5. Ángulos en el Triángulo PDF

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TEoremas de angulos existentes en los triangulos...

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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA CURSO DE NIVELACIÓN GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA CLASE N°5

POLÍGONOS 1. Objetivo Exponer la teoría sobre triángulos, definiciones, clasificación y propiedades de los mismos. 2. Logros de aprendizaje De conocimientos • Conocer los elementos del triángulo y sus tipos de clasificación. • Comprender las propiedades y teoremas de los ángulos en un triángulo. • Conocer la demostración de las propiedades y teoremas de los ángulos en un triángulo. De destreza • • • •

Identificar y graficar un triángulo con sus elementos. Identificar la clase de triángulo según su clasificación. Interpretar problemas de ángulos en el triángulo para realizar la construcción de sus gráficos. Resolver problemas de ángulos en un triángulo aplicando sus propiedades y teoremas.

De Valores • El estudiante de la materia debe manifestar sentido de responsabilidad, honestidad, respeto y predisposición al trabajo 3. Desarrollo de la clase

POLÍGONOS Definición.- Un polígono es la figura geométrica, formada por n puntos coplanares distintos (n≥3), si se forman n segmentos y ningún par de segmentos con extremos comunes son colineales. Representación Gráfica

1

Elementos Vértices.- Son los n puntos coplanares: A, B, C, D, E… , BC  ,  , EA  Lados.- Son los segmentos que unen los vértices: AB CD, DE Perímetro (P): es la suma de las longitudes de los lados. 𝑃 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐷𝐸 + 𝐸𝐴  , AC  Diagonales,- Son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos del polígono: AD , B , C , D , E  Ángulos internos.- Son los ángulos formados por dos lados del polígono: A Ángulos externos.- Son los ángulos formados por un lado del polígono y la prolongación de , φ , β, γ, θ otro lado consecutivo: ∝  Denominación Por las letras de los vértices, en un mismo sentido, polígono ABCDE. Clasificación Por el número de lados Polígono

# Lados Representación gráfica

Triángulo

3

Cuadrilátero

4

Pentágono

5

Hexágono

6 Etc…

Por sus elementos Equiangular: los ángulos internos son iguales Equilátero: los lados son iguales Polígono regular: es aquel polígono que es equilátero y equiangular

Otros Polígono cóncavo y convexo: si todos los puntos de un polígono están a un mismo lado de una recta que contiene a cualquiera de sus lados, el polígono es convexo, caso contrario es cóncavo. 2

TRIÁNGULOS Definición.- Es una figura geométrica formada al unir tres puntos no colineales. El lado se representa con la letra minúscula del vértice opuesto. Representación Gráfica

Denominación Por las letras de los vértices: ∆ABC Clasificación Por sus lados Equilátero: 3 lados iguales Isósceles:

2 lados iguales

Escaleno:

3 lados diferentes

Equilátero

Isósceles

Escaleno 3

Por sus ángulos Equiángulo:

3 ángulos internos iguales

Acutángulo:

3 ángulos internos agudos

Obtusángulo: 1 ángulo obtuso Rectángulo:

1 ángulo recto, los lados que forman 90° son catetos y el lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa.

Equiángulo

Acutángulo

Obtusángulo

Rectángulo

ÁNGULOS EN UN TRIÁNGULO TEOREMA 1: SUMA DE ÁNGULOS INTERNOS DE UN TRIÁNGULO Los ángulos internos de un triángulo siempre suman 180° o π radianes. H) ABC triángulo escaleno T) ∢BAC+∢ABC+∢BCA=180°

Demostración  1.  𝐶𝐷∥𝐴𝐵

construcción

2. ∢BAC = ∢DCE = ∢1

ángulos correspondientes entre paralelas

3. ∢ABC = ∢BCD = ∢2

ángulos alternos internos entre paralelas

4. ∢BCA + ∢1 + ∢2 = 180°

ángulos suplementarios

5. ∢BCA + ∢BAC + ∢ABC = 180°

2 y 3 en 4

4

Corolario: Ángulo externo.- es el ángulo formado entre un lado y la prolongación del lado adyacente, su medida es igual a la suma de los dos ángulos internos no adyacentes. H) ABC triángulo escaleno T) ∢BCE = ∢ABC + ∢BCA

Demostración  1.  𝐶𝐷∥𝐴𝐵

Construcción

2. ∢BAC = ∢DCE = ∢1

Ángulos correspondientes entre paralelas

3. ∢ABC = ∢BCD = ∢2

Ángulos alternos internos entre paralelas

4. ∢BCD = ∢1 + ∢2

Ángulos adyacentes

5. ∢BCD = ∢BAC + ∢ABC

2 y 3 en 4

TEOREMA 2: SUMA DE ÁNGULOS INTERNOS DE UN CUADRILÁTERO Los ángulos internos de un cuadrilátero siempre suman 360° o 2π radianes. H) ABCD cuadrilátero T) ∢BAD + ∢ADC + ∢DCB + ∢CBA = 360°

Demostración 1.  𝐵𝐷

Construcción diagonal

2. ∢BAD+∢ABD+∢ADB=180°

∑ ángulos internos triángulo ABD

3. ∢BCD+∢CDB+∢CDB=180°

∑ ángulos internos triángulo CBD

4. ∢ABD+∢DBC=∢ABC

ángulos adyacentes

5. ∢CDB+∢BDA=∢CDA

ángulos adyacentes

6. ∢BAD+∢ABD+∢ADB+∢BCD+∢CDB+∢CDB=360° 2 + 3 7. ∢BAD+∢ADC+∢DCB+∢CBA=360°

4 y 5 en 6

5

TEOREMA 4 (LAZO) Triángulos opuestos por el vértice

𝑯) ∆𝐴𝐵𝐶 𝑦 ∆𝐶𝐷𝐸 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒  𝑻) 𝐴󰆹 + 𝐵 = 𝐸 + 𝐷

Demostración 1. ∡𝐵𝐶𝐴 = ∡𝐷𝐶𝐸

𝑜𝑝. 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒

2.

𝐴󰆹 + 𝐵 + 1 = 180°

(1)

∑ ∡𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠 ∆𝐴𝐵𝐶

3.

 + 𝐸 + 1 = 180° 𝐷

(2)

∑ ∡𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠 ∆𝐶𝐷𝐸

4.

+𝐷  𝐴󰆹 + 𝐵 = 𝐸

(1) = (2)

TEOREMA 3: ÁNGULO CÓNCAVO El ángulo cóncavo formado en un polígono cóncavo es igual a la suma de los ángulos agudos del polígono. H) ABCD cuadrilátero cóncavo T) ∢x= ∢DAB + ∢ABC + ∢CDA

Demostración

1.  𝐶𝐸

Construcción

2. ∢CED = ∢EAB + ∢ABE

Ángulo externo triángulo ABE

3. ∢x = ∢CED + ∢CDE

Ángulo externo triángulo CED

4. ∢x = ∢DAB + ∢ABC + ∢CDA

2 en 3 6

4. Bibliografía • • •

CALVACHE, Gonzalo. y LEÓN, Carlos. (2019). Geometría Plana, Trigonometría, Geometría del Espacio, Geometría Analítica. ISBN-978-9942-20-363-2. HEMMERLING, Edwin M. (2005). Geometría Elemental. México. 1975. Limusa. MOISE, Edwin E. FLOYD, L. DOWNS, Jr. Serie Matemática Moderna. Bogotá. 1972. Norma. Tomo4.

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