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TAREA 2. VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES

PRESENTADO POR ENRIQUE JOSÉ CARRANZA GRUPO: 208046_461 CÓD: 80196620

PRESENTADO A MIRYAM MERCEDES ACOSTA MARTINEZ TUTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD INGENIERIA DE SISTEMAS MATEMATICAS DISCRETAS 2021

Ejercicio 1. Conceptualización de matrices, vectores y determinantes.

Ejercicio 2. Resolución de problemas básicos de vectores en 𝑹 𝟐 y 𝑹𝟑.

Considere los vectores 𝒗 y 𝒘 correspondientes al literal escogido, calcule: • • • •

•

La suma 𝒖 =𝒗+𝒘. La magnitud (o norma) de 𝒖 . El vector unitario en la dirección de 𝒖. El ángulo formado por 𝒗 y 𝒘.

c. 𝜗 = (1, −1,0) 𝑊 = (3,2,4) 𝒖 = 𝒗 + 𝑾 = (1, −1,0) + (3,2,4) = (1 + 3, −1 + 2,0 + 4) = (4,1,4)

COMPROBACIÓN EN SYMBOLAB

•

𝟐 𝟕𝟒 𝒎𝒂𝒈𝒏𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒐 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂:√(𝟒)𝟐 + (𝟏)𝟐 + (𝟒) = 𝟓, 𝟐

COMPROBACIÓN SYMBOLAB

•

Vector unitario de u= |𝑢|=(5,74 𝑖, 5,74 𝑗, 𝑘) = (0,69𝑖, 0,17𝑗, 0,69𝑘) = 5,74 𝑢

4

1

4

√(𝟎, 𝟔𝟗)𝟐 + (𝟎, 𝟏𝟕)𝟐 + (𝟎, 𝟔𝟗) = 𝟏𝟐

𝟐

COMPROBACIÓN SSYMBOLAB YMBOLAB

•

El ángulo formado por v y w w= = 𝐬𝐞𝐧 𝜽 = |𝒗||𝒘| 𝒗𝑥𝒘

PRIMERO SE DESARROL DESARROLLA LA EL PRODUCTO CRUZ

𝒊 𝒋 𝒌 𝒗 𝒙 𝒘 = 𝟏 −𝟏 𝟎 = {(−𝟏 ∗ 𝟒) − (𝟎 ∗ 𝟐)}𝒊 + {(𝟎 ∗ 𝟑) − (𝟏 ∗ 𝟒)}𝒋 + {(𝟏 ∗ 𝟐) − (−𝟏 ∗ 𝟑)}𝒌 𝟑 𝟐 𝟒 = −𝟒𝒊, −𝟒𝒋, 𝟓𝒌 = √(−𝟒𝟐 ) + (−𝟒𝟐 ) + 𝟓=𝟐 𝟕, 𝟓𝟓 𝟐

DESPUÉS SE HALLA LA MAGNITUD DE v y w y se aplica la fórmula |𝑣| = √𝟏𝟐 + −𝟏𝟐 + 𝟎𝟐 = 1,41 2

|𝑤| = √𝟑𝟐 + 𝟐𝟐 + 𝟒𝟐 = 5,38 2

𝐬𝐞𝐧 𝜽 =

𝟕, 𝟓𝟓 = 𝟎, 𝟗𝟗 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏𝟎, 𝟗𝟗 = 𝟖𝟏, 𝟖𝟗° 𝟏, 𝟒𝟏 ∗ 𝟓, 𝟑𝟖

𝐂𝐎𝐌𝐑𝐎𝐁𝐀𝐂𝐈Ó𝐍 𝐒𝐘𝐌𝐁𝐎𝐋𝐀𝐁

Ejercicio 3. Operaciones entre vectores de 𝑹𝟑.

Considere los vectores 𝒖 y 𝒗 correspondiente al literal escogido.

• •

Determine el producto cruz 𝒖 × 𝒗 Determine la proyección ortogonal del vector 𝒖 sobre 𝒗

𝑢 = (1, −1,0)

𝑣 = (−1,3, −1)

𝒊 𝒋 𝒌 𝒖 𝒙 𝒗 = 𝟏 −𝟏 𝟎 −𝟏 𝟑 −𝟏 = {(−𝟏 ∗ −𝟏) − (𝟎 ∗ 𝟑)}𝒊 + {(𝟎 ∗ −𝟏) − (𝟏 ∗ −𝟏)}𝒋 + {(𝟏 ∗ 𝟑) − (−𝟏 ∗ −𝟏)}𝒌 𝒖 𝒙 𝒗 = 𝟏𝒊, 𝟏𝒋, 𝟐𝒌

COMPROBACIÓN SYMBOLAB

11Determine la proyección ortogonal del vector 𝒖 sobre 𝒗 𝒑𝒓𝒐𝒚𝒗 𝒖 =

𝒖. 𝒗 𝒗 |𝒗|𝟐

PRIMERO SE HALLA EL PRODUCTO PUNTO

𝒖. 𝒗 = (𝟏 ∗ −𝟏) + (−𝟏 ∗ 𝟑) + (𝟎 ∗ −𝟏) = −𝟒

COMPROBACIÓN SYMBOLAB

|𝒗| = √−𝟏𝟐 + 𝟑𝟐 + −𝟏𝟐 = 𝟑, 𝟑𝟏𝟔𝟐 = 𝟏𝟎, 𝟗𝟗 = 𝟏𝟏 𝟐

COMPROBACION SYMBOLAB

𝒑𝒓𝒐𝒚𝒗 𝒖 =

−𝟒 (−𝟏, 𝟑, −𝟏) = (𝟎, 𝟑𝟔𝒊, −𝟏, 𝟎𝟗𝒋, 𝟎, 𝟑𝟔𝒌) 𝟏𝟏

Ejercicio 4. Operaciones con matrices y determinantes. Considere las siguientes matrices

•

Hallar la matriz resultante de la operación referente al literal escogido.

•

Calcular el determinante de la matriz obtenida en el ítem anterior.

(𝟓𝑩).(−𝟐𝑪)+(𝑨+𝑫)𝑻=

COMPROBACIÓN

4∗5 0∗5 4 0 20 0 (5)1| 5 | = | 1 ∗ 5 5 ∗ 5 | = | 5 25| 1 −4 5 −20 1 ∗ 5 −4 ∗ 5

1 2 3 1 ∗ (−2) 2 ∗ (−2) 3 ∗ (−2) −2 −4 −6| (−2) | | 4 | = | 1 ∗ (−2) −2 ∗ (−2) 0 ∗ (−2)| =−2 0 1 −2 0 COMPROBACIÓN

(20 ∗ −2) + (0 ∗ −2) (20 ∗ −4) + (0 ∗ 4) (20 ∗ −6) + (0 ∗ 0) 20 0 −2 −4 −6 |5 25| ∗ | | = (5 ∗ −2) + (25 ∗ −2) (5 ∗ −4) + (25 ∗ 4) (5 ∗ −6) + (25 ∗ 0) −2 4 0 (5 ∗ −2) + (−20 ∗ −2) (5 ∗ −4) + (−20 ∗ 4) (5 ∗ −6) + (−20 ∗ 0) 5 −20 −40 −80 −120 20 0 −2 −4 −6 | = | −60 80 |5 −30| 25| ∗ | −2 4 0 30 −100 −30 5 −20

COMPROBACIÓN

1+1 0+0 −3 + 0 1 0 −3 1 0 0 2 0 −3 3 + 7 −1 + (−1) 0 + 3 | = | 10 −2 3 | A+D=| 3 −1 0 | + | 7 −1 3| = | −1 + 4 4 + (−1) 2+0 3 3 2 −1 4 2 4 −1 0 2 10 3 2 0 −3 𝑇 |10 −2 3 | = | 0 −2 3 | 3 3 2 −3 3 2

COMPROBACIÓN

−40 + 2 −80 + 10 −120 + 3 −40 −80 −120 2 10 3 −60 + 0 80 + (−2) −30 + 3 | |=| | + | 0 −2 3 80 −30 30 + (−3) −100 + 3 −30 + 2 −3 3 2 30 −100 −30

(𝟓𝑩).(−𝟐𝑪)+(𝑨+𝑫)𝑻=| −60

(𝟓𝑩).(−𝟐𝑪)+(𝑨+𝑫)𝑻=|

• •

− 𝟑𝟖 −𝟕𝟎 −𝟔𝟎 𝟕𝟖 −𝟏𝟏𝟕 −𝟐𝟕 | 𝟐𝟕 −𝟗𝟕 −𝟐𝟖

Calcular el determinante de la matriz obtenida en el ítem anterior .

−38 −70 −117 −27 | − (−70)𝑑𝑒𝑡 |−60 −27 | − (117)𝑑𝑒𝑡 |−60 78 | 78 −27| = −38 det | 78−97 −28 27 −28 27 −97 27 −97 −28

𝑑𝑒𝑡 |−60

−38 −70 −117 78 −27| = −38(−4803) − (−70)(2409) − 117(3714) = −𝟖𝟑𝟑𝟗𝟒 27 −97 −28

𝑑𝑒𝑡 |−60

COMPROBACIÓN

Ejercicio 5. Resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes. • Determine la matriz inversa utilizando el algoritmo de eliminación de GaussJordán. Ayuda: Se coloca a la izquierda la matriz dada y a la derecha la matriz identidad. Luego por medio del uso de operaciones elementales entre filas se intenta formar en la izquierda la matriz identidad y la matriz que quede a la derecha será la matriz inversa a la dada.

•

Determine la matriz inversa por medio del cálculo de la matriz adjunta y el determinante.

Ayuda: 𝑆𝑖 𝑴 es una matriz invertible entonces 𝑴−𝟏=(𝟏𝐝𝐞𝐭(𝑴)∙𝑨𝒅𝒋(𝑴)).

El determinante no es cero, por tanto, su matriz inversa existe. 4 0 0 1 0 0 4 −8 160 0 4 1 −2 4 0 0 1 (0 0 −2 | 0 1 0) = ( 0 0 −2 | 0 1 0) = (𝑓1 ∗ 4) 0( 0 −2 | 0 1 0) 4 0 0 1 0 0 1 −2 4 0 0 1 4 0 0 1 0 0

1 −2 40 0 1 1 1 −2 4 0 0 1 (𝑓1 − 𝑓3) 0 ( 0 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑓3 𝑐𝑜𝑛 𝑓2 (0 1 −2| 1/8 0 −1/2 ) −2| 0 1 0) = 𝑓3 ∗ 8 0 1 0 0 0 −2 0 8 −16 1 0 −4 1 1 0 0 4 0 0 1 −2 4 0 0 1 1 ) = 𝑓1 − 𝑓1 0 1 −2 |1 𝑓2 ∗ (−2) ( 0 −2 4| − 1 4 0 1 0 − 2 8 0 0 −2 0 0 −2 0 1 0 ( 0 1 0 ) 1 0 0 1 0 0 4 1 = 𝑓3/−2 0 1 −2 | 1 0 − 2 0 0 1 8 0 −1/2 0 ) (

1 1 0 0 4 0 0 1 0 0 𝑓3 ∗ (−2) 0 1 −2 |1 = 𝑓3 − 𝑓2 0 1 0 1 0 − 2 0 0 −2 8 0 0 1 ( 0 1 0 ) (

1 4 1 |8

0

0 1 −1 − 2

1 0 − 2

0 )

𝟏 𝟒 |𝟏 = |𝟖

𝟎

𝟎

−𝟏 −

𝟎 −

𝟏 𝟐

𝟏 | 𝟐| 𝟎

Determine la matriz inversa por medio del cálculo de la matriz adjunta y el determinante. 4 0 0 0 −2 (0)𝑑𝑒𝑡 0 0 0 −2 | |+ | | − (0)𝑑𝑒𝑡 | 𝑑𝑒𝑡 | 0 0 −2 | = 4 𝑑𝑒𝑡 | 1 −2 1 4 −2 4 1 −2 4

𝑑𝑒𝑡 |

𝑑𝑒𝑡 |

𝑑𝑒𝑡 |

0 −2 | = (0 ∗ 4) − (−2 ∗ −2) = −4 −2 4

0 −2 | = (0 ∗ 4) − (−2 ∗ 1) = 2 1 4 0 0 | = (0 ∗ −2) − (0 ∗ 1) = 0 1 −2

𝑑𝑒𝑡 |

4 0 0 −20 1 −2

4

| = 4(−4) − 0(2) + 0(0) = −𝟏𝟔

4 0 0 𝑎𝑑𝑗 |0 0 −2 | = 1 −2 4 𝑀

−1

0 −2 0 −2 0 0 [ ] −[ ] [ 1 −2] −2 4 1 4 −𝟒 𝟎 𝟎 4 0 4 0 0 0 ] = |−𝟐 𝟏𝟔 𝟖 | ] −[ ] [ −[ 1 −2 | 1 4 | −2 4 𝟎 𝟖 𝟎 0 0 ] − [4 0 ] [4 0 [ ] 0 −2 0 −2 0 0

𝟏/𝟒 𝟎 𝟎 −4 0 0 1 𝟏/𝟖 −𝟏 −𝟏/𝟐 ∗ | −2 16 8 | = | = | −16 𝟎 −𝟏/𝟐 𝟎 0 8 0

COMPROBACIÓN...