Anualidades Anticipadas PDF

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Anualidades Anticipadas En una anualidad anticipada, los pagos se realizan al inicio del período de pago. Veamos cuánto dinero puede acumular Liliana al término de 1 año si deposita en una cuenta de ahorro $2,300 mensualmente y el banco le paga un interés de 0.5% mensual capitalizable cada mes. Para determinar el monto de la anualidad, se recomienda utilizar un diagrama de tiempo como el que se muestra a continuación:

*A las anualidades ciertas, simples, anticipadas e inmediatas, se les llama comúnmente Anualidades anticipadas.

Como estudiaste en los ejemplos anteriores, el evento 0, representa el principio del mes 1; de la misma manera el evento 1 representa el final del mes 1 y el principio del mes 2 y así sucesivamente y debido a que se trata de una anualidad anticipada, el pago se realiza al inicio de cada mes. Para calcular el monto de la anualidad de Liliana, toma en cuenta que el primero pago (realizado en el evento 0), genera 12 meses de intereses y el último pago (realizado en el evento 11), genera 1 mes de interés.

La cantidad total que acumulará Javier es la suma de todos sus pagos mas el interés compuesto ganado. Si queremos saber cuánto ahorró Javier al término del mes 12, la ecuación que se utiliza es:

Si factorizamos el término común 2300 tenemos:

¿Cuál fue el interés ganado? El interés ganado es la diferencia entre monto total de la anualidad menos los depósitos que hizo Liliana, esto es,

Usando una calculadora financiera o Excel, verifica que el resultado sea correcto. El valor presente (cuyo significado es el mismo que en las anualidades vencidas) se puede obtener usando el monto de la anualidad calculada,

Nuevamente, se introduce una fórmula para realizar el cálculo del monto de una anualidad (o valor futuro) para simplificar los cálculos.

De la misma manera, la fórmula para determinar el valor presente de una anualidad anticipada es:

Veamos los siguientes ejemplos: Ejemplo: Emanuel deposita en una cuenta de inversión $750 al inicio de cada mes, si la tasa de interés mensual es de 1.25% capitalizable cada mes, ¿cuál será el monto en dos años?, ¿cuál es el valor presente de la anualidad?, ¿cuál es el interés ganado? Aplicando la fórmula para el monto de la anualidad, nos queda,

El monto en dos años será de $21101.57. El valor presente es:

El interés ganado será:

Anualidades Diferidas En una anualidad diferida, el plazo de la anualidad inicia después de un intervalo de tiempo que se establece en el momento en que se acuerda la anualidad. Comúnmente se le llama anualidad diferida a las anualidades que son ciertas, simples y diferidas; las cuales se pueden analizar como vencidas o anticipadas.

Ejemplo: Ramón acudió a una tienda departamental y compró un refrigerador; debe realizar 6 pagos mensuales de $1,065 en una anualidad vencida. La fecha de inicio de sus pagos es 3 meses después de que compró el refrigerador. La línea de tiempo para la anualidad de Ramón se muestra a continuación:

En el diagrama de tiempo, se observa que el período de gracia es de 2 meses, ya que al final del primer mes (principio del segundo mes) da inicio el plazo de la anualidad. El plazo total de la anualidad es de 8 meses, que resulta de sumar el período de gracia con el plazo de la anualidad. ¿Cuál es el precio de contado del refrigerador que adquirió Ramón? Antes de contestar, calcularemos primero el monto de la anualidad y el valor presente, para lo cual usaremos las mismas fórmulas que aplicamos en las anualidades vencidas y anticipadas.

Al calcular el monto de la anualidad tenemos,

Estos cálculos sólo corresponden al plazo de la anualidad (marcados en azul en el diagrama de tiempo) pero aunque Ramón cuenta con el período de gracia, generalmente este plazo contempla un interés sobre el precio de contado que se puede determinar de la siguiente forma:

En donde k es el número de período de gracia (en este caso meses). El valor presente de la anualidad y el precio de contado se pueden relacionar a partir de la fórmula:

En donde Pc representa el precio de contado. Si despejamos Pc de esta ecuación tenemos:

Sustituyendo los datos del problema llegamos a la solución:

Ejemplo:

En un negocio distribuidor de llantas está colocado el siguiente anuncio:

“Cambie HOY sus llantas.... Y comience a pagar en 3 meses”. La oferta consiste en hacer 6 pagos iguales, iniciando 3 meses después de la compra. Si Jorge acudió a cambiar las 4 llantas de su automóvil con un precio de contado de $3,850 y le cobran un interés de 2.62% capitalizable cada mes, ¿cuál es la cantidad mensual que debe pagar Jorge? El período de gracia es de dos meses y se trata de una anualidad vencida. Para calcular el monto de los pagos que debe realizar Jorge, podemos aplicar la fórmula

En combinación con la fórmula del valor presente,

De la primera ecuación tenemos que,

Sustituyendo el valor presente en la segunda ecuación,...