AB4 LA - Prof. Anna Wienhard PDF

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Prof. Anna Wienhard...

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A. Wienhard, A. Randecker Wintersemester 2020/2021 Heidelberg, 24. November 2020

Lineare Algebra I Übungsblatt 4 Stichworte: Komplexe Zahlen, Vektorräume, Untervektorräume, Erzeugendensysteme

Aufgabe 1 Komplexe Zahlen – Peer Feedback (4 Punkte) a) Sei z ∈ C\{1, −1}. Zeigen Sie, dass w := und Im(w) 6= 0), wenn |z| = 1.

z−1 z+1

genau dann rein imaginär ist (d.h.Re(w) = 0

b) Tauschen Sie Ihren Beweis von a) mit einer/einem Kommilitonen/Kommilitonin aus. Geben Sie Feedback zum erhaltenen Beweis mit Hilfe des Bewertungsschemas aus dem MaMpf und durch zusätzliche Kommentare direkt im Beweis. Geben Sie das Feedback an den/die Ersteller/in des Beweis zurück. Geben Sie für jedes Mitglied Ihrer Abgabegruppe das ausgefüllte Bewertungsschema zusammen mit dem erhaltenen Beweis ab (mit Kennzeichnung, wer den Beweis geschrieben und wer Feedback gegeben hat). Sie erhalten die Punkte dieser Aufgabe für das Feedback! Aufgabe 2 Polynome bilden Vektorraum (4 Punkte) Sei K ein Körper. Ein Polynom mit Koeffizienten in K ist ein formaler Ausdruck

n P

i=0

mit n ∈ N und a0 , . . . , an ∈ K . Wir bezeichnen die Menge aller Polynome mit Koeffizienten in K mit K[X]. a) Zeigen Sie, dass K[X] mit der Addition + : K[X] × K [X] → K [X ], ! max{n,m} m n X X X bi X i 7→ ai X i , ci X i i=0

i=0

i=0

und der Skalarmultiplikation · : K × K[X] → K[X],

c,

n X i=0

   ai + bi , i ≤ min{n, m} mit ci := ai , i>m  b , i>n i

ai X

i

!

ein Vektorraum über K ist. b) Geben Sie ein Erzeugendensystem von K[X] an.

7→

n X i=0

ci X i

mit ci := c · ai

ai X i

Aufgabe 3 Vektorraumstruktur vererben (4 Punkte) Betrachten Sie den Körper K := Z/pZ für eine Primzahl p. Es sei V ein K–Vektorraum und U eine Untergruppe von (V, +), das heißt, U ist bezüglich der auf U eingeschränkten Addition eine Gruppe. Zeigen Sie, dass U ein K–Vektorraum bezüglich der auf U eingeschränkten Addition und skalaren Multiplikation von V ist. Aufgabe 4 Beispiele von Untervektorräumen (4 Punkte) Sei n ≥ 2. Welche der folgenden Teilmengen von Rn sind Untervektorräume? a) Die Menge A aller Vektoren mit ganzzahligen Koordinaten. b) Die Menge B := {(a, b, a, b, . . . ) ∈ Rn | a, b ∈ R}. c) Die Menge C := {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | x1 + · · · + xn = 0}. d) Die Menge D := {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | x1 + · · · + xn = 1}.

Abgabe bis Dienstag, 1. Dezember 2020, 20:00 Uhr im MaMpf in Zweiergruppen. Abgabe zu dritt ist erlaubt....