5. Elementos Sometidos A Fuerzas Axiales Y Momentos PDF

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Fundamentos teóricos sobre el temas de Fuerzas axiales y Momentos de estructuras hiperestaticas...

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Universidad Privada Domingo Savio Facultad de Ingeniería Carrera de Ingeniería Civil Análisis Matricial de Estructuras

ELEMENTOS SOMETIDOS A FUERZAS AXIALES Y MOMENTOS FLECTORES POR EL MÉTODO DE LA RIGIDEZ

1 INTRODUCCIÓN El desarrollo de los computadores ha estimulado enormemente la investigación en muchas ramas de la ciencia permitiendo desarrollar procedimientos numéricos apropiados para el uso de los mismos. En el campo del análisis de estructuras, el ordenador ha conducido al desarrollo de métodos que utilizan las ideas del álgebra matricial. La teoría matricial del análisis de estructuras aparece en la literatura técnica en la década de los 50. Tras una confusión inicial en el mundo de la ingeniería estructural práctica que oscureció en una primera etapa la relación existente entre el nuevo procedimiento y los métodos estructurales clásicos, el desarrollo del nuevo método sufrió un impulso tal, que al principio de la década de los 60 ya estaba perfectamente establecido. Este impulso se debió a la confluencia de unas necesidades de cálculo, muchas veces tan complejas, que los métodos clásicos resultaban claramente insuficientes con el desarrollo y operatividad del ordenador. El empleo de la notación matricial presenta dos ventajas en el cálculo de estructuras: a) Permite desde el punto de vista teórico, utilizar métodos de cálculo de una forma más compacta, precisa y al mismo tiempo completamente general. Los principios fundamentales no se ven oscurecidos por las operaciones de cálculo o diferencias geométricas en las tipologías estructurales analizadas. Introducción

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b) Proporciona en la práctica, un sistema adecuado de análisis y determina las bases idóneas para el desarrollo de programas de ordenador.

2 CONCEPTOS 2.1 RIGIDEZ

𝐾=

𝐹 𝐷

Fuerza requerida en un elemento estructural para producir una unidad de desplazamiento o deformación. 2.2 FLEXIBILIDAD Es la inversa de la rigidez, es decir, es el desplazamiento requerido por unidad de fuerza. 𝐹=

1 𝐷 = 𝐾 𝐹

2.3 SUPOSICIONES DE CÁLCULO Para el cálculo de elementos sometidos a fuerzas axiales, se toman en cuenta las siguientes suposiciones: ✓ Linealidad geométrica (desplazamientos pequeños). ✓ Linealidad material. ✓ Superposición.

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✓ Material isotrópico. ✓ Sección prismática. Los resultados deberán cumplir: ✓ Condiciones de compatibilidad. ✓ Condiciones de equilibrio. ✓ Contornos. 2.4 MIEMBROS Y NODOS Uno de los primeros pasos para aplicar el método de la rigidez consiste en identificar los elementos o miembros de la estructura y sus nodos. Cada elemento se especifica por un numero encerrado en un cuadrado, y para identificar los nodos se usa un numero dentro de un círculo. También se identificarán los extremos inicial y final de cada elemento mediante una flecha indicada a lo largo del elemento, con la punta de la fecha dirigida hacía el extremo final.

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2.5 GRADOS DE LIBERTAD Los grados de libertad (GDL) son el número de desplazamientos y rotaciones independientes de un sistema; por ejemplo, para la cercha mostrada, el sistema cuenta con 12 GDL, 5 GDL restringidos y 7 GDL no restringidos . En este caso, representan las incógnitas principales en el método de la rigidez. 2.6 COORDENADAS GLOBALES Y LOCALES Dado que las cargas y los desplazamientos son cantidades vectoriales, es necesario establecer

un sistema de coordenadas a fin de precisar el sentido correcto de la dirección. Se emplean dos tipos diferentes de sistemas coordenados. 2.6.1 Coordenadas globales Con notación (X, Y), el cual es único, y sirve para especificar el sentido de cada uno de los componentes de la fuerza externa y el desplazamiento en los nodos. 2.6.2 Coordenadas locales Para especificar el sentido de dirección de sus desplazamientos y las cagas internas en el elemento. Este sistema se identificará con ejes (X', Y') con el origen en el nodo inicial y extendiéndose hacia el nodo final.

3 APLICACIÓN DEL MÉTODO DE RIGIDEZ La aplicación de este método requiere subdividir a la estructura en una serie de elementos finitos e identificar sus puntos extremos como nodos. Para el análisis de armaduras, los elementos finitos se representan por cada uno de los miembros que forman la armadura y los nodos representan los nudos de unión de los elementos. La información a obtener corresponderá a cada punto de discretización. Los pasos necesarios para resolver una estructura mediante los métodos matriciales son: 1) Definir la geometría de la estructura y las acciones, así como las condiciones de apoyo.

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2) Identificar el número de movimientos incógnitas que determinan la deformación de la estructura, teniendo en cuenta las correspondientes condiciones de compatibilidad en los nudos. 3) Resolver las piezas individuales, en función de los movimientos de sus extremos, satisfaciendo las condiciones de equilibrio y compatibilidad de las piezas. 4) Imponer las necesarias condiciones de equilibrio en los nudos. 5) Imponer las condiciones de apoyo de la estructura. 6) Determinar los movimientos incógnita resolviendo el sistema de ecuaciones resultante. 7) Determinar los esfuerzos y las reacciones en la estructura.

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4 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS LOCALES Relaciona los desplazamientos incógnita de una estructura con las fuerzas exteriores conocidas, lo cual permite encontrar las reacciones, esfuerzos internos y tensiones en cualquier punto de la estructura. La matriz de rigidez es una propiedad intrínseca del sistema estructural, no cambia en función del estado de cargas o de condiciones de contorno a que se someta la estructura.

Para que la barra esté en equilibrio:

′ ′ 𝐹𝑥1 = −𝐹𝑥2

′ ′ 𝐹𝑦1 = −𝐹𝑦2

𝑚1′ = −𝑚2′

′ ′ ′ ′ ′ Las fuerzas nodales 𝐹𝑥1 y 𝐹𝑦2 y los momentos flectores 𝑚1′ 𝑦 𝑚2′ , tienen las , 𝐹𝑥2 , 𝐹𝑦1 , 𝐹𝑦1

siguientes configuraciones: ′ 𝐹𝑥1 =

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𝐸𝐴 ′ 𝐸𝐴 ′ 𝐷𝑥1 − 𝐷 𝐿 𝐿 𝑥2

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𝐹𝑥2′ = −

′ 𝐹𝑦1 =

𝐸𝐴 ′ 𝐸𝐴 ′ 𝐷 𝐷𝑥1 + 𝐿 𝑥2 𝐿

6𝐸𝐼 12𝐸𝐼 ′ 6𝐸𝐼 12𝐸𝐼 ′ 𝐷𝑦1 + 2 𝜃1′ − 3 𝐷𝑦2 + 2 𝜃2′ 3 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿

′ 𝐹𝑦2 =−

𝑚1′ = 𝑚′2 =

12𝐸𝐼 ′ 6𝐸𝐼 12𝐸𝐼 ′ 6𝐸𝐼 𝐷𝑦1 − 2 𝜃1′ + 3 𝐷𝑦2 − 2 𝜃2′ 3 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 6𝐸𝐼 ′ 4𝐸𝐼 ′ 6𝐸𝐼 ′ 2𝐸𝐼 ′ 𝐷𝑦1 + 𝜃1 − 2 𝐷𝑦2 + 𝜃 2 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 2 6𝐸𝐼 ′ 2𝐸𝐼 ′ 6𝐸𝐼 ′ 4𝐸𝐼 ′ 𝐷𝑦1 + 𝜃1 − 2 𝐷𝑦2 + 𝜃 2 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 2

′ ′ ′ ′ Donde 𝐷𝑥1 y 𝐷𝑥2 son los desplazamientos axiales, 𝐷𝑦1 y 𝐷𝑦2 son los desplazamientos

transversales y 𝜃1′ y 𝜃2′ son las rotaciones del sistema.

Ordenando las expresiones anteriores, estas se pueden escribir de forma matricial. Por tanto: ′ 𝐹𝑥1 𝐸𝐴⁄𝐿 ′ 𝐹𝑦1 0 ′ 𝑚1 0 = ′ 𝐹𝑥2 − 𝐸𝐴 ⁄ 𝐿 ′ 𝐹𝑦2 0 ′ [ 0 { 𝑚2 }

Vector fuerza en coordenadas locales {𝐹 ′}

0 12𝐸𝐼⁄𝐿3 6𝐸𝐼 𝐿⁄2 0 − 12𝐸𝐼 𝐿⁄3 6𝐸𝐼 𝐿⁄2

0 6𝐸𝐼 ⁄𝐿2 4𝐸𝐼⁄𝐿 0 − 6𝐸𝐼⁄𝐿2 2𝐸𝐼⁄𝐿

− 𝐸𝐴 𝐿⁄ 0 0 𝐸𝐴 𝐿⁄ 0 0

0 − 12𝐸𝐼 𝐿⁄3 − 6𝐸𝐼 𝐿⁄2 0 12𝐸𝐼 ⁄𝐿3 − 6𝐸𝐼 𝐿⁄2

Matriz de rigidez para elementos sometidos a fuerzas axiales y momentos flectores, en coordenadas locales [𝐾 ′]

{𝐹 ′ } = [𝐾 ′ ]{𝐷 ′ }

𝐷𝑥1 0 ′ 2 𝐷𝑦1 6𝐸𝐼⁄𝐿 𝜃1′ 2𝐸𝐼 ⁄𝐿 ′ 0 𝐷𝑥2 ′ 𝐷𝑦2 − 6𝐸𝐼⁄𝐿2 4𝐸𝐼 ⁄𝐿 ] { 𝜃2′ } ′

Vector desplazamiento en coordenadas locales {𝐷 ′ }

5 TRANSFORMACIÓN DEL DESPLAZAMIENTO Y FUERZA Ahora se muestra la forma para transformar las fuerzas del elemento y los desplazamientos definidos en coordenados locales a coordenadas globales mediante la matriz de transformación T.

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5.1 MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN Relaciona a los datos de rigidez en coordenadas locales a matrices de coordenadas globales. cos 𝛽 sin 𝛽 0 0 0 0 − sin 𝛽 cos 𝛽 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 [𝑇] = 0 0 0 cos 𝛽 sin 𝛽 0 0 0 0 − sin 𝛽 cos 𝛽 0 [ 0 0 0 0 0 1 ]

Una de las principales características de las matrices de transformaciones, es que estas son ortogonales.

[𝑇 ]−1[𝑇] = [𝐼 ] [𝑇]−1= [𝑇 ]𝑇

[𝑇]𝑇 [𝑇] = [𝐼 ] Por tanto:

[𝑇]−1 , inversa de [𝑇]

[𝑇]𝑇 , transpuesta de [𝑇] [𝐼], matriz identidad

cos 𝛽 − sin 𝛽 0 0 0 0 sin 𝛽 cos 𝛽 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 [𝑇 ]−1= [𝑇 ]𝑇 = 0 0 0 cos 𝛽 − sin 𝛽 0 0 0 0 sin 𝛽 cos 𝛽 0 [ 0 0 0 0 0 1]

5.2 TRANSFORMACIÓN DEL DESPLAZAMIENTO A partir del vector de los desplazamientos en coordenadas locales, multiplicando por la matriz de transformación se tienen los desplazamientos en coordenadas locales:

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𝐷𝑥1 cos 𝛽 − sin 𝛽 0 0 𝐷𝑦1 sin 𝛽 cos 𝛽 0 0 𝜃1 0 0 1 0 = 𝐷𝑥2 0 0 0 cos 𝛽 𝐷𝑦2 0 0 0 sin 𝛽 [ 0 0 0 0 { 𝜃2 } Vector de desplazamiento en coordenadas globales {𝐷}

𝐷𝑥1 0 0 ′ 𝐷 𝑦1 0 0 𝜃1′ 0 0 ′ 𝐷𝑥2 − sin 𝛽 0 ′ cos 𝛽 0 𝐷𝑦2 ] 0 1 { 𝜃2′ } ′

Matriz de rotación o transformación de Vector de desplazamiento coordenadas locales a coordenadas en coordenadas locales {𝐷 ′} globales [𝑇]

{𝐷} = [𝑇 ]𝑇 {𝐷 ′ }

Despejando el vector de desplazamientos en coordenadas locales {𝐷 ′ }: [𝑇 ]{𝐷} = [𝑇 ][𝑇 ]−1{𝐷 ′ } = [𝐼 ]{𝐷 ′} {𝐷 ′ } = [𝑇 ]{𝐷 }

5.3 TRANSFORMACIÓN DE LA FUERZA A partir del vector de las fuerzas en coordenadas locales, multiplicando por la matriz de transformación se tienen las fuerzas en coordenadas locales: 𝐹𝑥1 cos 𝛽 − sin 𝛽 0 0 𝐹𝑦1 sin 𝛽 cos 𝛽 0 0 𝑚1 0 0 1 0 = 𝐹𝑥2 0 0 0 cos 𝛽 𝐹𝑦2 0 0 0 sin 𝛽 {𝑚2 } [ 0 0 0 0 Vector de fuerzas en coordenadas globales {𝐹 }

𝐹𝑥1 0 0 ′ 𝐹𝑦1 0 0 𝑚′1 0 0 ′ − sin 𝛽 0 𝐹𝑥2 ′ cos 𝛽 0 𝐹𝑦2 0 1 ] { 𝑚′2 }

Matriz de rotación o transformación transpuesta de coordenadas locales a coordenadas globales [𝑇]𝑇

{𝐹} = [𝑇 ]𝑇 {𝐹 ′ }

′

Vector de fuerzas en coordenadas locales {𝐹 ′}

Despejando el vector de fuerzas en coordenadas locales {𝐹 ′ }:

[𝑇 ]{𝐹} = [𝑇 ] [𝑇 ]−1{𝐹 ′ } = [𝐼 ]{𝐹 ′ }

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{𝐹 ′ } = [𝑇 ]{𝐹 }

6 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES Reemplazando [𝑇]−1= [𝑇]𝑇 en las ecuaciones anteriores: {𝐷 ′ } = [𝑇 ]{𝐷 } {𝐹 ′ } = [𝑇 ]{𝐹 }

Reemplazando las anteriores matrices en la ecuación fundamental: {𝐹 ′ } = [𝐾 ′ ]{𝐷′}

[𝑇 ]{𝐹} = [𝐾 ′ ][𝑇 ]{𝐷 }

[𝑇 ]𝑇 [𝑇 ]{𝐹} = [𝑇 ]𝑇 [𝐾 ′ ][𝑇]{𝐷 } [𝐼 ]{𝐹} = [𝑇 ]𝑇 [𝐾 ′ ][𝑇 ]{𝐷 } {𝐹} = [𝑇 ]𝑇 [𝐾 ′ ][𝑇 ]{𝐷 }

Se deduce que la matriz de rigidez de un elemento en coordenadas globales es: [𝐾] = [𝑇 ]𝑇 [𝐾 ′ ][𝑇]

Desarrollando la anterior ecuación, la matriz de rigidez en coordenadas globales es: 6𝐸𝐼 12𝐸𝐼 𝐸𝐴 𝐸𝐴 2 12𝐸𝐼 2 6𝐸𝐼 𝐸𝐴 12𝐸𝐼 𝐸𝐴 2 12𝐸𝐼 2 − 3 ) 𝑐𝑠 − 2 𝑠 𝑐 + 3 𝑠 ) −( − 2 𝑠 −( − 3 ) 𝑐𝑠 𝑐 + 3 𝑠 ) ( 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 6𝐸𝐼 𝐸𝐴 2 12𝐸𝐼 2 12𝐸𝐼 𝐸𝐴 6𝐸𝐼 𝐸𝐴 2 12𝐸𝐼 2 𝐸𝐴 12𝐸𝐼 𝑐 𝑠 + 3 𝑐 ) − 3 ) 𝑐𝑠 − ( 𝑐 −( 𝑠 + 3 𝑐 ) ( − 3 ) 𝑐𝑠 ( 𝐿2 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿2 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 2𝐸𝐼 6𝐸𝐼 4𝐸𝐼 6𝐸𝐼 6𝐸𝐼 6𝐸𝐼 − 2 𝑐 − 2 𝑠 2 𝑠 2 𝑐 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 [𝐾] = 6𝐸𝐼 12𝐸𝐼 𝐸𝐴 𝐸𝐴 2 12𝐸𝐼 2 6𝐸𝐼 12𝐸𝐼 12𝐸𝐼 𝐸𝐴 𝐸𝐴 𝑠 ) 𝑐𝑠 − 𝑐 + ) ( 𝑠 ( − 3 ) 𝑐𝑠 − ( 𝑐 2 + 3 𝑠 2) − ( 𝑠 𝐿2 𝐿3 𝐿 𝐿 𝐿2 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿3 𝐿 6𝐸𝐼 𝐸𝐴 2 12𝐸𝐼 2 12𝐸𝐼 𝐸𝐴 6𝐸𝐼 𝐸𝐴 2 12𝐸𝐼 2 𝐸𝐴 12𝐸𝐼 𝑠 + 3 𝑐 ) − 2 𝑐 ( − 3 ) 𝑐𝑠 𝑠 + 3 𝑐 ) − 𝑐 ( − 3 ) 𝑐𝑠 − ( −( 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿2 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 6𝐸𝐼 4𝐸𝐼 6𝐸𝐼 2𝐸𝐼 6𝐸𝐼 6𝐸𝐼 − 2 𝑠 𝑠 − 2 𝑐 𝑐 [ 𝐿 ] 𝐿 𝐿 𝐿2 𝐿2 𝐿 (

Donde: Introducción

𝑐 = cos 𝛽; 𝑠 = sin 𝛽

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7 MATRIZ DE RIGIDEZ ENSAMBLADA DE LA ESTRUCTURA Una vez obtenidas las matrices de rigidez de cada elemento del sistema estructural, la matriz ensamblada corresponde a la unión de todos los términos semejantes en cada nodo, estableciendo de esta manera la compatibilidad de los elementos en sus extremos. 7.1 MATRIZ DE RIGIDEZ REDUCIDA

Al tener la matriz de rigidez de la estructura [𝐾], la matriz de rigidez reducida [𝐾]𝑟𝑒𝑑 representa a los datos después de la eliminación de las condiciones de desplazamiento nula, es decir, la matriz de rigidez reducida se obtiene a partir de la eliminación de las condiciones de apoyo que tiene la estructura.

8 VECTOR DE DESPLAZAMIENTO NODAL El vector de desplazamientos nodales se lo determina a partir de las matrices de fuerzas externas y rigidez reducidas. Obtenida la matriz de rigidez, operando en la ecuación:

{𝐹} = [𝐾 ]{𝐷 }

[𝐾]−1{𝐹} = [𝐾 ]−1[𝐾 ]{𝐷 } [𝐾 ]−1{𝐹} = [𝐼 ]{𝐷 } {𝐷} = [𝐾 ]−1{𝐹 }

Como se operan con matrices reducidas:

{𝐹 }𝑟𝑒𝑑 {𝐷 }𝑟𝑒𝑑= [𝐾 ]−1 𝑟𝑒𝑑

9 ANÁLISIS DE ELEMENTOS CONSIDERANDO SU PESO PROPIO Para la consideración del peso propio, considerando una sección transversal constante, se establecen fuerzas de empotramiento perfecto en los nodos inicial y final del elemento producto de la carga lineal debido a la masa del elemento.

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Las fuerzas por peso propio son sintetizadas en un vector {𝐹𝑒𝑝 } ensamblado. 9.1 ECUACIÓN FUNDAMENTAL Con el vector de fuerzas de empotramiento perfecto, la ecuación fundamental de fuerzas es: {𝐹} = [𝐾 ]{𝐷} + {𝐹𝑒𝑝 }

Operando para despejar la matriz de desplazamientos: {𝐹} − {𝐹𝑒𝑝 } = [𝐾]{𝐷}

[𝐾 ]−1 {{𝐹} − {𝐹𝑒𝑝 }} = [𝐾 ]−1[𝐾 ]{𝐷 } {𝐷} = [𝐾 ]−1 {{𝐹} − {𝐹𝑒𝑝 }}

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10 EJEMPLO Determinar: ✓ Vector de aplicadas.

fuerzas

externas

✓ Matriz de rigidez global de cada barra. ✓ Matriz de rigidez ensamblada.

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✓ Desplazamientos nodales. ✓ Reacciones en los apoyos. ✓ Esfuerzos en cada barra. ✓ Comprobar SAP2000.

los

resultados

en

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