Actividad grupal 3 - semana 3 - cuestionario de tarea PDF

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“Año del Bicentenario del Perú: 200 años de independencia”UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSUNIVERSIDAD DEL PERÚ, DECANA DE AMÉRICAESCUELA DE ESTUDIOS GENERALESÁREA DE INGENIERÍASOLUCIONARIO DE EJERCICIOS SEMANA 3CURSOÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICAPROFESORMIGUEL OMAR HERNANDEZ IGLESIASSECCIÓN 1...

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“Año del Bicentenario del Perú: 200 años de independencia” UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS UNIVERSIDAD DEL PERÚ, DECANA DE AMÉRICA ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES ÁREA DE INGENIERÍA

SOLUCIONARIO DE EJERCICIOS SEMANA 3 CURSO ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA PROFESOR MIGUEL OMAR HERNANDEZ IGLESIAS SECCIÓN 1

AUTORES • Alvarez Condori, Christian Anthony • Alejos Romero, Antonella Alessandra • Alvino Garcia, Daniel Victor • De la Cruz Oropeza, Andy Rodolfo • Pérez Mundo, María Belén • Sotomayor Chirinos, Juan José

1) (2 + 𝑖)(1 − 2𝑖) 3−𝑖

𝑑)

=

=

4 − 3𝑖 (3 + 𝑖) 3 − 𝑖 (3 + 𝑖)

=

3) Determine 𝑘 para que el cociente de SOLUCIÓN •

𝑘+𝑖

1+𝑖

=

4 − 3𝑖 3−𝑖

15 − 2𝑖 9+1

15 − 2𝑖 3 𝑖 = − 10 2 5

sea igual a (2 − 𝑖)

Resolvemos:

𝑘+𝑖 = 2 − 𝑖 → 𝑘 + 𝑖 = (1 + 𝑖)(2 − 𝑖) 1+𝑖 𝑘 + 𝑖 = 2 − 𝑖 + 2𝑖 − 𝑖 2 ,

𝑖 2 = −1

𝑘 + 𝑖 = 2 + 𝑖 − (−1) 𝑘+𝑖 =3+𝑖 𝑘=3

4. 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑦 𝑏 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑞𝑢𝑒: (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑎𝑖) = 3 + 4𝑖

𝑆𝑂𝐿𝑈𝐶𝐼Ó𝑁: 𝐴𝑙 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑟:

𝑎2 𝑖 + 𝑎𝑏(−1) = 3 + 4𝑖

𝑎2 = 4

−𝑎𝑏 = 3

→ 𝑎 = ±2

3

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑎 = −2 → 𝑏 = 2 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑎 = 2 → 𝑏 = −

3

2

5) Hallar el valor de 𝑏 para que el producto (3 + 6𝑖)(4 + 𝑏𝑖) sea: a) Un número imaginario puro b) Un número real SOLUCIÓN

•

Resolvemos la multiplicación:

M = (3 + 6𝑖)(4 + 𝑏𝑖) = 12 + 3𝑏𝑖 + 24𝑖 + 6𝑏𝑖 2 , = (12 − 6𝑏) + (3𝑏 + 24)𝑖

𝑖 2 = −1

•

Observamos que: o La parte real de M es (12 − 6𝑏) o La parte imaginaria de Mes (3𝑏 + 24)

•

Resolviendo la letra a) o Para que M sea un número imaginario puro, la parte real debe de ser igual a cero, entonces:

•

12 − 6𝑏 = 0 → 𝑏 = 2

Resolviendo la letra b) o Para que M sea un número real, la parte imaginaria debe de ser igual a cero, entonces: 3𝑏 + 24 = 0 → 𝑏 = −8

7) a) Calcular el módulo de: −

1 √3 + 𝑖 2 2 2

1 3 √3 1 2 √(− ) + ( ) = √ + = √1 2 2 4 4 =1

7) 𝑏)

|𝑍| = | |𝑍| =

(4 + 3𝑖)(1 + 𝑖) =𝑍 7−𝑖 (4 + 3𝑖 )(1 + 𝑖) | 7−𝑖

|(4 + 3𝑖)||(1 + 𝑖)| |(7 − 𝑖 )|

|(4 + 3𝑖 )| = 5

|(1 + 𝑖 )| = √2

|(7 − 𝑖 )| = 5√2

|𝑍 | = 8 A) Hallar el conjugado de

(5)(√2) 5√2

=1

(4 − 3𝑖 )(1 + 𝑖 ) 7−𝑖

4 + 4𝑖 − 3𝑖 − 3𝑖 2 7−𝑖 7+𝑖 7−𝑖 . 7 − 𝑖 7 − 𝑖

𝑖2

1

49 + 7𝑖 + 7𝑖 + 𝑖 2 49 + 7𝑖 − 7𝑖 − 𝑖 2

24 7𝑖 48 + 14𝑖 = + 50 50 25

𝐶𝑂𝑁𝐽𝑈𝐺𝐴𝐷𝑂:

8 B) Hallar el conjugado de

24 7𝑖 − 50 25

(4 − 3𝑖 )(4 − 3𝑖 ) 7 − 7𝑖

7 + 7𝑖 25 42 + 32 = . 7−𝑖 7 − 7 𝑖 7 + 7𝑖 175 + 175𝑖 49 + 49𝑖 − 49𝑖 − 49𝑖 2 175 + 175𝑖 98

=

175 175𝑖 + 98 98

𝐶𝑂𝑁𝐽𝑈𝐺𝐴𝐷𝑂:

175 175𝑖 − 98 98

9) b) Representar la forma trigonométrica del siguiente número complejo:

(𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑎 − 𝑏𝑖) = 𝑎 2 + 𝑏2 )

−5 + 5𝑖

𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑜:

𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒: 𝑟 = 5 𝑦 θ = 𝑧 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠θ + 𝒊𝑠𝑒𝑛θ)

𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎: 𝑧 = 5(

𝜋 4

√2 √2 +𝟓 ) 2 2

9. 𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟 𝑒𝑛 𝑠𝑢 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜:

𝑐) − 3 + 4𝑖

𝑟 = |𝑧| = √(−3)2 + 42 = 5 𝑎

𝐶𝑜𝑠𝜃 = − 𝑟 = − 𝑏

𝑠𝑒𝑛𝜃 = = 5 𝑟

∴ 𝜃 = 127°

4

3

5

𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑠: 𝑧 = 5(cos(127°) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(127°))...