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TALLER 1FUNCIONES Y LIMITESPresentado por: Mayerly Sarabia Palacio ID: 718685Presentado a: Leidy Lorena Pabon Beltran NRC: 7203Corporación Universitaria Minuto de Dios Mayo 2021Unidad 1Actividad 1Taller de funciones y límitesEstimado estudiante:Para la elaboración del siguiente taller, debe tener en...

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TALLER 1 FUNCIONES Y LIMITES

Presentado por: Mayerly Sarabia Palacio ID: 718685

Presentado a: Leidy Lorena Pabon Beltran NRC: 7203

Corporación Universitaria Minuto de Dios Mayo 2021

Unidad 1 Actividad 1 Taller de funciones y límites Estimado estudiante: Para la elaboración del siguiente taller, debe tener en cuenta los conceptos y los ejercicios que ha practicado en su proceso de lectura, tal como se indica en la actividad. Muchos éxitos. 1. Calcule y simplifique las siguientes expresiones en función del valor de x e indique el paso a paso. f ( −2) ; f ( −2+h ) ; f ( −2+h ) −f (−2 ) ; [ f ( −2+h )−f ( −2 ) ]/h

Para las siguientes funciones: a)

f ( x )=−3 x +4 : 

f ( −2)



f ( −2+h )



f ( −2+h ) −f (−2 ) = -3h + 10 – 10 = -3h



[ f ( −2+h )−f ( −2 ) ]/h

= -3 (-2) +4 = 6+4 = 10

= -3 (-2+h) + 4 = 6 -3 +4 = -3h +10

= -3h = -3 h

b)

c)

f ( x )=2 x 2−4 x+7 : 

f ( −2) = 2 ( -2)2 – 4 (-2) + 7 = 2 ( -2)2 = 4.2 = 8 = 23 + 15 = 8 + 15 = 23



f ( −2+h )



f ( −2+h ) −f (−2 ) = 2h2 – 12h + 23 – 23 = 2h2 – 12h



[ f ( −2+h )−f ( −2 ) ]/h

= 2( -2+h)2 – 4 ( -2+h) +7 = ( -2+h)2 4 – 4h+h2 = 2 (4 – 4h + h2) 8 -8h + 2h2 = 8 – 8h + 2h2 – 4 (-2 +h ) 7 = - 4 (-2 +h) 8 – 4h = 8 – 8h + 2h2 + 8 – 4h +7 = 2h2 – 12h + 23

= 2h2 - 12h = 2h2 - 12 h

f ( x )=x 3−x 2 −2 x+ 4 : 

f ( −2)

= ( -2)3 – (-2)2 – 2(-2) + 4 = -23 – 22 + 2 – 2 + 4 = -23 - 22 + 4 + 4 = 8 – 8 – 22 = 8–8–4 = -4



f ( −2+h )

= ( -2 +h)3 – (-2 +h)2 – 2 (-2 +h) + 4 = h3 – 7h2 + 14h – 4

d)



f ( −2+h ) −f (−2 )



[ f ( −2+h )−f ( −2 ) ]/h

f ( x )= 

= h3 – 7h2 + 14h – 4 – 4 = h3 -7h2 + 14h – 8 = h3 – 7h + 14h – 8 h

x −x +5 f ( −2)

= -2 -2 + 5



e)

f ( x )=

f ( −2+h )

= -2 +h = -2+h -(-2+h) +5 2- h+5

= -2+h 7-h

{−21−4x+1x sisi xx>1≤ 1



f ( −2) = -2 (-2)+1 = 4+1 = 5



f ( −2+h ) = -2 (-2 +h) + 1 = -2h + 5



f ( −2+h ) −f (−2 )

= -2h + 5 – 5 = -2h



[ f ( −2+h )−f ( −2 ) ]/h

= -2 = -2 h

=-8 h

1−4 x



f ( −2)

= 1 – 4 (-2)

= 1+8 = 9



f ( −2+h )



f ( −2+h ) −f (−2 )



[ f ( −2+h )−f ( −2 ) ]/h

= 1 – 4 ( -2+h) = - 4h + 9

= - 4h + 9 – 9 = - 4h = -4h

-4

h

2. Determine el dominio y el rango de las siguientes funciones, demuestre el paso a paso y trace las gráficas indicando qué tipo de función representan.

a)

f ( x )=3 x−

y= 3x-3 2 2 m= 3 2

3 2

Para la ecuación de la recta de la forma es y = mx + b, la pendiente es m

b)

g ( x) =−2 x 2 +x−7

xv = 1 4 yv = - 55 8 (1 - 55 ) 4

8

El vértice de una parábola abierta debajo de la forma y = ax 2 + bx+c es xv = b\2

c)

h( x )=−x 3+

1 x −6 2

y = -x3 + 1 2x – 6

X=3

d) f ( x )=

{

−x2 si x ≤−2 −x +4 si x>−2

-x2 = xv = 0 + 0 2 xv = 0 -x + 4 = m 1

Para la ecuación de la recta de la forma y= mx+b, la pendiente es m

e)

{

x 2−4 si x>3 g ( x) = 4 si−1≥ x ≥ 3 3−x si x ←1

X2 – 4 =

xv = -b = xv = - 0 = xv = 0 2ª 2.1

Yv= - 4

Por lo tanto, el vértice de la parábola es (0, - 4) g (x) = 4 y = 0x + 4 = m = 0

Dado que la función es constante, no tiene función inversa g (x) = 3 – x m=1

Para la ecuación de la recta de la forma y = mx+b, la pendiente es m

2 y y 3. Dadas las siguientes funciones f ( x )=−x 3 +3 x−5 g ( x) =x −2 x +2 h ( x ) =2−x , evalúe cada una de las operaciones y composiciones que aparecen a continuación, y exprese el paso a paso.

a)

( f +g )(−1) =−f −g

b)

( h− g )=h−g

c)

( ( f +h )∗( g−f )) ( −2)=−2(f +h )( g−f )

d)

( g∗hf )(3 )= ghf

x3

=

gh X 3 f

=

3 gh f

e)

( g °h )(−2)

f)

( f ° g ) (1 )

g)

( g °(f ° h)) (−1 )

4. Evalúe los siguientes límites, e indique el proceso para llegar al valor del límite. 2 2 ¿ 3(2)❑ - 5(2)+3 a) lim (3 x −5 x +3) x→ 2

= 3(4)-10+3 = 12-10+3 =5

b)

lim x→ 2

2 x 2+3 x 3+4 x−2

=

2( 2 ) +3} over {{(2)} ^ {stack { 3 # }} +4 left (2 right ) -2 ¿ =

c)

8+3 2 ( 4 ) +3 = 16 −2 8+8− 2

(x+2)( x 2−x +3 ) =¿ lim x →−2 x 2+ x −2 ¿

=

1 14

(−2+2 ) (1−2) ❑2− (−2 ) +3 ¿ ¿ (−2) ❑2 ´ + ( −2)−2

4 + 2 +3 9 = 4−2−2 0

Indeterminado

d)

x 2−4 2 x →−2 x +3 x +2

¿

lim

4− 2 4−6+2

=

e)

lim x→ 2

√ x+7−3 x −2

( −2)❑2−4 ( −2 )❑2 +3 (−2 ) +2

=

=

0 0

√ 2 + 7 −3 = 5,41 0 2−2

Indeterminado

Indeterminado

f)

2− √ x−3 lim 2 x −49 x→ 7

g)

lim

2− √7−3 = 72

√ 1+ x− √1−x x

x→ 0

¿

2−√ 4 = 2 49 − 49

√1+0−√ 1−0 0

=

49−¿= =

1−1 0

0 0

2−2 ¿

=

0 '

5. Resuelva los siguientes problemas e indique el proceso para darles solución. a) Un automóvil se deprecia, año tras años, desde el momento de su compra, de una forma continua. El valor, después de pasado un tiempo (t en años), se da por medio de la siguiente fórmula: −0.3 t

V =8500 e 

¿Qué tipo de función es esta? Función Exponencial



Determine el valor del automóvil después de 5 y 10 años.

V(5) =8500 (2,71828) V(5) = 1896,6 = 1897

V(10) = 8500 (2,71828) V(10) = 423,19



Establezca la disminución porcentual del valor de cada año.

1896,6 – 100% 423,19 – X X=

423,19∗100 1896,6

X= 22,31 % Disminución = 100 – 22,31 = 77,69% b) Una empresa de taxis compra un nuevo vehículo por 70 millones de pesos, y calcula que el precio de recuperación de compra se da por la siguiente fórmula: R=f ( x ) =68−0.0003 x

Y=b- mi

Donde R corresponde al precio de recuperación (en millones de pesos) y x es el número de horas trabajo. 

¿Qué tipo de función es esta?

Respuesta: Función Lineal Y= mx+b 

¿Cuál es el valor de recuperación esperado después de 8.000 horas de trabajo?

F(x)= 68 – 0,0003 (8000) F(x) = 65,6



¿Por cuántas horas se debe utilizar el vehículo para que el valor de recuperación sea igual a cero?

0=68 – 0,003 x 0, 0003 x = 68 X= 68 /0,0003 X= 226666,66 

¿Qué interpretación le daría a la intersección de y?

c) La función del costo total tendrá la forma y=C ( x) =costo variable total +costo fijo total .

Y los costos variables totales dependen de dos componentes: costos de la materia prima y costos del trabajo. Un fabricante de celulares produce 2 modelos, cuyos costos fijos anuales son de $20 millones. A continuación, se plantea una tabla con los valores de los dos modelos de celulares en la que se tienen en cuenta el costo de material por unidad, el costo de trabajo por unidad y el precio de venta de cada celular por unidad al mayoreo:

Costo de trabajo por unidad Costo de material por unidad Precio de venta de cada celular por unidad al mayoreo 

Modelo 1 celular

Modelo 2 celular

120 215 $700

180 470 $1.200

Establezca la función del ingreso total conjunto de las ventas de los dos modelos de celulares.



Establezca la función del costo total anual de la fabricación de los dos modelos.



Establezca la función de la utilidad de la venta de los dos modelos.



¿Cuál es la utilidad anual de la empresa si esta vende 8.000 y 3.000 celulares respectivamente?

d) La siguiente gráfica representa los precios con respecto a la demanda: Unidades

Precio $

q =f ( p )



Halle la función de la demanda



Calcule el precio como resultado con una demanda de 15.300 unidades.



Calcule e interprete la pendiente de la función.



Defina el dominio restringido y el rango de la función....