = 0.814

error

SSE = 70

MCE = 7.777

n – k=12-3 = 9 = V2

TALLER DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (ANOVA) 1.- La gerente de una compañía de software desea estudiar el número de horas que los directivos de diversas empresas utilizan sus computadoras de escritorio. El gerente seleccionó una muestra de cuatro ejecutivos de cada una de tres industrias. Con un nivel de significancia de 0.01, puede la gerente concluir que hay una diferencia entre los promedios de horas por semana que se utilizan las computadoras en las empresas.

2.-

bancaria

detallista

De seguros

5

6

10

6

7

8

7

5

6

4

8

5

La gerente de un supermercado recibe un nuevo limpiador multiusos a prueba en el mercado, el cual se ha colocado en exhibidores en tres lugares distintos. El gerente reporta a continuación la cantidad de botellas de 12 onzas que se vendieron en cada lugar del supermercado. Con un nivel de significancia de 0.01, puede la gerente concluir que hay una diferencia entre los promedios de botellas que se vendieron en los tres lugares.

Cerca del pan

Cerca del detergente

Cerca de la cerveza

5

7

2

5

7

4

6

6

3

3

8

4

4

5

2...