Actividad 1 estadística inferencial 2021 PDF

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Actividad 1 con los ejercicios resueltos de la materia de estadística inferencial uvm 2021...

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ACTIVIDAD 1: EJERCICIOS SOBRE DISTRIBUCIO NES DISTRIBUCIONES MUESTRALES

Fecha:25/07/2021 Nombre del estudiante: Mario López López Nombre del docente:

• Con base en el material consultado en la unidad resuelve los ejercicios que se plantean acerca de los siguientes temas: ➢ Distribuciones muestrales ➢ Teorema del Límite Central (TLC)

Técnicas básicas 1. Una población consta de cinco números: 2,3,6,8,11. Considere todas las muestras posibles de tamaño dos que pueden extraerse con reemplazo de esta población. Encontrar: a. La media de la población b. La desviación estándar de la población c. El valor esperado de la media muestral d. La desviación estándar (error estándar) de la media muestral

a ¿ μ=

2+ 3 + 6+8 + 11 =6 5

μ=6

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√

b¿σ=

√

σ=

2

2

2

2

2

( 2−6 ) + ( 3− 6 ) + (6− 6 ) +( 8− 6 ) +( 11− 6 ) 5

54 =3.286 5

σ =3.286 c) Muestras de tamaño 2 (2,2)

(2,3)

(2,6)

(2,8)

(2,11)

(3,2)

(3,3)

(3,6)

(3,8)

(3,11)

(6,2)

(6,3)

(6,6)

(6,8)

(6,11)

(8,2)

(8,3)

(8,6)

(8,8)

(8,11)

(11,2)

(11,3)

(11,6)

(11,8)

(11,11)

Medias de las muestras de tamaño 2 2

2.5

4

5

6.5

2.5

3

4.5

5.5

7

4

4.5

6

7

8.5

5

5.5

7

8

9.5

6.5

7

8.5

9.5

11

μx =

2+2.5 + 4+5+ 6.5 + 2.5 +3+ 4.5 + 5.5 +7+ 4+ 4.5 +6 + 7 + 8.5 +5+ 5.5 +7 + 8 + 9.5 + 6.5 +7+ 8.5 + 9.5 + 11 25

μx =6 2 d ¿ σ x=

135 =5.40 σ x =2.323 25

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2. Se seleccionaron muestras aleatorias de tamaño n de poblaciones con las medias y varianzas dadas aquí. Encuentre la media y desviación estándar de la distribución de muestreo de la media muestral X en cada caso: a. n= 36, µ=10, σ

2

b. n=100, µ = 5, σ c. n= 8, µ =120, σ

2

2

= 9, = 4, =1,

σ =3 σ =2

σ =1

Si las poblaciones muestreadas son normales, ¿cuál es la distribución de muestreo de X para los incisos a, b y c? De acuerdo con el Teorema del Límite Central, si las poblaciones muestreadas no son normales, ¿qué se puede decir acerca de la distribución muestral de X para los incisos a, b y c? 3. Una muestra aleatoria de n observaciones se selecciona de una población con desviación estándar

σ=1. Calcule el error estándar de la media (SE) para los siguientes valores de n. a. n=1 b. n=2 c. n=4 d. n=9 e. n=16

1 σ = =1 √n √1 σ σ x = = 1 =0.707 √n √2 1 σ σ x = = =0.5 √n √4 1 σ σ x = = =0.333 √n √9 σ 1 σ x= = =0.25 √ n √ 16 σ x=

σ 1 = =0.200 √ n √ 25 σ 1 = =0.1 g. n=100 σ x = √ n √ 100 f.

n=25

σ x=

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4. Se seleccionaron muestras aleatorias de tamaño n de poblaciones binomiales con parámetros poblacionales p dados aquí. Encuentre la media y la desviación estándar de la distribución de muestreo de la proporción muestral pˆ en cada caso:

√ √ √

√ √ √

a. n=100, p= 0.3

σ p=

ρ´ ( 1− p´ ) 0.3 (1− 0.3) = =0.0458 n 100

μ p=0.3

b. n= 400, p= 0.1

σ p=

ρ´ ( 1− ´p) 0.1 (1−0.1 ) =0.015 = 400 n

μ p=0.1

c. n= 250, p= 0.6

σ p=

ρ´ ( 1− ´p) 0.6 (1−0.6 ) = =0.0309 n 250

μ p=0.6 ˆ

5. ¿Es adecuado utilizar la distribución normal para aproximar la distribución de muestreo de P en las siguientes circunstancias? a. n= 50, p= 0.05

Z=

´p −μ p σp

=

σ p=

√

√

ρ´ ( 1− ´p) 0.05 (1− 0.05) =0.0308 = 50 n

0.05−0.05 =0 0.0308

b. n= 75, p= 0.1

No es buena idea ocupar la distribución normal ya que no da 0 comoresultado c. n= 250, p= 0.99

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Aplicaciones 1. Enfermedad de Alzheimer. La duración de la enfermedad de Alzheimer desde el principio de los síntomas hasta el fallecimiento varía de 3 a 20 años; el promedio es 8 años con una desviación estándar de 4 años. El administrador de un gran centro médico selecciona al azar, de la base de datos del centro, los registros médicos de 30 pacientes de Alzheimer ya fallecidos y anota la duración de la enfermedad para cada unidad en muestra. Encuentre las probabilidades aproximadas para los siguientes eventos: a. La duración promedio es menor a 7 años b. La duración promedio excede de 7 años c. La duración promedio está a no más de un año de la media poblacional µ= 8

( ) ( )

a ¿ P ( X 7 ) =1−P ( ´x 1,300 )=1−0.891 =0.109

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4. Duración de baterías para automóvil. Un fabricante de baterías para automóvil afirma que la distribución del tiempo de duración (tiempo de vida) de las baterías de su mejor marca tiene una media µ= 54 meses y una desviación estándar σ=6 meses. Suponga que un grupo de consumidores decide verificar la afirmación y para ello compran una muestra de 50 baterías y las somete a prueba para medir su tiempo de vida. a. Suponiendo que la afirmación del fabricante es verdadera, describa la distribución de muestreo de la media muestral cuando n=50 baterías. b. Suponiendo que la afirmación del fabricante es verdadera, ¿cuál es la probabilidad de que la muestra de 50 baterías tenga un tiempo de vida de 52 meses o menos?

a ¿ z=

´x −μ ´x −54 =0= 6 σ n 50 √ √

´x =54 b ¿ z=

´x −μ 52−54 =z= =−2.357=0.00921 σ 6 √n √ 50

P ( x´ ≤52) =1−0.00921=0.99079

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5. Temperatura corporal. Suponga que la temperatura corporal de personas sanas se distribuye aproximadamente normal con media 37.0 C y desviación estándar de 0.4 C. a. Si 130 personas sanas se seleccionan aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que la temperatura promedio para estas personas sea de 36.80 o menor? b. ¿Consideraría una temperatura promedio de 36.80 como poco probable de ocurrir, si la verdadera temperatura promedio de las personas sanas es de 37 C?

z=

´x −μ 36.80−37.0 =z= =−5.700=0.00000000599 0.4 σ √n √ 130

P ( x´ ≤36.80 ) =1−0.00000000599 =0.99999999401 Es unatemperatura muy probable de ocurrir , ya que la probabilidad es muy alta . 6. Costo de un apartamento. El costo promedio de un apartamento en el desarrollo Cedar Lakes es de $62,000 usd con una desviación estándar de $4,200 usd. a. ¿Cuál es la probabilidad de que un apartamento en este desarrollo cueste al menos $65,000 usd? b. ¿La probabilidad de que el costo promedio de una muestra de dos apartamentos sea al menos de $65,000 usd es mayor o menor que la probabilidad de que un apartamento cueste eso? ¿En qué cantidad difiere?

a ¿ z=

´x −μ 65000−62000 = 0.714= 0.762 =z= 4200 σ √n √1

P ( x´ =65,000 )=1−0.762=0.238 a ¿ z=

´x −μ 65000−62000 =1.010 =0.843 =z= σ 4200 √n √2

P ( x´ ≥ 65,000 )=1−0.843=0.157

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La probabilidad es menor de que 2 departamentos cuesten al menos $65,000, por una diferencia de 8.1%

7. Lanzamiento de una moneda. Una moneda justa se lanza n=80 veces. Sea pˆ la proporción muestral de caras (soles). Encuentre P(0.44...