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NOMBRE DEL PROFESOR: ELIZABETH CATAÑO VARGAS

UNIDAD 5: SISTEMAS DE ECUACIONES

ACTIVIDAD 7: RESUMEN

FECHA DE ENTREGA: 22 DE FEBRERO DE 2021

INTRODUCCIÓN

El presente resumen habla sobre el sistema de ecuaciones, forma parte de la asignatura de Matemáticas aplicadas, cuyo enfoque se interesa por los temas de sistemas de ecuaciones de primer grado, segundo grado, métodos de solución por sustitución, por suma/resta y por igualación, dejando ver claros ejemplos para su entendimiento. Recordemos que un sistema de ecuaciones algebraicas es un conjunto de ecuaciones con más de una incógnita que conforman un problema matemático que consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas operaciones. En un sistema de ecuaciones algebraicas, las incógnitas son valores numéricos menores a la constante (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho sistema es, por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras, el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema. Además, que las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices.

CONTENIDO



ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

Una ecuación de primer grado es una igualdad matemática con una o más incógnitas. Dichas incógnitas deben ser despejadas o resueltas para encontrar el valor numérico de la igualdad. Las ecuaciones de primer grado reciben este nombre porque sus variables (incógnitas) están elevadas a la primera potencia (X1), que suele representarse solo con una X. Del mismo modo, el grado de la ecuación indica el número de soluciones posibles. Por lo tanto, una ecuación de primer grado (también llamada ecuación lineal) solo tiene una solución.

EJEMPLO:

4x + 3 = 21 – 2x

1. Agrupar los términos con X hacia el primer miembro y los que no llevan X al segundo miembro. Cuando un término pasa al otro lado de la igualdad, su signo cambia (si es positivo pasa a ser negativo y viceversa). 4x + 2x =21 – 3 2. Se realizan las operaciones respectivas en cada miembro de la ecuación. En este caso, corresponde una suma en uno de los miembros y una resta en el otro, lo que da como resultado:

4x + 2x =21 – 3 6x = 18 3. Se despeja la X, pasando el término que tiene adelante al otro lado de la ecuación, con signo opuesto. En este caso, el término está multiplicando, así que ahora pasa a dividir.

X=

18 6

4. Se resuelve la operación para conocer el valor de X.

X=3 Entonces, la resolución de la ecuación de primer grado quedaría de la siguiente manera: 4x + 3 = 21 – 2x 4x + 2x =21 – 3 4x + 2x =21 – 3 6x = 18 X=

18 6

X=3



ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es 2. Así, ax2 + bx + c = 0 es una ecuación de segundo grado. En esta ecuación La “x” es la variable o incógnita y las letras a, b y c son los coeficientes, los cuales pueden tener cualquier valor, excepto que a = 0.

EJEMPLO:

X² + 2x – 8 = 0

1. Acomodamos los valores

a = 1 (aunque no haya un numero acompañando a la x se entiende que es uno) b=2 c = -8

2. Identificamos la formula

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

𝑥=

3. Sustituimos

𝑥=

− (2) ± √(2)2 − 4(1)(− 8) 2(1)

4. Realizar las operaciones que están entre paréntesis

𝑥=

− 2 ± √4 + 32 2

5. Ahora tenemos que x es igual a la suma de 4 + 32

𝑥=

− 2 ± √36 2

6. Sacamos raiz cuadrada de 36

𝑥=

−𝑏 ± √6 2

7. Como tenemos signo ± quiere decir que realizaremos esta operación utilizando el signo de mas y el signo de menos, y obtendremos dos resultados

𝑥1=

𝑥2=

−2+6 2 −2−6 2

8. Ahora encontremos el valor de x1 y x2

𝑥1=

4

𝑥2=

−8 2

2

x1= 2

x2= -4



MÉTODOS DE SOLUCIÓNDE SISTEMAS DE ECUACIONES

POR SUSTITICIÓN El método de sustitución consiste en aislar en una ecuación una de las dos incógnitas para sustituirla en la otra ecuación. EJEMPLO: 1. Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones 2x + 5y = 25 (ecuación 1) 3x – y = 12 (ecuación 2) 2. Ya seleccionada la ecuación despejamos y cambiamos signos + 3x - y = 12 -y = 12 -3x y= -12 + 3x 3. Se sustituye la ecuación resultante en la otra ecuación, para tener una ecuación de primer grado con una incógnita 2x + 5y = 25 2x + 5(-12 + 3) = 25 4. Se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita 2x + 5(-12 + 3) = 25 2x – 60 + 15x =25

Simplificamos la x 17x = 25 + 60 17x = 85 X = 85

=5

17 5. El valor obtenido se sustituye en la ecuación obtenida en el paso 1 y se resuelve y= -12 + 3x y= -12 + 3 (5) y= -12 + 15 y=+3 POR SUMA / RESTA Este método consiste en sumar algebraicamente todos los términos comunes, es decir, todas las “x” con las “x”, todas las “y” con las “y”, y todos los términos independientes entre sí. Se realiza la multiplicación de una ecuación por un número con el fin de eliminar alguna de las dos incógnitas y tener como resultado solo una ecuación con una incógnita EJEMPLO: 1. Colocamos las ecuaciones a realizar 5x + 2y = 41 7x + 6y = 67 2. Trabajaremos con las letras “y”, esto quiere decir que trataremos de eliminarlas, y para poder eliminarlas, tenemos que multiplicar otra por un numero negativo, para así tener una “y” negativa y una “y” positiva, y se puedan eliminar.

3.

En este caso la multiplicaremos por -3, para que al multiplicar 2y -3 nos de -6 y así poder eliminarlas -3 (5x + 2y = 41)

-15x – 6y = -123

7x + 6y = 67

7x + 6y = 67

4. Ahora sumaremos todos los términos semejantes -15x – 6y = -123 7x + 6y = 67 -8x 0 = - 56 5. Como se puede observar, ya se eliminó una incógnita y queda así nuestra ecuación -8x = - 56 X = - 56 / - 8 X=7 6. Para encontrar el valor de “y”, tenemos que utilizar una de las ecuaciones y sustituir el valor de “x” 5x + 2y = 41 Sustituimos datos

5 (7) + 2y = 41 35 + 2y = 41 2y = 41 – 35 2y = 6 y= 6 / 2 y= 3

POR IGUALACIÓN Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de dos ambos despejes. EJEMPLO: 1. Colocamos la ecuación a realizar 3x – 4y= -6 2x + 4y= 16 2. Despejamos “x” en cada una de las ecuaciones y cambiamos signos

𝑥=

− 6 + 4𝑦 3

𝑥=

1 6 − 4𝑦 2

3. Aplicamos el método de igualación y realizamos las operaciones correspondientes 2 (-6 + 4y) = 3 (16 – 4y) 12y + 8y = 48 + 12 y = + 60 / 20 y= 3 4. Encontrar el valor de “x” 2x + 4 (3) = 16 2x 2x

=16 – 12 =4/2 x= 2

CONCLUSIÓN

En relación a lo antes expuesto podemos deducir que las ecuaciones sirven para codificar relaciones en lenguaje algebraico y, a partir de ahí, manejarlas matemáticamente. Esto supone una herramienta muy potente para resolver problemas. Con el trabajo se pudo evidenciar los distintos manejos con los que cuenta el sistema de ecuaciones y sus distintas fórmulas, integrando así los diferentes procedimientos que requiere cada uno de estos sistemas para obtener resultados correctos.

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ECUACION

CUADRATICA.

(17

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febrero

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https://miprofe.com/ecuacioncuadratica/#:~:text=Una%20ecuaci%C3%B3n%20cuadr%C3%A1tica %20o%20de,de%20la%20inc%C3%B3gnita%20es%202.&text=En%20esta%20ecuaci%C3%B3n% 20La%20%E2%80%9Cx,%2C%20excepto%20que%20a%20%3D%200

Ecuación

de

primer

grado.

(16

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febrero

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