AB2 LA - Prof. Anna Wienhard PDF

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Prof. Anna Wienhard...

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A. Wienhard, A. Randecker Wintersemester 2020/2021 Heidelberg, 10. November 2020

Lineare Algebra I Übungsblatt 2

Stichworte: Abbildungen, Relationen, Gruppen

Aufgabe 1 Abelsche Gruppen – Peer Feedback (4 Punkte) a) Sei (G, ·) eine Gruppe mit neutralem Element e. Für alle g ∈ G gelte g · g = e . Zeigen Sie, dass (G, ·) abelsch ist. b) Tauschen Sie Ihren Beweis von a) mit einer/einem Kommilitonen/Kommilitonin aus (die Zuteilung erfolgt im Tutorium). Geben Sie Feedback zum erhaltenen Beweis mit Hilfe des Bewertungsschemas aus dem MaMpf und durch zusätzliche Kommentare direkt im Beweis. Geben Sie das Feedback an den/die Ersteller/in des Beweis zurück und geben Sie für jedes Mitglied Ihrer Abgabegruppe den erhaltenen Beweis zusammen mit dem von Ihnen ausgefüllten Bewertungsschema ab. Aufgabe 2 Relationen und Abbildungen (4 Punkte) Seien M und N zwei Mengen und f : M → N eine Abbildung. Die Relation ∼f auf M sei gegeben durch die folgende Regel: Für x, y ∈ M gelte x ∼f y genau dann, wenn f (x) = f (y ). Zeigen Sie die folgenden Aussagen: a) Die Relation ∼f ist eine Äquivalenzrelation. b) Die Äquivalenzklasse von x ∈ M ist gegeben durch [x] := f −1 (f (x)). c) Die Abbildung f¯: M/ ∼f → N , f¯([x]) = f (x) ist wohldefiniert und injektiv. d) Jede Äquivalenzrelation auf M kann als ∼f für eine geeignete Abbildung f dargestellt werden. Aufgabe 3 Charakterisierung injektiver Abbildungen (4 Punkte) Seien A und B Mengen und f : A → B eine Abbildung. Beweisen Sie die Äquivalenz der folgenden drei Aussagen: (i) Die Abbildung f ist injektiv. (ii) ∀ X, Y ⊆ A : ((X ∩ Y = ∅) ⇒ (f (X) ∩ f (Y ) = ∅)) (iii) ∀ X ⊆ A : f −1 (f (X)) = X .

Aufgabe 4 Beispiele von Relationen und Gruppen (4 Punkte) Beweisen oder widerlegen Sie: a) Die folgende Relation auf Z ist eine Äquivalenzrelation: Für x, y ∈ Z gilt x ∼ y genau dann, wenn x2 = y 2 gilt. b) Die folgende Relation auf N ist eine Äquivalenzrelation: Für x, y ∈ N gilt x ∼ y genau dann, wenn x die Zahl y teilt. c) Das Paar (P(N), ∩) ist eine Gruppe. d) Sei F := {f | f : R → R} die Menge aller Funktionen und ∗ : F × F → F gegeben durch (f ∗ g)(x) = f (x) + g(x) für alle f, g ∈ F und x ∈ R. Dann ist (F, ∗) eine Gruppe.

Abgabe bis Dienstag, 17. November 2020, 20:00 Uhr im MaMpf in Zweiergruppen. Abgabe zu dritt ist erlaubt....