Práctica: Circuitos RLC en corriente alterna PDF

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En esta práctica se analizó el tema de los circuitos RLC en corriente alterna tanto en paralelo como en serie, para ello se investigaron las leyes de los circuitos eléctricos para la corriente alterna y algunos conceptos básicos. De cada problema se incluye todo el procedimiento y los resultados, as...

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COBAED #20 Especialidad: Informática

CIRCUITOS ELÉCTRICOS BÁSICOS UNIDAD 3

“PRÁCTICA 3” CIRCUITOS RC y RL EN CORRIENTE ALTERNA Alumnos: Mestro: M.C Jesús Leonel Arce Váldez Fecha de entrega: 04/05/2019

Índice Introducción...............................................................................................................1 Marco Teórico............................................................................................................2 Impedancia.............................................................................................................2 Reactancia.............................................................................................................6 Circuito RLC en paralelo........................................................................................9 Circuito RLC en serie...........................................................................................13 Ley de Ohm para corriente alterna......................................................................14 Desarrollo.................................................................................................................15 Circuitos RLC en serie.........................................................................................16 Circuito 1...........................................................................................................17 Circuito 2...........................................................................................................20 Circuito 3...........................................................................................................23 Circuito 4...........................................................................................................26 Circuitos RLC en paralelo....................................................................................29 Circuito 5...........................................................................................................30 Circuito 6...........................................................................................................33 Circuito 7...........................................................................................................36 Circuito 8...........................................................................................................39 Circuito 9...........................................................................................................42 Resultados...............................................................................................................45 Conclusión...............................................................................................................46 Bibliografía...............................................................................................................47

Introducción El análisis de la corriente alterna (CA) es una rama de la electrónica que permite el análisis del funcionamiento de los circuitos RLC paralelos que están compuestos de resistencias, condensadores e inductores con una fuente de corriente alterna, en cuanto a su análisis nos daremos cuenta de que tendremos que operar con números complejos para representar la impedancia de los elementos. Resulta importante dar algunas definiciones y enunciar algunas propiedades, con el objetivo de facilitar la comprensión de conceptos, que serán mencionados en el marco teórico. Esta práctica se realizó con el fin de conocer y comenzar a familiarizarse con el tema de fasores. El objetivo principal de la práctica es comenzar a analizar la relación entre los fasores de tensión y corriente en cada circuito, además de determinar la relación entre inductancia y reactancia en capacitores e inductores. El marco teórico se elaboró para dar un preámbulo al tema y explicar el significado de los nuevos temas que se desarrollan en la práctica, así como las operaciones matemáticas que se realizan en cada uno de los circuitos, al igual que algunos ejemplos para comprender mejor el tema. Se hicieron muchas operaciones para la resolución de cada circuito. Se presentan los cálculos correspondientes para conocer los distintos voltajes e intensidades en forma de fasores. Utilizamos dos softwares, Proteus y Multisim para la simulación de cada circuito y así poder realizar lo reflejado en la práctica, se pudo comprobar los cálculos de cada circuito simulado con los caculos realizados a mano, y poder comprobar si estos coincidían o variaban. El reporte fue dividido en subtítulos que especifican el tipo de operación que se analiza en la sección correspondiente, cada sección cuenta con imágenes ilustrativas de los circuitos realizados. Se incluye una breve conclusión de lo analizado y la bibliografía correspondiente.

1

Marco Teórico Impedancia Las relaciones de corriente-tensión de los tres elementos pasivos en el dominio de la frecuencia son (suponiendo que se satisface la convención de signos pasiva). V =RI V = jωLI V =

I jωC

Si las ecuaciones se escriben como proporciones de tensión fasorial/corriente fasorial. I V V V =R = jωL = I jωC I I Se comprueba que las mismas son cantidades simples que dependen de los valores de los elementos (y de la frecuencia también, en el caso de la inductancia y la capacitancia). Estas proporciones se tratan de la misma manera que a las resistencias, con la excepción de que son cantidades complejas, por lo que todas las manipulaciones algebraicas deben ser las apropiadas para los números complejos. En forma fasorial, v =V m senωt ⇒V =V ∠ 0 ° Donde V =0.707 V m .

Al aplicar la ley de Ohm y utilizar el álgebra fasorial tenemos: I=

V ∠0° V = ∠ 0 °−θ R R ∠θ R R

Dado que i y v están en fase, el ángulo asociado con i también deberá ser de 0°. Para satisfacer esta condición,

θR

debe ser igual a 0°. Al sustituir

θ R=¿ 0°,

observamos:

2

I=

V ∠0° V V = ∠ 0 °−0 °= ∠ 0 ° R R ∠0 ° R

por lo que en el dominio del tiempo, i=√ 2

( VR ) sen ωt

El hecho de que

θ R=¿ 0°, se empleará en el siguiente formato de coordenadas

polares para asegurar la adecuada relación de fase entre el voltaje y la corriente de un resistor: Z R=R ∠ 0 ° Fórmula 1

La cantidad romana en negrita

Z R , que tiene tanto magnitud como un ángulo

asociado, se denomina impedancia de un elemento resistivo. Se mide en ohms y es una medida de cuánto “impedirá” el elemento el flujo de carga a través de la red. El formato anterior probará ser una “herramienta” útil cuando las redes se vuelvan más complejas y las relaciones de fase menos obvias. Sin embargo, es importante observar que

Z R no es un fasor, aun cuando el formato

R ∠0 ° es muy similar

a la notación fasorial para corrientes y voltajes senoidales. El término fasor está reservado para cantidades que varían con el tiempo, y R y su ángulo asociado de 0° son cantidades fijas que no varían.[ CITATION Boy041 \l 3082 ] Combinaciones de impedancia en serie La validez de las dos leyes de Kirchhoff en el dominio de la frecuencia conduce al hecho de que pueden combinar las impedancias en serie y en paralelo mediante las mismas reglas ya establecidas para las resistencias. Por ejemplo, en 3 ω=10 ×10 rad /s , un inductor de 5 mH en serie con un capacitor de 100 μF se

puede sustituir por una sola impedancia, que es la suma de las impedancias individuales. La impedancia del inductor es:

3

Z L= jωL = j50 Ω

la impedancia del capacitor está dada por ZC=

1 −j = =− j 1 Ω jωC ωC

Por lo tanto, la impedancia de la combinación en serie corresponde a Z eq = Z L + Z C = j50− j 1= j 49 Ω

La impedancia de inductores y de capacitores es una función de la frecuencia, y esta impedancia equivalente corresponde a una sola pulsación a la cual se calculó, ω= 10 000 rad/s. Si se cambia la frecuencia a ω=

5 000 rad/s, por

ejemplo Z eq = j23 Ω . Combinaciones de impedancia en paralel La combinación en paralelo del inductor de 5 mH y el capacitor de 100 μF a ω= 10 000 rad/s se calcula exactamente del mismo modo que se calcularon las resistencias en paralelo: Z eq =

( j50)(− j1 ) 50 = =− j 1.020 Ω j 50− j1 j 49

Con ω= 5 000 rad/s, el equivalente en paralelo es − j2.17 Ω

.

El número complejo o cantidad que representa la impedancia puede expresarse en forma polar o en forma cartesiana. Por ejemplo, se dice que la impedancia 50 − j86.6 Ω

tiene una resistencia de 50 Ω

y una reactancia de −86.6 Ω

. Por

ello, la parte real de la impedancia se conoce con el nombre de resistencia, mientras que la componente imaginaria (incluyendo el signo pero no la j) se conoce con el nombre de reactancia, la cual a menudo está simbolizada por la letra X. Ambas tienen unidades en ohms. En forma cartesiana, Z = R + j X, y en forma polar, Z = |Z|/θ. Por lo tanto, una resistencia tiene una reactancia cero, 4

mientras que los capacitores e inductores (ideales) tienen una resistencia nula. Lo anterior también puede observarse directamente de la forma polar de la impedancia. Considerar de nuevo Z = 50 − j86.6 Ω escribirse como 100 ∠ −60◦ Ω

, que puede también

. Puesto que el ángulo de fase no es cero, se

sabe que la impedancia no es puramente resistiva a la frecuencia ω. Puesto que no es de +90° se sabe que no es puramente inductiva y, de manera similar, no es puramente capacitiva o el ángulo de fase sería de −90◦. ¿Puede incluir una combinación en serie o en paralelo un capacitor y un inductor y tener una reactancia nula? Claro que sí. Considerar la situación donde ω = 1 rad/s, L = 1 H, y C = 1 F, todas en serie con R = 1 Ω

. La impedancia equivalente de esta red

es Z = 1 + j(1)(1) − j/(1)(1) = 1 Ω , como si (a la frecuencia de 1 rad/s) solamente estuviera presente una resistencia. Ejemplo Utilizando álgebra compleja, encuentre la corriente i para el circuito de la figura 1.0. Trace las formas de onda de v e i.[ CITATION Gon11 \l 3082 ]

Figura 1.0 (Circuito).

Solución:

Figura 1.2 (Formas de onda).

5

v =100 sen ωt ⇒forma fasorial V =70.71 V ∠0 °

I=

V V ∠0 ° 70.71V ∠ 0° = =14.14 A ∠ 0 ° = ZR R ∠ 0 ° 5 Ω∠ 0 °

i=√ 2( 14.14 ) senωt =20 sen ωt Reactancia Es la oposición ofrecida al paso de la corriente alterna por inductores (bobinas) y condensadores, se mide en Ohmios y su símbolo es Ω. Junto a la resistencia eléctrica determinan la impedancia total de un componente o circuito, de tal forma que la reactancia (X) es la parte imaginaria de la impedancia (Z) y la resistencia (R) es la parte real, según la igualdad: 2 2 Z =√ R + X

Fórmula 2

La reactancia se representa con la letra X y su unidad de medidas es en Ohmios. Tipos de reactancias Cuando en un circuito de corriente alterna en el que se encuentran conectados capacitores e inductores circula una corriente, en estos elementos surge una oposición al paso de dicha corriente debido a que la energía es almacenada de forma alternativa, liberada en forma de campo magnético, en el caso de las bobinas, o de campo eléctrico, en el caso de los condensadores. Esto produce un desfase entre la corriente y la tensión. Este desfase hace disminuir la potencia entregada a una carga resistiva conectada tras la reactancia sin consumir energía. Si se analiza el comportamiento de la corriente y la tensión de forma vectorial en circuitos puramente inductivos y capacitivos, se aprecia que los vectores surgen en sentido opuesto sobre el eje imaginario. Dando como resultado que: X =X L− X C . Según el valor que tome la reactancia podemos decir que es inductivo, capacitivo. O resistivo. 6

X > 0 el circuito es inductivo X< 0 el circuito es capacitivo X = 0 el circuito es resistivo Las bobinas y condensadores reales presentan una resistencia asociada, que en el caso de las bobinas se considera en serie con el elemento, y en el caso de los condensadores en paralelo.

Reactancia Capacitiva La reactancia capacitiva (XC) es la propiedad que tiene un capacitor para reducir la corriente en un circuito de corriente alterna. Al introducir un condensador eléctrico o capacitor en un circuito de corriente alterna, las placas se cargan y la corriente eléctrica disminuye a cero. Por lo tanto, el capacitor se comporta como una resistencia aparente. Pero en virtud de que está conectado a una fem alterna se observa que a medida que la frecuencia de la corriente aumenta, el efecto de resistencia del capacitor disminuye. Como un capacitor se diferencia de una resistencia pura por su capacidad para almacenar cargas, el efecto que produce de reducir la corriente se le da el nombre de reactancia capacitiva (X C). El valor de ésta en un capacitor varía de manera inversamente proporcional a la frecuencia de la corriente alterna. Su expresión matemática es: X C=

1 2 πfC

Donde:

Fórmula 3



Xc = Reactancia capacitiva, en (Ω)Ohmios



π= constante 3,1416 radianes



f = Frecuencia en Hertz.



c= Capacitancia, en Faradios

7

Figura 1.3 (Reactancia capacitiva)

Reactancia inductiva La reactancia inductiva (XL) es la capacidad que tiene un inductor para reducir la corriente en un circuito de corriente alterna. De acuerdo con la Ley de Lenz, la acción de un inductor es tal que se opone a cualquier cambio en la corriente. Como la corriente alterna cambia constantemente, un inductor se opone de igual manera a ello, por lo que reduce la corriente en un circuito de corriente alterna. A medida que aumenta el valor de la inductancia, mayor es la reducción de la corriente. De igual manera, como las corrientes de alta frecuencia cambian más rápido que las de baja, mientras mayor sea la frecuencia mayor será el efecto de reducción. Donde la capacidad de un inductor para reducirla es directamente proporcional a la inductancia y a la frecuencia de la corriente alterna. Este efecto de la inductancia (reducir la corriente), se puede comparar en parte al que produce una resistencia. Sin embargo, como una resistencia real produce energía calorífica al circular una corriente eléctrica por ella, para diferenciarlas se le denomina reactancia inductiva al efecto provocado por la inductancia. La reactancia de una bobina es inversamente proporcional a dos factores: la capacitancia y la frecuencia del voltaje aplicado. Su expresión matemática es: X L=2 πfL Fórmula 4

Donde: 8



XL = Reactancia inductiva, en (Ω) Ohmios



π= constante 3,1416 radianes



f = Frecuencia en Hertz



L= Inductancia en Henrros

Figura 1.4 (Reactancia inductiva)

CITATION Cer04 \l 3082 ]

Circuito RLC en paralelo Un circuito RLC es un circuito en el que solo hay resistencias, bobinas y condensadores, estos tres elementos tienen, por ecuaciones características una relación lineal entre tensión e intensidad. El cálculo de la impedancia de un circuito RLC paralelo es considerablemente más difícil que el cálculo de la impedancia del circuito RLC serie. Esto se debe a que cada rama del circuito tiene su propio ángulo de fase y estos no se pueden combinar de una manera simple. La combinación de ramas de impedancias paralelas, se realiza de la misma manera que las resistencias paralelas: Z Z 1 1 1 = + entonces Z ¿ = L C Z L +Z C Z ¿ z L zC Pero, aunque las magnitudes de las impedancias de cada rama se puede calcular de:

Circuito RL

Circuito RC

9

Z L=√ R 2L + ω2 L2

y

√

Z C = R2C+

1 2 2 ω C

Figura 1.5 (Circuito en paralelo). Fórmulas 5

Estas impedancias no se pueden combinar directamente como se sugiere en la expresión de arriba, porque tienen diferentes fases -como ocurre con los vectores en distintas direcciones, que no se pueden sumar directamente. Este dilema se resuelve más fácilmente con el método de la impedancia compleja. Método de la impedancia compleja Cuando se combinan las impedancias complejas de las ramas del circuito paralelo RLC, la impedancia equivalente es de la forma.

Z Z Z ¿= L C = Z L +Z C

( ωCj ) 1 ( R +R ) + j (ωL− ωC ) (R L + jωL) RC − L

C

Cuando se racionaliza esta expresión y se pone en la forma estándar. Z ¿ =Req + jX eq=|Z|e

j∅

entonces, se puede determinar la impedancia en ohmios y la fase. Estableciendo la = 0, se puede calcular la frecuencia de resonancia. Las expresiones para estos cálculos son bastante largas.[ CITATION Boy041 \l 3082 ] En corriente alterna, una bobina ideal ofrece una resistencia al paso de la corriente eléctrica que recibe el nombre de reactancia inductiva, XL, cuyo valor viene dado por el producto de la pulsación (ω=2fπ) por la inductancia, L: XL = Lω Si la pulsación está en radianes por segundo (rad/s) y la inductancia en henrios (H) la reactancia resultará en ohmios.

10

v ( t )=L

di(t ) dt

La fuente de corriente i (t) de la figura 1.6, es la que excita el circuito con corriente +¿ ¿ alterna. El inductor lleva una corriente inicial 0 . En la misma dirección de i2 ¿

i2(t) . El voltaje inicial del condensador es

+¿¿ 0 vc ¿

con la polaridad opuesta al

sentido de la corriente i3 (t) .

Figura 1.6 (Circuito en paralelo).

Por la ley De Kirchhoff sabemos que

(1)

Hallamos el equivalente de cada una de estas corrientes. Para el caso de la resistencia es:

(2)

Para el inductor:

(3)

11

Para el capacitor: (4)

Remplazamos estas (2),(3) y (4) en 1 (5)

Aplicamos la trasformada de Laplace, y el resultado es: (6)

Arreglamos

esta ecuación,

de tal forma que se pueda ver de forma más clara:

(7)

El primer factor de esta ecuación corresponde a la función del sistema, mientras que el segundo factor corresponde a la función de excitación

,y

las condiciones iniciales. De acuerdo con lo anterior, el primer factor es una impedancia que puede ser expresada de la siguiente forma:

(8)

O una admitancia cuyo valor es:

(9)

12

Los polos de Z(s) o los ceros de Y(s), determinan el comportamiento transitorio de la función respuesta V(s). Anti transformando se obtiene en el dominio del tiempo la función respuesta a la excitación alterna:

(10)

[ CITATION Gon11 \l 3082 ]

Circuito RLC en serie El circuito serie RLC es un ejemplo muy importante de un circuito resonante. A la frecuencia de resonancia tiene el mínimo de impedancia Z=R y el ángulo de fase es igual a cero. La resonancia en los circuitos AC se produce a una frecuencia especial determinada por los valores de la resistencia, la capacidad, y la inductancia. La condición de resonancia en los circuitos series es muy sencilla y se caracteriza porque la impedancia es mínima y el ángulo de fase es cero.

Figura 1.7 (Formulas condición resonante)

X L=ωL Fórmula 6

Fórmula 7

Figura 1.8 (Diagrama fasorial)

X C=

1 ωC

Z =√ R 2+( X L −X C )2 Fórmula 8

Fase=∅=tan−1

[

X L −X C R

]

Figura 1.9 (Circuito en serie)

Fórmula 9

Una forma de visualizar el comportamiento del circuito serie RLC es mediante el diagrama fasor que se muestra en la ilustración de arriba. Se muestra el diagrama fasor a una frecuencia donde l...