Apostila de Geometria analítica - GAAL 2021 PDF

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Apostila 2 do curso de Geometria Analítica GAAL, com tudo que você precisa, muito bem explicado, e com exercícios e resoluções para fácil entendimento....

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APOSTILA DE GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR - EAD

SEÇÃO 1

Professor Lino Freitas ([email protected])

Curso de Engenharia Civil

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1. ESTUDO DA RETA NO PLANO 1.1. Introdução 

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Os primeiros estudos relacionados com a Geometria Analítica foram realizados por René Descartes, filósofo e matemático francês que viveu no século XVII. Descartes, ao relacionar a Álgebra com a Geometria, criou princípios matemáticos capazes de analisar por meio de métodos geométricos as propriedades do ponto, da reta e da circunferência, determinando distâncias entre eles, localização e sistemas de coordenadas. Embora quase todos os fenômenos conhecidos em nosso mundo ocorram em 3 dimensões, muitos problemas da Física podem ser melhor entendidos se forem analisados em 2 dimensões. Alguns exemplos: equilíbrio de forças que atuam em uma barra apoiada em suas extremidades, o movimento de um corpo sobre uma mesa plana horizontal, etc. Daí a importância do estudo da reta em um espaço a duas dimensões, doravante denominado plano cartesiano, R2 ou espaço bidimensional.

1.2. O plano cartesiano 

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Do ponto de vista estritamente geométrico, é possível definir um espaço a 2 dimensões por meio de duas retas conconcorrentes, independentemente do ângulo formado entre elas. Entretanto, é bastante conveniente utilizarem-se duas retas perpendiculares entre si como base deste espaço. Tais retas são denominadas eixos desse espaço. A figura a seguir ilustra a representação mais comum desse eixos, formando o chamado plano cartesiano ou plano coordenado.

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É usual dividir o plano cartesiano em 4 quadrantes. Tais quadrantes apresentam-se no sentido anti-horário do 1º ao 4º, tal como indicado na figura anterior. A interseção dos dois eixos corresponde à origem do plano cartesiano, representada pelo ponto O na figura anterior. Os dois eixos são normalmente designados pelas letras maiúsculas X e Y.

1.3. O conceito de par ordenado 

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Na figura anterior, considere-se o ponto P. Ao se traçarem as duas perpendiculares de P em direção aos eixos têm-se dois segmentos de reta (pontilhados, na citada figura). A distância de P ao eixo Y é denominada abcissa de P, enquanto aquela em relação ao eixo X é chamada de ordenada. Desta forma, é comum referir-se a tal ponto como P (x,y), sendo x a sua abcissa e y a sua ordenada. Desta forma, a cada ponto do plano cartesiano está associado um par ordenado (x,y). A origem do plano cartesiano é o par ordenado (0,0).

1.4. Distância entre 2 pontos no plano 

Sejam os pontos P1 (x1,y1) e P2 (x2,y2) na figura a seguir, sendo d a distância entre eles. Trançando-se as perpendiculares de tais pontos em relação aos eixos X e Y, forma-se o triângulo retângulo P1QP2. A distância entre os dois pontos corresponde à hipotenusa deste triângulo.

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Assim, escreve-se a fórmula da distância entre 2 pontos no plano cartesiano:

3

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Exemplo 1: Calcular a distância entre os pontos A (-4,3) e B (3,-2). Solução

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Exemplo 2: Calcular o perímetro do triângulo formado pelos pontos P1 (-1,-3), P2 (5,-1) e P3 (-2,10). Solução  𝐏𝟏𝐏𝟐 = √(−1 − 5)2 + (−3 + 1)2 = √36 + 4 = √40 = 2√10  𝐏𝟐𝐏𝟑 = √[5 − (−2)]2 + (−1 − 10)2 = √49 + 121 = √170 2 2  𝐏 𝟏 𝐏𝟑 = √[−1 − (−2)] + (−3 − 10) = √1 + 169 = √170

Portanto, perímetro = 2√10 + 2√170 = 2 (√10 + √170) Trata-se, pois, de um triângulo isósceles.

1.5. Ponto médio de um segmento 

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Seja a figura abaixo na qual M é ponto médio do segmento de reta  𝐀𝐁:

Usando o fato que os triângulos retângulos AMN e APB são semelhantes, demonstra-se que as coordenadas do ponto médio se escrevem: e

4



Exemplo: calcular as coordenadas do ponto médio do segmento  𝐀𝐁, sendo: A (4,-1) e B (-2,-3). Solução xM = (4 - 2)/2 = 1 yM = (-1-3)/2 = -2 , é M (1,-2). Portanto, o ponto médio do segmento 𝐀𝐁

1.6. Coeficiente angular e equação de uma reta no plano 

Na figura a seguir mostra-se a reta s que une os pontos A e B.

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Traçando-se as paralelas aos eixos cartesianos pelos pontos A e B forma-se o triângulo retângulo ABC. A figura indica o ângulo , um dos ângulos agudos deste triângulo. Sabe-se que: tan( ) =

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Por definição, o quociente acima é denominado coeficiente angular ou inclinação de uma reta no plano; tal coeficiente é representado pela letra m. De forma genérica, escreve-se:



Vale lembrar que m é um número real, que pode ser positivo, negativo ou nulo. Tem-se, então, as seguintes situações: m > 0: reta “sobe” à direita

 5

m < 0: reta “sobe” à esquerda



m = 0: reta horizontal

 = 0o

1.7. Equação da reta no plano a partir de sua inclinação 

Seja a figura abaixo na qual indica-se a reta s, sendo também conhecidas as coordenadas do ponto A (xo,yo) e o coeficiente angular ou inclinação da reta, m = y / x.



A fim de se chegar às coordenadas de um ponto P (x,y) qualquer contido na reta, a partir do conceito de inclinação da reta, escreve-se:



Reescrevendo a relação anterior, chega-se à equação da reta no plano cartesiano que passa por um ponto de coordenadas conhecidas e que possui inclinação também conhecida:

6

Esta equação ou fórmula é conhecida como equação de uma reta no plano sendo conhecidas sua inclinação e as coordenadas de um ponto nela contido. Exemplo: Determinar a equação da reta que passa pelo ponto A (1,2) e que possui coeficiente angular = 1/2. Solução





Sabendo que xo = 1, yo = 2 e m = 1/2, a partir da equação anterior, escreve-se: y - 2 = 1/2 (x - 1)  2y - 4 = x - 1 ou: x - 2y + 3 = 0  x = 2y - 3 A figura a seguir ilustra o gráfico da reta em questão. 4

Y 3

2

1

h

X

0 0

1

2

3

4

5

1.8. Equação reduzida de uma reta no plano 





Na figura anterior observa-se que a reta obtida intercepta o eixo Y no ponto de abcissa = 0 e ordenada = 1,5. Esse valor da ordenada do ponto em que qualquer reta cruza o eixo Y é denominado coeficiente linear da reta, sendo representado pela letra h, tal como indicado na figura anterior. É importante ressaltar que o coeficiente linear é um número real que pode assumir qualquer valor positivo, negativo ou mesmo nulo. Para aprofundar esse conceito, seja a equação da reta em questão: x - 2y + 3 = 0 Rearranjando os termos, pode-se escrever: 2y = x + 3 7

ou ainda:



Nesta forma da equação, o valor que multiplica o termo em x, também conhecido como coeficiente de x, corresponde à inclinação da reta, m, enquanto o outro termo é o coeficiente linear h. Neste caso, tem-se: m = 1/2 e h = 3/2



 



Generalizando esse conceito, pode-se representar a equação de uma reta no plano na forma

na qual os coeficientes m e h correspondem aos coeficientes angular (inclinação) e linear, respectivamente. Esta forma de representação é conhecida como equação reduzida da reta no plano cartesiano. É muito importante salientar que, para obterem-se os valores de m e h a partir desta forma de equação, é OBRIGATÓRIO que o coeficiente da variável y seja igual a 1. Assim, na equação 2y = 5x - 4 a inclinação da reta NÃO é igual a 5 e seu coeficiente linear NÃO é igual a -4. Para o cálculo acertado dessas grandezas, ambos os lados da equação devem ser divididos por 2, obtendo-se:

Portanto, os valores corretos são: m = 5/2 e h = -2

1.9. Equação cartesiana de uma reta no plano 

Voltando à equação da reta do item anterior: x - 2y + 3 = 0 observa-se que esta é uma equação do 1º grau em x e y. Pode-se dizer que se trata de uma equação do tipo 8

Ax + By + C = 0   

No caso da equação anterior, os coeficientes são A = 1, B = -2 e C = 3 Essa forma Ax + By + C = 0 é conhecida como equação cartesiana da reta no plano cartesiano. É evidente que a equação de qualquer reta no espaço a duas dimensões pode ser escrita nas 2 formas, reduzida ou cartesiana. Tudo depende do problema a ser trabalhado.

1.10. Retas especiais 

As chamadas retas especiais são: Reta paralela ao eixo X

Equação: y = K (constante)

Reta paralela ao eixo Y

Equação: x = K (constante)

Reta que passa pela origem

Equação: Ax = By ou y = Kx (K = constante)

1.11. Retas paralelas e retas perpendiculares 

Se duas retas r1 e r2 são paralelas entre si, então elas possuem a mesma inclinação. Ou seja, se r1 // r2  m1 = m2 9



 

Em termos de suas equações cartesianas, para duas retas paralelas, r1 e r2, tem-se: r1: Ax + By + C1 = 0 r2: Ax + By + C2 = 0 C1  C2 Demonstra-se que, se duas retas s1 e s2 são perpendiculares entre si, suas inclinações guardam a seguinte relação: m1.m2 = -1. Em outras palavras: s1  s2  m1.m2 = -1

1.12. Reta mediatriz de um segmento de reta  Por definição, a reta mediatriz de um segmento de reta é aquela que passa pelo ponto médio desse segmento e lhe é perpendicular.  Apresenta-se, a seguir, um roteiro para determinar a reta mediatriz de um segmento, por exemplo,  𝐀𝐁. , 1) Determinam-se as coordenadas do ponto médio do segmento 𝐀𝐁 denominado M;

2) Calcula-se a inclinação da reta que contém os pontos A e B; tal

inclinação é denominada m1;

3) Calcula-se a inclinação da reta mediatriz - m2 - usando o fato que ela é

perpendicular à reta que contém A e B: m1.m2 = -1. 4) Finalmente, aplicando a equação da reta que contém um ponto (ponto

M) e cuja inclinação é conhecida (m2), chega-se à equação da reta mediatriz.

1.13. Problemas 1) Determinar a equação da reta que passa pelo ponto P (-2,3) e que forma com o eixo das abcissas o ângulo  = 135o. Dado: tan (135o) = -1 Solução Pelo fato do ângulo que a reta forma com o eixo das abcissas ser > 90 o, conclui-se que se trata de uma reta que sobe “à esquerda”, ou que m < 0. Nesse caso, m = tan (135o) = -1 Usando a equação reduzida da reta e considerando que: xo = -2 yo = 3 escreve-se: y - 3 = -1[x - (-2)]  y - 3 = -(x + 2)  x + y - 3 + 2 = 0  x + y - 1 = 0 (resposta do problema) 2) Determinar a equação da reta que passa pelo ponto A (5,3) e é paralela à reta cuja equação é x + 3y = 7. 10

Solução Reescrevendo a equação da reta, obtém-se: 3y = -x + 7  Logo, para esta reta os coeficientes angular e linear são: m = -1/3 e h = 7/3 Assim, a reta que contém o ponto A e é paralela à do enunciado deve ter a mesma inclinação. Aplicando a fórmula apresentada no item 1.7, escreve-se:

Eliminando o denominador e desenvolvendo, tem-se: 3 (y - 3) = -x + 5  3y - 9 + x - 5 = 0 E, ao final, obtém-se a resposta do problema: x + 3y - 14 = 0 Observa-se, como esperado, que os coeficientes A e B na equação resposta são idênticos aos da reta do enunciado. 3) Sejam os seguintes pontos no plano cartesiano: A (5,2), B (2,-3) e C (0,5). Demonstrar que os pontos A, B e C constituem os vértices de um triângulo retângulo. Solução Para que os pontos em questão formem um triângulo retângulo, o produto das inclinações de 2 dos lados do triângulo deve ser igual a -1 (ver item 1.11). Calculam-se: : segmento AB : segmento AC

: segmento BC Portanto, como m1.m2 = -1, conclui-se que o triângulo formado pelos pontos em questão é retângulo, sendo os catetos formados pelos lados AB e AC. 11

Recomenda-se que os alunos, com auxílio de papel milimetrado, localizem os pontos do exercício no plano cartesiano e desenhem o triângulo formado. 4) Determinar a equação da reta mediatriz do segmento  𝐏𝐐, sendo P (-1,-3) e Q (5,-1). Solução : Inicialmente calculam-se as coordenadas de M, ponto médio do segmento 𝐏𝐐 M: Por sua vez, a inclinação da reta que contém os pontos P e Q é:

Para calcular m2, inclinação da reta mediatriz, escreve-se: m1.m2 = -1  1/3.m2 = -1  m2 = -3 Finalmente, a equação da reta com esta inclinação e que contém o ponto M é obtida da seguinte forma: y - (-2) = -3(x - 2)  y + 2 = -3x + 6  3x + y - 4 = 0 (resposta do problema) Os alunos devem verificar que qualquer ponto pertencente a esta reta mediatriz é equidistante dos pontos P e Q. Por exemplo, A (4,-8). 5) Sejam F e C as temperaturas em graus Farenheit e graus Celsius. Ache a equação que relaciona sa duas temperaturas, sabendo-se que F e C variam linearmente entre si e que: - para C = 0, F = 32; - para C = 100, F = 212. Solução Uma vez que as temperaturas variam de forma linear, pode-se considerar um espaço a 2 dimensões no qual os eixos são C e F e cujos pontos correspondem aos pares de temperaturas em graus Celsius e graus Farenheit. A figura a seguir ilustra esse espaço, bem como os dados informados no enunciado. 250

F 200

(100,212)

150 100 50 (0,32) 0

0

20

40

60

80

100

120

C

Para o cálculo da inclinação, escreve-se:

Usando, por exemplo, o ponto (0,32) e aplicando a equação da reta que passa por esse ponto e possui inclinação m = 9/5, tem-se: (1) Eliminando o denominador e rearranjando os termos, chega-se à equação final, resposta do problema: 9C - 5F + 160 = 0 Os alunos devem certificar-se que, ao colocar a equação (1) acima de outra forma, chega-se à conhecida expressão normalmente utilizada para relacionar as duas escalas de temperatura: 6) Sejam A (1,4), B (3,-9) e C (-5,2) os vértices de um triângulo. Calcular o comprimento da mediana desse triângulo que parte do vértice B. Solução A mediana de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice ao ponto médio de seu lado oposto. Assim, para o lado  𝐀𝐂, as coordenadas do ponto médio são:

Usando a fórmula apresentada no item 1.4, calcula-se a distância de B a M:

7) Dado o ponto A (1,2), determine as coordenadas de dois pontos P e Q situados respectivamente sobre as retas: r: y = x e s: y = 4x de tal modo que A seja o ponto médio do segmento  𝐏𝐐. Solução Escrevem-se as coordenadas dos pontos P e Q como: P (x1,y1) e Q (x2,y2) Uma vez que A deve ser o ponto médio de  𝐏𝐐, pode-se escrever: 13

e Eliminando os denominadores, obtêm-se as 2 equações a seguir: x 1 + x2 = 2 y 1 + y2 = 4 Uma vez que P deve estar sobre a reta r e Q sobre a reta s, suas coordenadas devem satisfazer as equações dessas retas. Portanto, conclui-se que: y1 = x1 e y2 = 4x2 Substituindo esses valores nas equações acima, chega-se ao seguinte sistema de duas equações a duas incógnitas: x 1 + x2 = 2 x1 + 4x2 = 4 cuja resolução fornece: x1 = 4/3 x2 = 2/3 Logo, as coordenadas dos pontos procurados são:

14...