Analisis de circuitos en alterna PDF

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guías virtuales sobre el tema de análisis de circuitos en alterna...

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CIRCUITOS ELECTRICOS II

SEMANA7

Semana 7 Análisis Circuitos de Corriente Alterna Propósito de Aprendizaje Análisis de los circuitos método de mallas, nodos, teorema superposición en corriente alterna usando análisis fasorial, teorema de Thévenin y máxima transferencia de potencia

I.- Análisis de Circuitos Mixtos 1.- Circuitos en Paralelo Las impedancias conectadas en paralelo se pueden reducir a una sola impedancia equivalente con la relación

La figura muestra la conexión en paralelo de impedancias. Observe que cuando las impedancias están en paralelo tienen el mismo voltaje entre sus terminales. La anterior se obtiene directamente de la figura combinando la ley de Kirchhoff para la corriente con la versión fasorial de la ley de Ohm

Donde la suma de las corrientes será la suma de todas ellas 𝑰 = 𝑰𝟏 +𝑰𝟐 +𝑰𝟑 +⋯ . +𝑰𝒏 Que es lo mismo a: 𝑽 𝑽 𝑽 𝑽 = + +⋯ . . + 𝒁𝒂𝒃 𝒁𝟏 𝒁𝟐 𝒁𝒏 1

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Así mismo, de la ecuación, para el caso especial de dos impedancias en paralelo, se tiene los siguiente:

𝑍𝑎𝑏 =

𝑍1 𝑍2 𝑍1 +𝑍2

2.- Admitancia (𝑌) La admitancia, se define como el inverso de la impedancia y se representa con 𝑌. Así: 𝑌=

1 = 𝐺 +𝑗𝐵 𝑍

Unidades Siemens (S) Al aplicar la ecuación de la impedancia a la ecuación anterior se obtiene: 𝑌𝑎𝑏 = 𝑌1 +𝑌2 +⋯ +𝑌𝑛

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Ejemplo1 La fuente de corriente senoidal del circuito que se presenta en la figura produce la corriente 𝑖𝑠 = 8√2 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 105 𝑡 𝐴.

a) Construir el circuito equivalente en la representación fasorial. b) Encontrar las expresiones de 𝑣, 𝑖1 , 𝑖2 𝑒 𝑖3 en estado estacionario. Solución a) La transformada fasorial de la corriente fuente es 8∠0° , las resistencias pasan directamente a la representación fasorial como 10 𝑦 6 Ω; el inductor de 40 µ𝐻 tiene impedancia de 𝑗8 Ω a la frecuencia indicada de 200 000 𝑟𝑎𝑑/𝑠; a esta frecuencia, el condensador de 1 µ𝐹 tiene una impedancia de −𝑗5 Ω. La figura muestra el circuito equivalente en la representación fasorial y los símbolos que representan las transformadas fasoriales de las incógnitas.

a) El circuito de la figura indica que podemos obtener el voltaje en la fuente de corriente una vez que sepamos cuál es la impedancia equivalente de las tres ramas paralelas. Así mismo, una vez que conozcamos 𝑣, podemos calcular los tres fasores de corriente 𝑖1 , 𝑖2 𝑒 𝑖3 . Para hallar la impedancia equivalente de las tres ramas, encontramos primero la admitancia equivalente sumando las admitancias de cada rama. La admitancia de la primera rama es:

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La admitancia de la segunda rama es:

y la admitancia de la tercera rama es:

La admitancia de las tres ramas es:

La impedancia en la fuente de corriente es:

El voltaje V es:

Por lo tanto

Revisamos estos cálculos comprobando que

Específicamente,

Las expresiones correspondientes al estado estacionario en el dominio del tiempo son:

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II.- Método de Transformación de Fuentes

Ejemplo 2 (Método de transformación de fuentes) Utilizar el concepto de transformación de fuente para encontrar el fasor de voltaje 𝑉 en el circuito de la figura

Solución Podemos sustituir la combinación en serie de la fuente de voltaje 40∠0°𝑉 y la impedancia de 1 + j3Ω por la combinación en paralelo de una fuente de corriente y la impedancia de 1 + 𝑗3Ω . La corriente fuente es:

De esta manera podemos modificar el circuito para obtener el de la figura. Observe que la polaridad de referencia de la fuente de 40𝑉 determina la dirección de referencia de 𝐼.

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Después podemos combinar las dos ramas paralelas para obtener una sola impedancia:

que está en paralelo con la fuente de corriente de 4 – 𝑗12 𝐴. Otra transformación de fuente convierte esta combinación en paralelo a una combinación en serie que consiste en una fuente de voltaje en serie con la impedancia de 1.8 + 𝑗2.4Ω. El voltaje de la fuente de voltaje es:

Con esta transformación de fuente, el circuito en la figura. Observe la polaridad de la fuente de voltaje. Añadimos la corriente 𝐼𝑜 para obtener más fácilmente la solución de 𝑉𝑜

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Observe que el circuito se ha reducido a un sencillo circuito en serie. La corriente Io se calcula dividiendo el voltaje de la fuente por la impedancia en serie total:

Ahora obtenemos el valor de Vo y multiplicando 𝑰𝒐 por la impedancia 10 − 𝑗19:

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III.- Método de Análisis de mallas en ac Los procedimientos que se emplean en las aplicaciones de la presentación fasorial son los mismos que se usaron para analizar circuitos resistivos. Ejemplo 3 : Utilizar el método de las corrientes de malla para el análisis de circuitos y encontrar los fasores de voltaje V1, V2 y V3 en el circuito que se presenta

El circuito tiene dos mallas y una fuente de voltaje dependiente, por lo que es necesario escribir dos ecuaciones de corrientes de malla más una condición. La dirección de referencia para las corrientes de malla 𝐼1 𝑒 𝐼2 es en el sentido de las agujas del reloj, como se ilustra en la figura. Una vez que conozcamos 𝐼1 𝑒 𝐼2 podemos encontrar fácilmente los voltajes desconocidos. Al sumar los voltajes en la malla 1 se tiene

150 = (1 + 𝑗2)𝐼1 + (12 − 𝑗16)(𝐼1 − 𝐼2 ) 150 = (13 − 𝑗14)𝐼1 − (12 − 𝑗16)𝐼2 Al sumar los voltajes en la malla 2 se genera la ecuación:

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0 = (12 − 𝑗16)(𝐼2 − 𝐼1 ) + (1 + 𝑗3)𝐼2 + 39𝐼𝑥 La figura muestra que la corriente controladora 𝑰𝒙 es la diferencia entre 𝐼1 𝑒 𝐼2 es decir, la condición es: 𝐼𝑥 = 𝐼1 − 𝐼2 Si imponemos esta condición en la ecuación de la corriente de malla 2 y simplificamos la expresión resultante, nos queda

0 = (27 − 𝑗16)𝐼1 − (26 + 𝑗13)𝐼2 Al despejar I1 e I2 se obtiene

Los tres voltajes son

Comprobamos estos cálculos sumando los voltajes en los caminos cerrados:

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agosto de 2021 IV.- Método de análisis por Nodos

Ejemplo4 – Método de Nodos Con base en el método de los voltajes de los nodos, encontrar los fasores de corriente Ia, Ib e Ic en las ramas del circuito de la figura

Solución: El circuito que se presenta en la figura se puede describir en términos de dos voltajes de nodo, ya que el circuito contiene tres nodos esenciales. Hay cuatro ramas que terminan en el nodo esencial, que se extiende a lo largo de la parte inferior de la figura, por lo cual lo usaremos como nodo de referencia. Los otros dos nodos se denominan 1 y 2, y los voltajes de los nodos correspondientes se identifican con V1 y V2 La figura refleja la elección del nodo de referencia y la nomenclatura de las terminales. Al sumar las corrientes que salen del nodo 1 se tiene

Si se multiplica por 1 + j2 y se agrupan los coeficientes de V1 y V2, se genera la expresión

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Al sumar las corrientes que parten del nodo 2 se obtiene

La corriente controladora Ix es

Al sustituir esta expresión de Ix en la ecuación del nodo 2, multiplicar por 1 + j2 y agrupar los coeficientes de V1 y V2 se obtiene la ecuación

Las soluciones de V1 y V2 son

y

Por consiguiente, las corrientes en las ramas son

Para corroborar lo anterior, observamos que

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y además

Ejemplo 5 : Encuentre Vo por el método nodal

Solucion Procedimiento: 1.- identifique : 𝝎 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝒓𝒂𝒅/𝒔

2.- transforme los elementos a su fasor correspondiente

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3.- dibuje el circuito en el dominio de la frecuencia

4.- identifique los nodos del circuito y trabaje con ellos usando la ley de Kirchhoff

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V.- Método por el Teorema de Superposición Teorema de Superposición: utilice este método cuando tenga mas de dos fuentes independientes, teniendo en cuenta que solo se anulan las fuentes independientes y las fuentes dependientes no se anulan.

donde 𝑣1 se debe a la fuente de CD de 5V. 𝑣2 se debe a la fuente de tensión 10𝑐𝑜𝑠2𝑡 V y 𝑣3 a la fuente de corriente 2𝑠𝑒𝑛5𝑡 𝐴. Para hallar 𝑣1 utilizamos el siguiente circuito, y la siguiente solución:

Para 𝑣2 se realiza lo siguiente:

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Para 𝑣3 obtenemos que:

Finalmente sumando 𝑣1 +𝑣2 +𝑣3 obtenemos la respuesta total final, como se muestra a continuación:

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Teorema de Thévenin y Máxima Transferencia de Potencia

Propósito de Aprendizaje Comprender la representación de cualquier circuito en su equivalente Thevenin: Voltaje en serie con una impedancia y el uso adecuado del teorema de la máxima transferencia de potencia.

Teorema de la Máxima Transferencia de Potencia: Todo circuito se puede presentar como un voltaje en (circuito abierto) llamado voltaje Thevenin (𝑉𝑇ℎ𝑒𝑣 ) y una impedancia en serie llamada impedancia Thevenin (𝑍𝑇ℎ𝑒𝑣 )

Cuando se conecta una carga entre estos puntos esta será la impedancia de carga(𝑍𝐿 ) y la trasferencia de toda la potencia de la fuente a la carga será máxima cuando: 𝑍𝐿 = 𝑍𝑇ℎ𝑒𝑣 Ejemplo: Si:

𝑍𝑇ℎ𝑒𝑣 = 𝑅𝑇ℎ𝑒𝑣 − 𝑗𝑥 𝑇ℎ𝑒𝑣

Entonces: 𝑍𝐿 = 𝑍𝑇ℎ𝑒𝑣 = 𝑅𝑇ℎ𝑒𝑣 − 𝑗𝑥 𝑇ℎ𝑒𝑣

𝑃𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎 =

⌈𝑉𝑇ℎ𝑒𝑣 ⌉2 8𝑅𝑇ℎ𝑒𝑣

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➢ CALCULO DE 𝑉𝑡ℎ𝑒𝑣 : ✓ Se ubica el punto incógnito (a-b) y se retira la carga ✓ Se calcula el voltaje: 𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑡ℎ𝑒𝑣 ➢ CALCULO DE 𝑅𝑡ℎ𝑒𝑣 : ✓ Se ubica el punto incógnito (a-b) y se retira la carga. ✓ Se anulan las fuentes de voltaje y fuente de corriente.

✓ Luego se encuentra la resistencia entre los puntos a y b = 𝑅𝑡ℎ𝑒𝑣

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Ejemplo 1: Dado el siguiente circuito encuentre el valor de 𝑍𝐿 para transferir la máxima potencia y encuentre la potencia promedio de esta carga.

Solución: ➢ 𝑉𝑇ℎ𝑒𝑣

Transformación fuentes:

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Quedaría:

➢ Calculo del voltaje Thevenin: 𝑉𝑎𝑏 = 𝐼𝑇 𝑍3

Ley de Ohm: 𝑉𝑇 = 𝐼𝑇 . 𝑍𝑇 𝐼𝑇 =

𝐼𝑇 = 𝑉𝑎𝑏 =

𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑎𝑏 =

𝐼. 𝑍1 𝑍1 +𝑍2 +𝑍3 𝐼.𝑍1

𝑍1 +𝑍2 +𝑍3

(

. 𝑍3 = 𝑉𝑇ℎ𝑒𝑣

4 )2 √2

6+𝑗

.4

22.627 6+𝑗

𝑉𝑎𝑏 = 3.67−𝑗0.61

󰇍󰇍󰇍𝑎𝑏 󰇍󰇍󰇍 = 𝑉𝑇ℎ𝑒𝑣 = 3.72  −9.46[𝑉] 𝑉

𝑉𝑇

𝑍𝑇

→

𝐼.𝑍1

𝑍1 +𝑍2 +𝑍3

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➢ Calculo de la impedancia Thevenin: 𝑍𝑇ℎ𝑒𝑣

𝑍𝑇ℎ𝑒𝑣 = (𝑍1 +𝑍2 )//𝑍3

𝑍𝑇ℎ𝑒𝑣 = (2+ 𝑗)//4

(2+𝑗)4 8 +4𝑗 = 2+𝑗+4 6+𝑗

𝑍𝑇ℎ𝑒𝑣 = 1.405+𝑗0.432

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Máxima Transferencia potencia: 𝑍𝐿 = 𝑍∗ 𝑇ℎ𝑒𝑣 = 1.405−𝑗0.432 𝑃𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎: |3.72|2

=8(1.405) = 1.231[𝑊]

Ejemplo 2: Determinar el circuito Thevenin equivalente entre los puntos a y b y calcular el voltaje Vx

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Conversión Delta-Estrella y Estrella-Delta - (Conversión Δ - Υ y Υ - Δ) Con el propósito de poder simplificar el análisis de un circuito a veces es conveniente poder mostrar todo o una parte de un circuito de una manera diferente, pero sin que el funcionamiento general de éste cambie. Algunos circuitos tienen un grupo de impedancias que están ordenadas formando como un triángulo y otros como una estrella. Hay una manera sencilla de convertir estas resistencias de un formato al otro y viceversa. No es sólo asunto de cambiar la posición de las resistencias si no de obtener los nuevos valores que estas tendrán.

Las fórmulas a utilizar son las siguientes: ➢ Conversión delta a estrella (dye) 𝑅1 = (𝑅𝑎 𝑥 𝑅𝑐) / (𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐) 𝑅2 = (𝑅𝑏 𝑥 𝑅𝑐) / (𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐) 𝑅3 = (𝑅𝑎 𝑥 𝑅𝑏) / (𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐) Para este caso el denominador es el mismo para todas las ecuaciones.

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Si: 𝑅𝑎 = 𝑅𝑏 = 𝑅𝑐 = 𝑅𝐷𝑒𝑙𝑡𝑎, Entonces: 𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅3 = 𝑅𝑌 y las ecuaciones anteriores se reducen a 𝑹𝒀 = 𝑹𝑫𝒆𝒍𝒕𝒂 / 𝟑 ➢ Conversión estrella (dye) a delta: 𝑅𝑎 = [ (𝑅1 𝑥 𝑅2) + (𝑅1 𝑥 𝑅3) + (𝑅2 𝑥 𝑅3) ] / 𝑅2 𝑅𝑏 = [ (𝑅1 𝑥 𝑅2) + (𝑅1 𝑥 𝑅3) + (𝑅2 𝑥 𝑅3) ] / 𝑅1 𝑅𝑐 = [ (𝑅1 𝑥 𝑅2) + (𝑅1 𝑥 𝑅3) + (𝑅2 𝑥 𝑅3) ] / 𝑅3 Para este caso el numerador es el mismo para todas las ecuaciones. Si: 𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅3 = 𝑅𝑌, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑅𝑎 = 𝑅𝑏 = 𝑅𝑐 = 𝑅𝐷𝑒𝑙𝑡𝑎 y las ecuaciones anteriores se reducen a 𝑅𝐷𝑒𝑙𝑡𝑎 = 3𝑥𝑅𝑌

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Ejemplo 3 Encuentre la impedancia vista por ZL y encuentre su máxima potencia transferida...