Analisis Estructural S-03 - Trabajo Virtual Vigas 1 PDF

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trabajo Virtual Vigas 1...

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Análisis Estructural (S-03) - Trabajo y Energía - Trabajo Virtual M.I. Carlos Villaseñor M.



Trabajo virtual: trabajo virtual complementario y energías internas asociadas

Otra forma de trabajo, que demuestra ser uno de los conceptos más útiles e importantes en mecánica, es el trabajo virtual. Como su nombre lo indica, este tipo de trabajo puede no existir físicamente. La definición de virtual en el diccionario es "ser en esencia pero no de hecho". Sin embargo, se puede crear una distribución física de cargas sobre una estructura, la cual producirá una forma de trabajo que se ajusta a la definición de trabajo virtual y de trabajo virtual complementario.

Principio de desplazamiento virtuales. Un conjunto de fuerzas reales sobre un cuerpo rígido estará en equilibrio si el trabajo realizado por estas fuerzas, a medida que se mueven a través de un conjunto de desplazamientos virtuales compatibles, es cero.

P3 δ∆3  P 2 δ∆2 = 0

pero δ∆3 = δ∆2 = δ∆x

P3 δ∆x  P2 δ∆x = 0

Pág.- 1

P3  P2 = 0

Fx = 0

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pero δ∆4 = δ∆1 = δ∆y

P4 δ∆4  P 1 δ∆1 = 0

P4 δ∆y  P 1 δ∆y = 0

P4  P1 = 0

Fy = 0

pero δ∆2 = δθ  h y δ∆1 = δθ  L

P2 δ∆2  P 1 δ∆1 = 0

P2  (δθ  h )  P 1  (δθ  L ) = 0

P2  ( h )  P1  ( L ) = 0

 Mo = 0

Estableciendo que el trabajo virtual que sucede para cada posible movimiento de cuerpo rígido sea igual a cero, se obtiene, en esencia, la ecuación de equilibrio en la dirección o sentido del movimiento.

Principio de las fuerza virtuales. Un conjunto de desplazamientos reales de un cuerpo rígido será compatible si el trabajo complementario realizado por un conjunto de fuerzas virtuales en equilibrio que vayan en dirección de los desplazamientos es cero.

L  L Given

+

Fx = 0

δP 3  δP 2 = 0

Fy = 0

δP 4  δP 1 = 0

+ 

Mo = 0

δP 2  ( h )  δP 1  ( L ) = 0

resolviendo el sistema

Pág.- 2

δP 2    δP 3    δP  4





 Find δP 2 δP 3 δP 4

 L δP 1     h    L δP 1     h   δP   1  21/02/2013

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formando el trabajo virtual para cada uno de los desplazamientos reales:

δP 3 ∆3  δP 2 ∆2 = 0

L δP 1 h

 ∆3 

L δP 1 h

 ∆2 = 0

δP 4 ∆4  δP 1 ∆1 = 0

δP 1  ∆4  δP 1 ∆1 = 0

δP 2 ∆2  δP 1 ∆1 = 0

L δP 1 h

∆3 = ∆2

Esta es la compatibilidad requerida para un cuerpo rígido; el cuerpo no puede ni estirarse ni tampoco acortarse

∆4 = ∆1 L

 ∆2  δP 1 ∆1 = 0

h

 ∆2 = ∆1

Se observa que el principio de las fuerzas virtuales es útil para calcular los desplazamientos compatibles con las restricciones geométricas de un cuerpo. También es útil para una serie de cuerpos conectados, como se ilustra en la armadura. El desplazamientoen el punto 2 y en la dirección "y",debido al desplazamiento en 3, puede encontrarse aplicando primero alguna carga virtual en 2 y en la dirección del desplazamiento deseado. Colocar una carga en 2 permite implicar ∆2y en la expresión del trabajo virtual. Primero deben encontrarse las fuerzas en equilibrio con δP.Llevando a cabo un sencillo análisis de equilibrio de armaduras, se encuentran las fuerzas. L

L

Ahora el principio de la fuerza virtual produce:  δP ∆2y 

L δP   ∆3x = 0 2

h

L ∆2y = ∆ 2  h 3x

Entonces las partes escenciales de estos dos principio pueden resumirse como sigue:



PRINCIPIOS DEL TRABAJO VIRTUAL (CUERPOS DEFORMABLES)

Ahora se extenderán los dos principios de la sección anterior a cuerpos deformables. Principio de los desplazamientos virtuales (trabajo virtual) Si las fuerzas externas y los esfuerzos internos de un cuerpo elástico están en equilibrio, entonces el trabajo virtual efectuado por las fuerzas externas que se mueven a lo largo de los desplazamientos virtuales será igual al trabajo virtual interno total (energía de deformación virtual total) de los esfuerzos internos que se mueven a lo largo de un conjunto compatible de deformaciones virtuales internas.

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Ejemplo 2.

Se da un desplazamiento virtual δ∆ en el nudo "A" en la misma dirección de "P" de modo que:

δe 1 =

4 5

δ∆ = δe 3

δe 2 = δ∆   1  σ ε d Vol  P ∆ =  2 2  

  P ∆ = σ ε dVol  

1

 3 δe i  dVoli = P δ∆ =  σi  Li  i1 i1  3





 Fi  A  i



δe i Li



 L i Ai



3

P δ∆ =

 Fi δe i

i 1

Al sustituir los valores ei obtenemos la ecuación de equilibrio. Esto, de hecho, es un planteamiento alternativo del equilibrio, aunque no es obtenido directamente por la suma de las fuerzas. La parte principal de esta idea es que las deformaciones internas y externas deben ser compatibles. P δ∆ = F1 

 4 δ∆ 5 

 4 δ∆  F2 δ∆  F3 5 

P=

4 5

4 F1  F2   F3 5

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Fx = 0

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

Principio de las fuerzas virtuales (trabajo virtual complementario) = trabajo virtual.

El segundo teorema, que será el de mayor uso,es el principio del trabajo virtual complementario o principio de las fuerzas virtuales. Así como se ha demostrado para los cuerpos rígidos, este principio proporciona un medio para calcular los desplazamientos externos. Estos desplazamientos serán ahora compatibles con todas las deformaciones internas. Debido a su importancia, se desarrollará este teorema para un cuerpo elástico en general.

Como resultado de la aplicación de la carga δQ imaginaria, se efectuará una cantidad igual de trabajo interno y externo, de acuerdo con la ley fundamental de conservaciónde la energía. Los esfuerzos internos que se desarrollan debido a δQ son δσ. Estos esfuerzos están en equilibrio con la carga externa δQ y también con cualesquiera reacciones de los soportes debidas a δQ. En este punto el cuerpo está en equilbrio, y las energías interna y externa se equilibran.

  δQ ∆P = δσ ε dVol     δQ ∆P = δσ ε  dx dA  

Ahora considérese que se aplican las cargas reales a la estructura. Todos los desplazamientos que resulten en este momento se deberán a las cargas reales. Cuando se aplican estas cargas, resultan dos tipos de trabajo. El primero es el trabajo interno y el segundo externo debido a las cargas mismas. Suponiendo una estructura lineal, por ejemplo, se podría tener que:

La linealidad no es una restricción, y los resultados finales obtenidos serán aplicables también a estructuras no lineales.

Ademásde este trabajo, la carga virtual externa δQ y los esfuerzos virtuales internos δσ realmente se moverán a lo largo de una cantidad de desplazamiento, que no se debe a δQ sino a las cargas reales aplicadas. En consecuencia, se puede suponer que δσ y δQ no se ven afectadas por las cargas reales y permanecen constantes. Los términos δQ y δσ son "transportados" por la deformación real sin cambiar de magnitud y dirección.

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en forma matricial la expresion anterior quedaría como

Entonces las partes claves de este teorema son:

Si las fuerzas virtuales externas y los esfuerzos virtuales internos de un cuerpo elástico están en equilibrio, entonces el trabajo virtual realizado por las fuerzas virtuales externas que se mueven a lo largo de los desplazamientos reales externos será igual al trabajo virtual interno, efectuado por los esfuerzos virtuales internos que se mueven a lo largo de las deformaciones internas reales compatibles. Para aplicar el método se sugiere seguir los siguientes pasos:

δQ ∆P =



Fuerza Axial.



Cortante



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   

δσ ε d Vol

Flexión.

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

Torsión

T r

El esfuerzo torsional está dado por: τ =

J

el término τ es un esfuerzo cortante y la deformación por cortante está de nuevo

donde: T = momento interno de torsión   r = distancia desde el centroide de la sección transversal a algún punto en el área J = momento polar de inercia 

    ∆ δQ = δτ γ dVol =     

  δT  r T  r  dVol =   J G J  

δT

    2   r dA d x =  2   G J  T

δT 

T G J

τ

dada por: γ = γ=

G

T r G J

dx

Estos resultados se restringen a la sección transversal circular. Para secciones transversales no circulares, deben utilizarse ambos análisis, el experimental y el aproximado, con objeto de determinar una inercia efectiva que reemplace a "J".

Ejemplo 1. Obtener la flecha a la distancia de 3/4L y el giro en el apoyo "B", bajo las siguintescondiciones: a) Despreciar los efectos de cortante. b) Considerar los efectos por cortante. Utilizar una sección transversal rectangular de concreto

b  30cm

I 

1 12

 b h

h  50cm 3

f'c  200

 312500 cm

4

kgf 2 cm

As 

b h 1.2

kgf

E  14000

cm 2  1250 cm

2

 f'c  197989.899

G 

w  3

E 2 ( 1  ν )

Ton

ν  0.2

2 cm kgf

 82495.791 

cm

L 1  5m

m

kgf

2

Ay  1Ton

By  1Ton

Cálculo de las reacciones:

+ 

+

MA = 0

Given

1

 Fy = 0

2

 

2  w L 1  B y  L 1 = 0

Ay  w L1  By = 0

 Ay     B   y





7.5   Ton 7.5 

Find A y B y  

Diagramas reales de elementos mecánicos 1 2 M ( x)  Ay  x   w x 2 0 2  14 M ( x) ( Ton m) 6 8 0 V ( x) 

d

1

2

3

4

5

x M ( x)

dx

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 10 5 V ( x) (Ton)

1

0 5 10

0

1

2

3

4

5

x

Para encontrar el desplazamiento

δQ  1Ton

+ 

+  

δM ( x)  A y  x  δQ  x 

3 4

 

L1  x 

MA = 0

Given

Fy = 0

 3 L  1 4 

δQ 

 

 By L 1 = 0

Ay  δQ  By = 0

A   y   Find A B  y y B   y



0.25    Ton 0.75 



3

L 4 1

 0.5

δM ( x) ( Ton m)

δM1( x)  Ay  x

0

1

 3  δM2( x)  Ay  x  δQ x   L 1 4  

0.5 1

0

1

2

3

4

5

x δV ( x) 

d

δM ( x)

dx 1

δV ( x) (Ton)

 0.5 1

δV 1( x) 

d

0.5

δV 2( x) 

d

1

0

1

2

3

4

dx

dx

δM1( x)

δM2( x)

5

x

a) Despreciar los efectos de deformación axial y de cortante.

∆ 

 3  4  1    δQ  0  

L 1



δM1( x)  M ( x) E I

L   1 δM2( x)  M ( x)   dx   dx   2.811mm E I   3 L  4 1 

∆  17.395

Ton m

3

E I

De manera adicional a las tablas de integración que se presentaron en el curso, aquí se presentan unas fórmula adicionales para la integración cuando se trata con segmentos arbitrarios de parábolas.

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1 6



 S i  k1  2 k2

1



6









1

 S i1  k1  2 k2  S i2 2 k2  k3   

6



 S i  k1  4 k2  k3



Para facilitar vamos a sobreponer la dos gráficas de momento (el real y el virtual) 0

0

2  14 M ( x) (Tonm) 6 8

0.2

0

1

2

3

0.6 0.8 1 5

4

δM ( x)  ( Ton m)

1

x

Entonces debemos integrar dos tramos, el primero de 0 a 3/4L y el segundo de 3/4L a L No.

DiagramaReal 1 Parápola(0‐3/4L) 2 Parápola(3/4L‐L)

DiagramVirtual Triáng.Izq. Triáng.Der.

S 3.750 1.250

k

DiagramaReal km k1 k2 7.031 8.789 7.031 4.102

k3 0.000 0.000

Di agramaVirtual i i1 i2 0.937 0.937

Integración 14.412 2.974

SUMA

17.386

n  0 S 

n  n  1  1

 3 L   7.031Ton m k1  M 1 4 

3

L  3.75 m 4 1





1 1   S i k1  2 k2 ∆  n δQ E  I 6

S  L 1 

n  n  1  2

3

L  1.25 m 4 1



∆  14.42 n

k1  M

3 L  1 4 

k2  M



∆  2.975 n

 8.789Ton m

k3  M ( 0)  0 Ton m

3 Ton m E I

 3 L  1  L   4.102Ton m k2  M 1 8 1 4 

 7.031Ton m

1 1   S i k1  2 k2 ∆  n δQ E  I 6

1  3 L  1  2  4 

3 Ton m E I



∆  17.395

Ton m

k3  M ( 0)  0 Ton m

3

E I

b) Considerar los efectos por cortante.

∆ 

 3  4  1    δQ   0  

L 1

δM1( x)  M ( x) E I

L  1 δM2( x)  M ( x)  dx   dx  E I  3 L 4 1

Para el giro aplicamso un par unitario

3  L L1  4 1  δV ( x )  V ( x ) δV ( x )  V ( x )  2 1   dx  2.88 mm dx     As G As G     0 3  L1 4 

δQ  1Ton m

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+ 

+

MA

=0

Given

δQ

Fy = 0



By

 

 L1 = 0

Ay  By = 0

Ay    B   y





 0.2   Ton   0.2 

 Find A y B y  

δM ( x)  A y  x 1 0.8  10.6 δM ( x)  ( Ton m) 0.4 0.2 0

1

2

3

4

5

x δV ( x) 

d

δM ( x) dx

δV ( x) (Ton)

1

0.4 0.2

 0.2  0.4

0

1

2

3

4

5

x

a) Despreciar el efecto de cortante.

∆ 

L 1   δM ( x)  M ( x)  d x  0.00252538 rad   δQ  E I 0    1

No. 1

DiagramaReal Parábola Comp.

DiagramVirtual Triáng.Izq.

∆  15.625

S 5.000

Ton m

2

E I

DiagramaReal k km 9.375

DiagramaVirtual i i1 i2 1.000

Integración 15.625

SUMA

15.625

Ejemplo 2. Obtener la flecha y el giro en el punto "C". Despreciar los efectos de cortante. Considere la viga con las mismas características que el ejemplo anterior

w  3

Ton m

P  3Ton

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L 1  4m

L 2  2m

L 3  2m

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Aplicando el principio de superposición, analizaremos el efecto de cada una de las fuerzas por separado Cálculo de las reacciones:

+ 

MA = 0

+ 1 2 M1( x)  A y  x   w  x 2

M'1( x) 

 L 1   By  x  L 1 M2( x)  A y  x  w L1  x  2 





1

Given

2

 Fy = 0

2  w L 1  B y  L 1 = 0

Ay  w  L 1  By = 0

 Ay     Find A B  y y B   y

A  x  1  w x2 if 0  x  L  y 1 2     L1  Ay  x  w L1 x    By  x  2   

L



  if

1

L 1  x   L 1 



6    Ton 6 



L2  L3 

10

M'1( x) ( Ton m)

1

5

0

2

4

6

8

5 x

Cálculo de las reacciones:

+ 

MA = 0

+ M'2( x) 

M1( x)  A y  x

  M3( x)  A y  x  By  x  L 1  P x  L 1  L 2   

M2( x)  A y  x  By  x  L 1

 Ay  x





 P  L 1  L 2  By  L 1 = 0

Given

 Fy = 0

Ay  P  By = 0

Ay     B   y





Find A y B y 

  1.5   Ton  4.5 

 0  x  L1 Ay  x  By x  L 1  if L 1  x   L 1  L 2  Ay  x  By x  L 1   P x   L1  L 2  if  L 1  L 2  x  L 1  L 2  L 3  if

2

M'2( x) ( Ton m)

1 2

0

2

4

6

8

4 6 x

Pág.- 11

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21:50

Cálculo de las reacciones:

+ 

+ M1( x)  A y  x



M'3( x) 



M2( x)  A y  x  By  x  L 1

0 M'3( x) ( Ton m)

1

2

 Ay  x

MA = 0





 P  L 1  L 2  L 3  By  L 1 = 0

Given

 Fy = 0

Ay  P  By = 0

Ay     Find A B  y y B   y

 0  x  L1 Ay  x  By x  L 1 if



3    Ton 6

if

4

L1  L2  L3 

L 1  x 

6<...