Apostila - Pré-Cálculo - Funções Matemática - Ensino Médio/ Graduação PDF

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CÁLCULO I CONCEITO DE FUNÇÕES TIPOS DE FUNÇÕES

1. INTRODUÇÃO Dados dois conjuntos A e B não vazios, uma função f de A em B recebe o nome de função se, e somente se, para todo x ∈ A existir um único y ∈ B, tal que (x,y) ∈ f. Assim, uma função liga um elemento do domínio (conjunto A de valores de entrada) a um elemento do contradomínio (conjunto B de valores de saída), de tal forma que cada elemento do domínio está associado exatamente a um, e somente um, elemento do contradomínio. Imagem de f: O conjunto dos elementos do contradomínio que são relacionados pela função f a elementos do domínio é chamado conjunto imagem de f, denotado por Im(f).

A → Domínio B → Contradomínio e Imagem

Adaptado de: http://s2.glbimg.com/oojCqUCZ-nYnaKO1w4hrLa5xob0=/0x0:650x550/620x525/s.glbimg.com/po/ek/f/original/2013/09/20/conceituando_func_o_es2.jpg

2. TIPOS DE FUNÇÕES As funções podem ser classificadas a três tipos:  Função injetora ou injetiva Nessa função, cada elemento do domínio (x) associa-se a um único elemento da imagem f(x). Todavia, podem existir elementos do contradomínio que não são imagem. Quando isso acontece, dizemos que o contradomínio e imagem são diferentes.  Função Sobrejetora ou sobrejetiva Na função sobrejetiva, todos os elementos do domínio possuem um elemento na imagem. Pode acontecer de dois elementos do domínio possuírem a mesma imagem. Nesse caso, imagem e contradomínio possuem a mesma quantidade de elementos.  Função bijetora ou bijetiva Essa função é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, pois, cada elemento de x relacionase a um único elemento de f(x). Nessa função, não acontece de dois números distintos possuírem a mesma imagem, e o contradomínio e a imagem possuem a mesma quantidade de elementos.



Principais tipos de funções Os subtópicos a seguir apresentam uma revisão dos principais tipos de funções encontradas. As funções apresentadas nos itens j, k e l serão as mais importantes para a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral, estando presentes na grande maioria dos problemas.

a. FUNÇÃO CONSTANTE Na função constante, todo valor do domínio (x) tem a mesma imagem (y). Fórmula geral da função constante: f(x) = c x = Domínio f(x) = Imagem c = constante, que pode ser qualquer número do conjunto dos reais. Exemplo de gráfico da função constante: f(x) = 2

b. FUNÇÃO PAR A função par é simétrica em relação ao eixo vertical, ou seja, à ordenada y. Entenda simetria como sendo uma figura/gráfico que, ao dividi-la em partes iguais e sobrepô-las, as partes coincidem-se perfeitamente. Fórmula geral da função par: f(x) = f(- x) x = domínio f(x) = imagem - x = simétrico do domínio Exemplo de gráfico da função par: f(x) = x2

c.

FUNÇÃO ÍMPAR A função ímpar é simétrica (figura/gráfico que, ao dividi-la em partes iguais e sobrepô-las, as partes coincidem-se perfeitamente) em relação ao eixo horizontal, ou seja, à abscissa x. Fórmula geral da função ímpar f(– x) = – f(x) – x = domínio f(– x) = imagem - f(x) = simétrico da imagem Exemplo de gráfico da função ímpar: f(x) = 3x

d. FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO PRIMEIRO GRAU Para saber se uma função é polinomial do primeiro grau, devemos observar o maior grau da variável x (termo desconhecido), que sempre deve ser igual a 1. Nessa função, o gráfico é uma reta. Além disso, ela possui: domínio x, imagem f(x) e coeficientes a e b. Fórmula geral da função afim ou polinomial do primeiro grau f(x) = ax + b x = domínio f(x) = imagem a = coeficiente b = coeficiente Exemplo de gráfico da função do primeiro grau: f(x) = 4x + 1

e. FUNÇÃO LINEAR A função linear tem sua origem na função do primeiro grau (f(x) = ax + b). Trata-se de um caso particular, pois b sempre será igual a zero. Fórmula geral da função linear f(x) = ax x = domínio f(x) = imagem a = coeficiente Exemplo de gráfico da função linear: f(x) = -x/3

f. FUNÇÃO CRESCENTE A função polinomial do primeiro grau será crescente quando o coeficiente a for diferente de zero e maior que um (a > 1). Fórmula geral da função crescente f(x) = + ax + b x = domínio f(x) = imagem a = coeficiente sempre positivo b = coeficiente Exemplo de gráfico da função crescente: f(x) = 5x

g. FUNÇÃO DECRESCENTE Na função decrescente, o coeficiente a da função do primeiro grau (f(x) = ax + b) é sempre negativo. Fórmula geral da função decrescente f(x) = - ax + b x= domínio/ incógnita f(x) = imagem - a = coeficiente sempre negativo b = coeficiente Exemplo de gráfico da função decrescente: f(x) = - 5x

h. FUNÇÃO QUADRÁTICA OU POLINOMIAL DO SEGUNDO GRAU Identificamos que uma função é do segundo grau quando o maior expoente que acompanha a variável x (termo desconhecido) é 2. O gráfico da função polinomial do segundo grau sempre será uma parábola. A sua concavidade muda de acordo com o valor do coeficiente a. Sendo assim, se a é positivo, a concavidade é para cima e, se for negativo, é para baixo. Fórmula geral da função quadrática ou polinomial do segundo grau f(x) = ax2 + bx + c x = domínio f(x) = imagem a = coeficiente que determina a concavidade da parábola. b = coeficiente. c = coeficiente. Exemplo de gráfico da função polinomial do segundo grau: f(x) = x2 – 6x + 5

i. FUNÇÃO MODULAR A função modular apresenta o módulo, que é considerado o valor absoluto de um número e é caracterizado por (| |). Como o módulo sempre é positivo, esse valor pode ser obtido tanto negativo quanto positivo. Exemplo: |x| = + x ou |x| = - x. Fórmula geral da função modular f(x) = x, se x≥ 0 ou f(x) = – x, se x < 0 x = domínio f(x) = imagem - x = simétrico do domínio Exemplo de gráfico da função modular: f(x) =

As próximas funções são utilizadas exaustivamente na resolução de questões de cálculo. Portanto, atenção.

j.

FUNÇÃO EXPONENCIAL Uma função será considerada exponencial quando a variável x estiver no expoente em relação à base de um termo numérico ou algébrico. Caso esse termo seja maior que 1, o gráfico da função exponencial é crescente. Mas se o termo for um número entre 0 e 1, o gráfico da função exponencial é decrescente. Fórmula geral da função exponencial f(x) = ax a > 1 ou 0 < a < 1 x = domínio f(x) = imagem a = Termo numérico ou algébrico Exemplo de gráfico da função exponencial crescente: f(x) = (2)x, para a = 2

Exemplo de gráfico da função exponencial decrescente: f(x) = (1/2)x para a = ½

Identidade de Euler Essa equação matemática correlaciona as funções trigonométrica e exponencial:

𝑒 𝑖𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑥 Lembrando que o número imaginário i² = -1. Reconhecer essa identidade é importante para resolução de questões de logaritmo natural (próxima função).

k. FUNÇÃO LOGATÍTMICA Na função logarítmica, o domínio é o conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio é o conjunto dos elementos dependentes da função, sendo todos números reais. Fórmula geral da função logarítmica f(x) = loga x a = base do logaritmo f(x) = Imagem/ logaritmando x = Domínio/ logaritmo Exemplo de gráfico da função logarítmica: f(x) = log10 (5x - 6)

Propriedades!

Logaritmo Natural Os logaritmos naturais são logaritmos representados pela base “e”, que trata-se de um número irracional denominado constante ou número de Euler equivalente a (e=2,71828...). Matematicamente representamos o logaritmo natural por; Ln(x) = logex

  

Propriedades do logaritmo natural Ln 1 = 0 Ln e = 1 Ln (en) = n

Transformação da base “e” para decimal (10) Ln x = logex Fazendo a mudança de base para a base decimal Logex= Log10x / log10e Resolvendo Logex = Log10x /0,434 Desmembrando Logex= 1 /0,434 . Log10x Logex = 2,31 Log10x

l.

Funções trigonométricas As funções trigonométricas são consideradas funções angulares e são utilizadas para o estudo dos triângulos e em fenômenos periódicos. Podem ser caracterizadas como razão de coordenadas dos pontos de um círculo unitário. As funções consideradas elementares são: - Seno: f(x) = sen x - Cosseno: f(x) = cos x - Tangente: f(x) = tg x Exemplo de gráfico da função trigonométrica seno: f(x) = sen (x + 2)

Exemplo de gráfico da função trigonométrica cosseno: f(x) = cos (x + 2)

Exemplo de gráfico da função tangente: f(x) = tg (x + 2)

Identidades trigonométricas! O reconhecimento de identidades trigonométricas possibilita a resolução de derivadas mais facilmente 01) sen2x + cos2x = 1 03) 1 + cotg2x = cosec2x 05) cos (-x) = cos x

02) 1 + tg2x = sec2x 04) sen (-x) = -sen x 06) tg (-x) = -tg x

07)

08)

09)

10) 12)

11) 13) 14) 15) 17) 19) cos 2x = cos2x - sen2x = 1 - 2 sen2x = = 2 cos2x - 1

16) 18) sen 2x = 2 sen x.cos x

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32) 34)

33)

eix = cosx + isinx

m. Produtos Notáveis Principais: 1. O quadrado da soma de dois termos (a + b)2 = (a + b) . (a + b) 2. O quadrado da diferença de dois termos (a - b)2 = (a - b) . (a - b) 3. O produto da soma pela diferença de dois termos (c + d).(c – d) = c)2 – (d)2 4. O cubo da soma de dois termos (a + b)3 = (a + b).(a + b)2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 5. O cubo da diferença de dois termos (a – b)3 = (a - b).(a – b)2 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3



EXERCÍCIOS Exponencial 1. Se x é um número real, resolva a equação exponencial 32x + 3x + 1 = 18. 2. A solução da equação 23x – 2 · 8x + 1 = 4x – 1 é: a) 1 b) 0 c) 3/4 d) 1/3

e) 3/2

3. A soma das raízes da equação 22x + 1 – 2x + 4 = 2x + 2 – 32 é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 6

e) 7

Logaritmo 1. O valor da expressão log2 0,5 + log3 √3 + log4 8 é: a) 1 b) – 1 c) 0 d) 2

e) 0,5

2. Se Ln 3=1,1 e Ln 6=1,8. Determinar o valor de Ln 18. 3. Aplicando as propriedades operatórias do logaritmo, calcule logx a, sabendo que 𝒂=

𝒏. 𝒙². 𝒎 − 𝟑 𝒚𝟒. √𝒛

Trigonometria Prove as seguintes identidades trigonométrica: 1. cos x . tg x . cossec x = 1 2. cos x . tg x . cossec x = 1 3. (tg x + 1) . (1 – tg x) = 2 – sec²x

Produtos Notáveis 1. Desenvolva os seguintes produtos notáveis: a) (x + y)2 b) (2a + b)2 c) (x – 5y)2 2. Se 𝑥 2 +

1 𝑥

2 , calcule 𝑥

d) (3 – a3)2

1

+ =𝑏. 𝑥

3. A soma dos quadrados de dois números positivos é 4 e a soma dos inversos de seus quadrados é 1. Determine: a) o produto dos dois números b) a soma dos dois números...