6° lezione - Appunti del corso di stabilità dei pendii. PDF

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Appunti del corso di stabilità dei pendii....

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Esercizio sul metodo di Fellenius

La geometria della superficie di scivolamento è nota, le caratteristiche meccaniche sono note. Per il metodo dell’equilibrio limite ci serve il peso e le caratteristiche che definiscono la resistenza al taglio, cioè coesione ed angolo d’attrito, ci servirebbero anche le pressioni interstiziali, ma per ipotesi il terreno è asciutto e quindi sono nulle. Il coefficiente di sicurezza che proviene dall’elaborazione dei dati è F=1.30. Il secondo punto del problema consiste nel riportare in un diagramma i valori di Tlim e Tmob per ciascuna striscia. L’ipotesi semplificativa di Fellenius è quella di avere le forze all’interfaccia uguali ed opposte e si ha una soluzione del genere: ∑ 𝑇𝑖 𝑙𝑖𝑚 ∑(𝐶𝑖 + 𝑊𝑖 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑖 ∙ 𝑡𝑔𝛼𝑖 ) 𝐹= = ∑ 𝑊𝑖 𝑠𝑒𝑛𝛼𝑖 ∑ 𝑇𝑖 I singoli elementi della sommatoria, al numeratore e denominatore, hanno un significato fisico ben preciso in quanto il numeratore rappresenta la resistenza disponibile alla base della striscia ed il denominatore è Ti mobilitata alla base della striscia. Possiamo quindi tracciare per ogni singola striscia i valori di Tlim e Tmob: 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0

2

4

6 Tlim

8 Tmob

10

12

Questa soluzione però non è accettabile in quanto mob>lim in alcune strisce, il che è impossibile in quanto una volta che la tensione tangenziale ha raggiunto il valore limite, quello è il valore limite e non può, quella striscia, assorbirne di più. Casomai una parte di quello sforzo sarà assorbito da un’altra striscia, ma non da quella che ha raggiunto la resistenza limite. Ciò significa che la distribuzione delle lim che viene fuori dalla soluzione di Fellenius non è accettabile sempre in quanto abbiamo che, secondo questa soluzione, il pendio è stabile, con F=1.3, però va a violare il criterio di Mohr-Coulomb, avendo quindi un’incongruenza tra i risultati. Ciò non significa che globalmente la soluzione sia completamente errata, però questo ci crea problemi. Per questo motivo si elaborò la soluzione di Bishop.

Metodo di Bishop Con il metodo dell’equilibrio limite bisogna fare delle ipotesi arbitrarie, quindi non esiste una soluzione teoricamente giusta, ma ogni soluzione è una soluzione approssimata e fornisce un certo risultato in funzione dell’ipotesi che abbiamo fatto. Bishop fa un’ipotesi per cercare di risolvere a monte il problema di Fellenius: se il mio pendio è stabile, quindi F>1, devo avere una soluzione in cui la distribuzione delle  non vada a violare il criterio di MohrCoulomb. Per la formulazione della sua soluzione Bishop si propone di arrivare a determinare il rapporto: 𝐹=

∑ 𝑇𝑖 𝑙𝑖𝑚 ∑ 𝑇𝑖

Parte dall’equilibrio alla rotazione globale: Ogni fetta avrà un momento ribaltante pari al proprio peso x il braccio, e ciascuna di esse contribuisce alla stabilizzazione e quindi fornisce un momento stabilizzante che è dato da Ti x r:

semplifico r, in quanto ho una superficie circolare.

A questo punto si inseriscono le ipotesi, imponendo che, qualunque sia la soluzione che trovo, il valore della Ti sarà: ciò significa che se F>1, cioè il pendio è stabile, qualunque soluzione troverò alla fine sarà una soluzione che non violerà il criterio di Mohr-Coulomb, in quanto il valore della Ti corrisponderà ad una certa percentuale della Ti lim, dipendente dal valore di F. Imporre questa soluzione significa dire che la Ti mobilitata sarà pari alla resistenza (data dal contributo coesivo + quello attritivo)/F:

Riscriviamo l’equilibrio alla rotazione, da cui ricavo F:

Nella formula di F ora non avrò più che la sommatoria al numeratore rappresenta Tilim ed il denominatore Ti, ma ciascuno di questi termini è semplicemente il risultato della riscrittura dell’equazione di equilibrio globale con l’ipotesi arbitraria, senza avere senso fisico. A questo punto però l’incognita fondamentale rimane sempre Ni’, in quanto non conosciamo la tensione normale lungo la striscia e quindi non conosco la resistenza a taglio per quanto riguarda l’aliquota attritiva.

Vado a ricavare Ni’: ’

Riscrivo l’equilibrio inserendo ΔXi, ovvero la differenza delle forze Xi. Dall’equilibrio ricavo Ni’.

Inserisco un’altra ipotesi: ’ . E’ un’ipotesi che ricorda quella di Fellenius, anche se quella era più forte perché imponeva sia ΔXi che ΔEi pari a zero.

Ora, per praticità, riscrivo la soluzione inserendo il coefficiente mαi:

Ora posso sostituirlo nella formula di F in quanto conosco Ni’:

Al numeratore voglio un termine più semplice, quindi attraverso dei semplici passaggi matematici vado a modificarlo:

si mette in evidenza Ci → 1 semplifico il termine 1 e sostituisco mαi →

(non si deve sapere all’esame)

Ora posso riscrivere F:

Il problema di questa soluzione sta nel fatto che mαi ha al suo interno F, però attraverso delle iterazioni, si converge presto al valore di F ( in 2 o 3 iterazioni). Come valore di primo tentativo, inserisco in mαi il valore di F ricavato con Fellenius, in quanto, anche non essendo un metodo perfetto, è abbastanza giusto. Per ogni striscia calcolo mαi, e ricavo un nuovo valore di F. Il valore ricavato sarà poi il valore che andrò ad inserire nel secondo tentativo. In conclusione, possiamo dire che il metodo di Bishop:

1. Al contrario di Fellenius i termini al numeratore e denominatore non hanno significato fisico di Ti lim e Ti, ma F proviene semplicemente da un’equazione di equilibrio alla rotazione globale; 2. L’ipotesi sulle componenti verticali è meno forzata di quella di Fellenius, in quanto meno ipotesi formuliamo, migliore sarà la soluzione che otteniamo.

Procedimento di calcolo per superfici circolari Per il calcolo delle superfici ci sono diverse soluzioni, però ciascuno di questi metodi va applicato per tante possibili superfici di scivolamento perché normalmente non sappiamo quale potrebbe essere la superficie di scivolamento con coefficiente di sicurezza minimo. Qualsiasi sia il metodo che utilizzo dovrò quindi analizzare tutte le possibili situazioni e ci sono vari modi di farlo. Il metodo classico prevede, supponendo di avere un pendio da analizzare, di: Datosi che sono superfici circolari, queste avranno centro e raggio, quindi mi stabilisco una griglia di tutti i centri possibili, con un certo passo. Considerando il centro O, faccio ora variare il raggio e cerco il coefficiente di sicurezza minimo. Per ogni centro ricavo quindi il raggio con coefficiente di sicurezza minimo. Mi sposto in altri centri ed esploro altri raggi ricavando altrettanti coefficienti di sicurezza. Scrivo sulla griglia, in corrispondenza dei centri, tutti i valori minimi e vado ad analizzarli, tracciando delle curve di livello dei coefficienti di sicurezza.

Attraverso le curve di livello dei coefficienti di sicurezza potrò quindi andare ad indagare più precisamente su cosa accade, ed è ciò che si fa con il software.

Esercizio Metodo di Bishop Si ipotizza il primo valore di F che di solito si pone pari al valore di F calcolato con Fellenius: F=1.29. Con questo valore, per ogni fascia calcolo mαi con la formula:

con il valore ricavato, calcolo il numeratore della formula di F per ogni fetta:

Il denominatore è già noto dall’esercizio con il metodo di Fellenius, quindi, attraverso le sommatorie, calcolo F:

Ottengo: mαi 0.735713 0.905623 0.995696 1.049631 1.080307 1.093585 1.092727 1.079672 1.055553 1.020992

tlim 31.44053 37.05529 40.25429 39.43336 35.28339 31.08548 26.69388 22.03068 16.90581 11.16054 291.3433

tmob 24.89687 37.62712 41.67426 37.59087 28.68487 20.25821 12.82871 6.836649 2.558704 0.293387 213.2497

F=

1.366207

Con il valore di F ricavato, faccio una nuova iterazione fin quando il valore di F che inseris...