Cap. 10 Corriente Alterna PDF

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Resumen Capitulo 10 Libro Serway...

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“Tópicos de Electricidad y Magnetismo”

J. Pozo, A. León y R.M. Chorbadjian.

CAPÍTULO X CORRIENTE ALTERNA (CA) 10.1. Introducción Para generar corriente alterna, se puede considerar el caso de una bobina girando en el interior de un campo magnético con velocidad angular ω constante, esto produce una fem sinusoidal en la bobina dada por V = Vmax sin ω t donde V max es e valor máximo de la fem

Este tipo de fuente de fem convierte la energía mecánica en energía eléctrica, el símbolo que se utiliza para representar una fuente de CA es el siguiente.

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Capítulo X: “Corriente Alterna”

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El propósito de este capítulo es estudiar algunos circuitos de CA tales como los que se forman al conectar una fuente de CA a una resistencia (R), a un condensador (C) o a una bobina (L). El objetivo fundamental en todos estos circuitos es determinar la corriente eléctrica I que circula (en R, C y L), para posteriormente estudiar un circuito RLC serie. 10.2. Corriente Alterna en una resistencia El circuito mas sencillo se compone de una resistencia conectada a una fuente de fem, tal como se muestra en la figura.

Para determinar la corriente que circula por la resistencia R, se utiliza la Ley de Kirchhoff escrita en la forma

luego I =

V fuente − V R = 0

o

V − IR = 0

V , reemplazando el valor de la fem que entrega la fuente se encuentra R ⎛V ⎞ I R = ⎜ max ⎟ sin ω t ⎝ R ⎠ 207

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Si se define ⎛V ⎞ I max = ⎜ max ⎟ ⎝ R ⎠

Entonces se puede escribir I = I max sin ω t

La diferencia de potencial o tensión en la resistencia está dada por VR = I max R sin ω t

Estas dos última expresiones muestran que tanto la corriente que circula como la diferencia de potencial en la resistencia están en fase con la tensión que entrega la fuente, tal como se muestra en la figura en donde se representa: V R = f (t ) curva café, e I = f(t) curva morada.

10.3. Corriente Alterna en un condensador

En la figura se muestra un condensador C conectado a una fuente de CA

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Aplicando la Ley de Kirchhoff al circuito de la figura anterior, se tiene que: V fuente − VC = 0

Sustituyendo los valores respectivos se tiene Vmax sin ω t −

q =0 C

luego q = C Vmax sin ω t Derivando con respecto al tiempo se encuentra que la corriente que circula por el condensador está dada por I =

dq = ω C Vmax cos ω t dt

I=

Vmax

o 1 /(ω C)

sin(ω t + π / 2)

Reactancia capacitiva o capacitancia: Se define la reactancia capacitiva como

XC =

1 ωC

reemplazando se encuentra I=

Vmax XC

sin(ω t + π / 2)

si se define I max =

Entonces

Vmax XC

I C = I max sin(ω t + π / 2)

La diferencia de potencial en el condensador se atrasa 90 0respecto de la corriente que pasa

por él.

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En la siguiente figura se muestran los gráficos VC = f (t ) curva café, e I = f(t) curva morada.

10.4. Corriente Alterna en una bobina

En la figura se muestra una bobina L conectada a una fuente de CA

Aplicando la Ley de Kirchhoff al circuito de la figura anterior, se tiene que V fuente − VL =0 donde VL = L

dI ; Sustituyendo los valores respectivos se tiene dt

L

dI = V max sin ω t dt

Separando variables e integrando se encuentra

∫ dI = I=−

Vmax L

∫sin ω t dt

Vmax V cos ω t ≡ max sin(ω t − π / 2) ωL ωL

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Reactancia Inductiva o inductancia: Se define la reactancia inductancia como X L = ω L

reemplazando se encuentra

I=

V max X

sin( ω t − π / 2)

L

si se define I max =

Vmax XL

Entonces I L = I max sin(ω t − π / 2)

La diferencia de potencial en la bobina se adelanta a la corriente que pasa por ella en 90 0. En la siguiente figura se muestran los gráficos VL = f (t ) curva café, e I=f(t) curva morada

En la siguiente figura se muestra en forma de resumen las diferencias de potenciales en cada uno de los elementos.

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10.5. Circuito RLC (Serie)

En la figura se muestra un circuito RLC serie, por tratarse de un circuito serie la corriente que circula es la misma en R, X L y X C

Aplicando la Ley de Kirchhoff al circuito, se puede escribir V R + V L + VC = V Fuente VR = RI ≡ R VL = L VC =

q C

dq dt

dI d 2q ≡L 2 dt dt

es la diferencia de potencial en la resistencia (R) es la diferencia de potencial en la bobina (L) es la diferencia de potencial en el condensador (C)

VFuente = V max sin ω t es la diferencia de potencial aplicada por la fuente de CA

Sustituyendo los valores anteriores, se encuentra que la ecuación diferencial que describe a un circuito RLC serie está dada por L

d2q dq q +R + = Vmax sin ω t 2 dt dt C

d 2 q R dq V + + ω 20 q = max sin ω t 2 dt L dt L

; ω0 =

1 LC

donde ω 0 representa la frecuencia natural del circuito y ω la frecuencia de la fuente. La solución de esta ecuación diferencial muestra que la corriente que circula por el circuito puede ser expresada en la forma

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I = I max sen(ω t − φ )

donde

φ representa la diferencia de fase entre el potencial de la fuente y la corriente del circuito, y ⎛ X L − XC ⎞ ⎟ R ⎝ ⎠

φ = arctan ⎜

está definido como:

No obstante que el método de las ecuaciones diferenciales para describir el comportamiento del circuito es correcto, es más mas conveniente y sencillo utilizar el método de fasores Diagrama de fasores para V L > VC

Aunque ni la diferencia de potencial ni la intensidad de corriente son vectores, éstos pueden ser representados por unos vectores bidimensionales que son llamados fasores. Otra forma de obtener los resultados anteriores es mediante la utilización de fasores, para esto es conveniente escribir la diferencia de potencial en cada elemento (resistencia, bobina y condensador), las cuales al aplicar loa ley de Ohm están dadas respectivamente por V R = IR (Diferencia de potencial en la resistencia) VL = IX L (Diferencia de potencial en la bobina)

VC = IX C (Diferencia de potencial en el condensador)

El diagrama de fasores para V L > VC , está representado en las siguientes figuras (VL ) max (VL ) max − (VC ) max

VL

(VL ) max − (VC ) max

V

+ 90 0 VC

− 90 0 V R

φ (V R )max

VR

(VR ) max

(VC ) max

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La diferencia de potencial en la resistencia está en fase con la corriente que pasa por la resistencia (figura anterior lado izquierdo). La diferencia de potencial en la bobina (inductancia) se adelanta a la corriente que pasa por la bobina en 90 0. La diferencia de potencial en el condensador se atrasa 900 a la corriente que pasa por el condensador. Cuando X L > X C el circuito es inductivo, V L > VC . En esta caso la corriente I se atrasa a V .

De la figura anterior (lado derecho), según el teorema de Pitágoras se tiene que Vmax = (V R ) 2max + [(V L ) max − (VC ) max] 2

Reemplazando lo valores máximos respectivos se tiene V max = ( I max R) 2 + ( I max X L − I max X C ) 2 ≡ I max R 2 + ( X L − X C ) 2

También de esta misma figura se encuentra que ⎛ (VL ) max − (VC ) max ⎞ ⎟ ⎟ (V R )max ⎠ ⎝

φ = arctan ⎜⎜ ecuación que es equivalente a

⎛ X L − XC ⎞ ⎟ R ⎝ ⎠

φ = arctan⎜ Diagrama de fasores para VC > VL

Cuando X C > X L el circuito es capacitivo, VC > VL . En esta caso la corriente I se adelanta a ΔV (ver figura)

(VL ) max

+ 900 − 900

(V R )max

(V R )max

φ

(VC ) max − (VL ) max

(VC ) max − (VL ) max

Vmax

(VC ) max

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Cuando X C > X L , se encuentra que Vmax = (V R ) 2max + [(VC ) max − (V L ) max] 2 ⎛ (VC ) max − (VL ) max (VR ) max ⎝

φ = arctan ⎜⎜ −

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

El ángulo de fase puede ser positivo o negativo que es lo que determinala naturaleza del circuito Vmax = I max R 2 + ( X L − X C ) 2

Impedancia (Z ). La impedancia se define como Z = R2 + ( X L − X C )2

teniendo presente las definiciones de las reactancias XC =

1 ωC

y

XL =ω L

se tiene Z=

⎛ 1 ⎞ ⎟ R + ⎜⎜ ω L − ω C ⎟⎠ ⎝

2

2

Reactancia del circuito: la cantidad ( X L − X C ) recibe el nombre de reactancia del circuito y

se representa por X X = X L − XC

Entonces la impedancia se puede escribir en términos de la reactancia del circuito en la forma Z = R2 + X 2

Por otro lado, ecuaciones anteriores puede escribir Vmax = I max Z I max =

Vmax Z

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10.6. Resonancia

Una característica útil de un circuito RLC serie conectado a una fuente de CA es el fenómeno de resonancia. Por otro lado, teniendo presente la ecuación para la amplitud de la corriente I max =

donde

XC =

1 y ωC

Vmax ≡ Z

Vmax R 2 + ( X L − X C )2

X L = ω L , es fácil ver que existe una frecuencia para cual X C = X L ,

que hace mínima la impedancia

Z = R 2 + 0 2 = R . Esta frecuencia recibe el nombre de

frecuencia angular de resonancia se representa por ω0 y se define a partir de

XC = X L

Luego

1

⇒

ω0 =

ω0 C

= ω0 L

1 LC

Cuando ω = ω0 la amplitud de la corriente tiene su máximo valor dado por I max =

Vmax . R

También es importante destacar que ω0 se conoce como frecuencia natural del circuito. En la siguiente figura se muestra I max ≡ I m = f ( ω) para dos circuitos RLC en serie, conectado a una fuente de CA, (i) R = 100 [ Ω] e (ii) R = 200 [ Ω] , para ambos circuitos se tiene que: V max = 100 [V ] , L = 1.0 [mH ] y C = 1.0 [nF ]

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10.7. Circuito RLC (paralelo)

En la figura se muestra un circuito RLC paralelo

En este circuito el potencial en cada elemento es el mismo (en fase y amplitud), esto requiere que las corrientes sean diferentes. Las amplitudes de las corrientes individuales están dadas por (I max ) R = (I max )C =

V max R

V max 1 /(ω C)

(I max ) L =

V max

ωL

La magnitud de la corriente se determina utilizando la relación I max = ( I max ) R + ( I max ) C + ( I max ) L

Sustituyendo los valores respectivos (teniendo presente el diagrama de fasores), se encuentra I max =

Vmax Z

donde 1 ⎡1 ⎛ 1 1 = ⎢ 2 + ⎜⎜ − Z ⎢R ⎝ X C X L ⎣

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2 1/ 2

⎤ ⎥ ⎥⎦

notamos que los signos de X C y X L están cambiados en comparación con los del circuito serie. Esto resulta debido a que las fases de los potenciales son iguales para el circuito 217

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paralelo comparadas con fases iguales de la corriente para el caso serie en donde se cumple que

[I max

= ( I max ) R = ( I max ) C = ( I max ) L ]SERIE

La corriente para el circuito RLC paralelo viene dada por I = I max sin(ω t − φ ) donde ⎛1 / X C −1 / X L ⎞ ⎟ 1/ R ⎝ ⎠

θ = arctan ⎜

10.8. Potencia en circuito de corriente alterna

La potencia instantánea para el circuito RLC serie está dada por P = VI

donde V = V max sin ω t e I = Imax sin(ω t − φ) , Reemplazando estos valores se encuentra P = ( Vmax sin ω t) Imax sin(ω t − φ ) P = Vmax I max sinω t (sin ω t cosφ − sin φ cosω t ) P = V max I max (sin 2 ω t cos φ − sin ω t cos ω t sin φ ) Promediando temporalmente se tiene que la potencia media está dada por P ≡ Pm = V max I max (sin 2 ω t cosφ − sinω t cosω t sinφ ) Por otro lado, sabiendo que el promedio temporal de una función f (t ) , está dada por f (t ) =

1

τ

τ

∫ f ( t) dt 0

se encuentra que sin ω t = 2

1 1 1 τ⎛1 1 ⎞ − cos( 2ω t ) ≡ ∫⎜ − cos( 2ω t ) ⎟dt 2 2 τ 0⎝ 2 2 ⎠

Integrando se encuentra sin 2 ω t =

1 2

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sin ωt cos ωt = 0

De igual forma se obtiene que

1 Pm = Vmax I max cos φ 2

Luego

10.9. Valores efectivos o rms para la corriente y el potencial

Generalmente cuando se especifica un valor de potencial alterno o de corriente alterna, se trata del valor cuadrático medio (rms), los voltímetros y amperímetros de alterna, están calibrados para indicar estos valores La raíz cuadrada del valor medio del cuadrado de la corriente corresponde a I rmso I efectivo, entonces I I rms ≡ I 2 = max 2 Del mismo modo se puede obtener Vrms ≡

V

2

=

V max 2

Los valores efectivos o rms (root mean square) que en español representa a la “raíz cuadrática media” indica que se trata de la raíz cuadrada del valor medio del cuadrado de la corriente o del potencial.

El valor instantáneo de I 2 está dado por I 2 = (I max ) 2 sin 2 (ω t − φ ) El valor medio del cuadrado de la corriente se expresa como I 2 = ( I max ) 2 sin 2 ( ω t + φ) = ( I max ) 2 sin 2 ( ω t − φ) como sin 2 (ω t − φ ) =

1 , se encuentra 2 I rms ≡

I2 =

Vrms ≡

V

I max 2

En forma análoga se encuentra 2

=

V max 2 219

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10.10. Transformadores

Un transformador de corriente alterna es un dispositivo de inducción que está compuesto por dos bobinas de alambre devanadas en un núcleo de hierro, tal como se muestra en la figura.

La bobina de la izquierda tiene NP vueltas y se denomina primario, esta bobina se conecta a la fuente de voltaje o potencial alterno. La bobina de la derecha recibe el nombre de secundario, está formada por N S vueltas y se conecta a una resistencia de carga R .

La misión que cumple el núcleo de hierro es aumentar el flujo magnético que pasa por la bobina, y proporcionar un medio en el cual casi todo el flujo que pase por una bobina pase también por la otra. De la Ley de Faraday se puede escribir VP = − N P

dΦ B dt

donde Φ B es el flujo magnético que pasa por cada vuelta, asumiendo que el flujo que atraviesa cada vuelta del primario es el mismo que pasa por cada vuelta del secundario, se tiene VS = − N S

Despejando

dΦ B dt

dΦ B de una de las ecuaciones y reempezándola en la otra se encuentra dt VS =

NS V NP P

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Transformador de subida o elevador:

Cuando N S > N P , se obtiene que V S > VP , entonces se tiene un transformador elevador Transformador de bajada o reductor:

Cuando N S < N P , se tiene que V S < V P (transformador de bajada) En la figura anterior, letra b) se muestra un diagrama de circuito para un transformador. 10.11. Problemas resueltos Problema 10.1

A partir de V = V R + V L + VC . Demuestre que la diferencia de potencial entre los elementos R, L y C se puede escribir en la forma: V = V max sin(ω t − φ ) y que la corriente toma la forma I = Imax sin ω t donde V max = I max R 2 + ( X L − X C )2

⎛ XL − XC ⎞ ⎟. R ⎝ ⎠

φ = arctan⎜

y

Solución: Sabiendo que V R = I max R sin ω t : VL = I max X L sin(ω t − π / 2) : VC = I max X C sin( ω t + π / 2) Escribamos las diferencias de potenciales en forma genérica como sigue:

V1 = A1 sen(ω t +φ1 ) Donde: A1 = I max R

φ1 = 0

:

V 2 = A 2sen (ωt + φ 2 )

;

V3 = A3 sen(ω t + φ3 )

;

A2 = I max X L

;

A3 = I max X C

;

φ2 = −π / 2

;

φ3 = π / 2

Por simplicidad determinemos primero V12 = V1 + V2

sustituyendo y aplicando la propiedad sen(β + φ ) = senβ cos φ + sen φ cos β , se tiene V12 = A1 ( senω t cos φ1 + senφ1 cos ω t ) + A2 ( senω t cos φ2 + sen φ2 cos ω t )

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factorizando V 12 = (A1 cosφ 1 + A 2 cos φ 2 )sen ωt + ( A1sen φ1 + A 2sen φ 2 ) cos ωt

definiendo A cosφ = A 1 cosφ 1 + A 2 cosφ 2 (*) Asenφ = A1 senφ1 + A2 senφ 2

(**)

elevando al cuadrado las ecuaciones anteriores y luego sumando, se obtiene A 2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(φ 2 − φ1 )

dividiendo (*) y (**) se encuentra tan φ =

A1 senφ1 + A2 senφ 2 A1 cos1 + A 2 cosφ 2

con lo cual la ecuación de la onda resultante se puede escribir en la forma V12 = Asen (ω t − φ )

Para el caso general que se considere un número superior a dos funciones sinusoidales se puede escribir tan φ =

∑ ∑

i

A i senφ i

i

Ai cos φ i

A 2 = ∑ Ai2 + 2 ∑∑ A i A j cos(φ j − φ i) i

i

j

Teniendo presente el desarrollo anterior, para el caso de tres funciones sinusoidales se tiene lo siguiente V = Vmax sen(ω t − φ ) donde V 2 max ≡ A 2 = A12 + A22 + A32 + 2A1 A2 cos(φ 2 − φ 1 ) + 2 A2 A3 cos(φ 3 − φ 2 ) tanφ =

A1 sen φ1 + A2 senφ 2 + A3 senφ 3 A1 cos φ1 + A2 cos φ2 + A3 cos φ3

Sustituyendo los valores respectivo se encuentra 2 Vmax = ( Imax R) 2 + ( Imax X L) 2 + ( Imax X C ) 2 + 2 I 2 max X L Rcos( −π / 2) + 2 I 2 max X L X C cos(π )

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2 = ( Imax R) 2 + ( I max X L )2 + ( I max X C ) 2 − 2 I 2 max X L X C Vmax 2 Vmax = ( I max R ) 2 + ( I max X L − I max X C ) 2

Luego Vmax = I max R 2 + ( X L − X C ) 2

Sustituyendo los respectivos valores en la expresión para el ángulo, se encuentra que la fase está dada por A1 = I max R

;

A2 = I max X L